精品解析：甘肃陇南市康县第一中学等3校2026届高三下学期一模模拟考试数学试题

2026年康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学高三 一模模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 设，为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，令，，可判断A选项正误；对于选项B，设复数，，根据讨论判断；对于选项C，令 ，，可判断C选项正误；对于选项D，求出复数对应点的轨迹判断. 【详解】对于A，令，，则，此时，A错误； 对于B，设，，则， 所以，，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由 知 ；由知：，此时； 同理可知：当， 时，； 若，，由得：，则，此时； 综上所述：若，则或，B正确； 对于C，令 ，，则，此时，C错误； 对于D，因为，且时， 设 ，，， 则，， 由，可得， 所以，又、不全为零， 所以表示一条直线， 即在复平面对应的点在一条直线上.故D正确. 故选：BD 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得 ，进而得到，再由交集运算即可求解. 【详解】由，得， 解得 ， 所以， 所以， 故选：B 3. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4. 已知为等差数列 的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，可得，，即可判断①正误；由条件得，根据等差数列求和公式及性质，可判断②正误；根据数列的单调性，可判断③、④的正误. 【详解】对于①：因为，所以，， 所以，故①正确； 对于②：因为，所以， 所以，故②正确； 对于③：因为，所以 为单调递增数列， 所以等差数列 中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确； 对于④：因为，且 为单调递增数列，且， 所以，且满足成立的最小n值为13. 故④正确. 故选：D 5. 已知实数，，则的最大值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 6. 已知正四棱台 的上、下底面积分别为 2，8，当正四棱台的外接球的体积最小时， 该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可求外接球半径的最小值，再根据勾股定理求出斜高后可求侧面面积. 【详解】设该正四棱台上，下底面的中心分别为，设该正四棱台的高为，外接球半径为 ， 连接，则该正四棱台的外接球的球心在上，记为， 因为上、下底面积分别为 2，8，故上下底面的边长分别为， 故上下底面的对角线的分别为， 因为，当且仅当与重合时，等号成立，所以， 此时四棱台的高，该四棱台的侧面的斜高， 所以侧面积． 故选：D. 7. 已知圆，直线，则圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为求圆心到直线的距离的最大值即可. 【详解】圆 的方程： ，圆心  ，半径  ， 直线方程为 。 圆心 到直线的距离公式为： ， 圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，即： 当时，最小，取得最大值， 此时：， 因此，圆 上的点到直线   的距离的最大值为5.  故选：C 8. 已知函数的零点为，过原点作曲线的切线 ，切点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得到切线方程，将原点代入切线方程，求出，再由，计算出. 【详解】，切点为， 则切线方程为， 因为过原点，所以，解得，则， 由，可得， 故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，线面垂直、面面平行的性质判断选项即可. 【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确. 故选：BD 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象与的图象关于对称 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据左加右减得到的解析式，A选项，根据正切函数最小正周期公式求出A正确；B选项，无意义，B错误；C选项，整体法判断出函数的单调性；D选项，计算出，故D正确. 【详解】由题意得， A选项，的最小正周期为，A正确； B选项，因为正切函数没有对称轴，故不是的对称轴，B错误； C选项，当时，， 由于在上单调递增，故在上单调递增，C错误； D选项，， 故的图象与的图象关于对称，D正确. 故选：AD 11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点 ，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴， 轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设 ，根据得，以 替换、替换 ，方程不变可得选项A正确；令得可得选项B错误；利用余弦定理结合题目条件得，当且仅当时等号成立，由点P位于B点处时满足此条件可得选项C正确；利用面积的两种表示形式可得选项D正确. 【详解】设 ，则， 由得，即. A.以 替换得， ，方程不变，曲线C关于y轴对称， 以替换 得，，方程不变，曲线C关于x轴对称， 选项A正确. B.令得，，即，或（舍）， 解得，即，故，选项B错误. C.由题意得，， . ，当且仅当时，. 在方程中令得，故. 当点P位于B点处时满足，有最小值， 由 在上为减函数可得此时最大，选项C正确. D.设点P到x轴的最大距离为，则，即， 由选项C得当时，，取得最大值，最大值为， 所以，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与方程综合问题，解决选项C的关键是利用基本不等式分析出取到最小值时，结合余弦函数的单调性可得结论正确.解决选项D的关键是利用面积转化点P到x轴的距离，根据三角形面积最大值距离最大即可得到结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】法1：由已知等式整理得到，法2：应用齐次式法有，进而求得，再应用和角正切公式求值. 【详解】法1：因为，所以，即， 所以； 法2：因为，所以，即， 所以； 故答案为： 13. 已知 两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离， 所以. 故答案为： 14. 已知四棱锥 的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据外接球定义和几何体的特征作出外接球球心位置，由得到四点共圆且圆的直径为，由余弦定理求出外接圆半径即可求出外接球半径，可得外接球表面积. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 取中点中点，连接，因为，所以 又四边形是正方形，所以因为平面 平面 ， 所以 为二面角的平面角，所以， 取 上靠近点的三等分点的中点 ，分别过点作平面 的垂线， 过点 作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心， 因为， 所以， 则在中，， 所以三角形的外接圆半径 满足 ， 因为，所以四点共圆，且圆的直径为， 所以，所以四棱锥的外接球半径 满足， 所以外接球表面积为. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知定点，点 为圆上的动点， 为的中点． （1）求 的轨迹方程； （2）若过定点的直线 与 的轨迹交于两点，且，求直线 的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设 点的坐标为，表达出点 的坐标，将其代入中，整理可得 的轨迹方程； （2）考虑直线 的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设 点的坐标为，则点 的坐标为， 点 为圆上的动点， ，化简得， 故 的轨迹方程为． 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径 ， 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线 的距离， 由圆心到直线 的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线 的方程为，即． 综上，直线 的方程为或． 16. 已知数列的前 项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解； （2）求得，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 当时，由题意可知， 因为，即， 当时，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 当时，， 当， ， 因为， 所以， 综上，. 17. 已知中，是角 所对的边，. （1）求角 的大小； （2）已知. （i）如图①，在的边 上分别取两点，若，求长度的最小值； （ii）如图②， 分别在边 上，，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求解. （2）①设 ，在 中，利用余弦定理建立函数关系，再利用基本不等式求出最小值；②设，在中，利用正弦定理，结合相似三角形性质将 表示为的三角函数，再列出面积关系并求出最小值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而 ，则，即，又， 因此，解得，所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，，而，则是正三角形，设， 当时，与 重合，为的中点，；当时，与 重合，， 当时，在 中，， 由余弦定理，得， 即，因此 ，当且仅当时取等号， 而，所以长度的最小值. ②设，则， 在中，由正弦定理得， 则，在中，， 则，，又， 于是∽ ，，则， 由，得，解得， 因此的面积 ，其中锐角 由确定， 而，则当时，，， 所以面积的最小值为. 18. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，， ，平面 平面． （1）求证： ； （2）若二面角 的大小为，求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，如图所示： 因为 ，所以 ， 又平面 平面，且平面 平面，平面 ， 所以平面， 又 平面，所以 ， 由 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 . （2）. 【解析】 【分析】（1）结合已知条件利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）根据图形找出二面角，然后建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出平面 的法向量，然后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面， ， 所以以点为坐标原点， 分别为 轴，过点平行于的所在直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知 平面 ，平面 , 所以 ，所以 为二面角 的平面角， 又二面角 的大小为，所以， 又的中点为， ，所以 ， 在直角三角形 中， ， 所以 ， 则 ， 设点 ，由 ，所以 ，① 则 ，又 ， 所以有 ，② 又，即 ，③ 联立①②③解得： ， 所以 ，所以 ， 设平面 的一个法向量为 ， 由， 令，则 ，所以 ， 设直线 与平面 所成的角为， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为：. 19. 已知函数 （1）当 时，求曲线在点处的切线在 轴上的截距； （2）若函数在上单调递增，求的值； （3）若函数在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】（1）17 （2）0 （3）当时，，当 时，. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在 轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【小问1详解】 当 时，当 时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在 轴上的截距为17. 【小问2详解】 因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当 时，恒成立，所以，所以， 当 ，恒成立，所以 所以，所以的值是0. 【小问3详解】 当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当 时，令， 即 ，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当 时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学高三 一模模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 设，为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则在复平面对应的点在一条直线上 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 4. 已知为等差数列 的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13.其中正确命题有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知实数，，则的最大值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 6. 已知正四棱台 的上、下底面积分别为 2，8，当正四棱台的外接球的体积最小时， 该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 的图象与的图象关于对称 11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点 ，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 13. 已知 两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 14. 已知四棱锥 的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 16. 已知数列的前 项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项的和. 17. 已知中，是角所对的边，. （1）求角的大小； （2）已知. （i）如图①，在的边 上分别取两点，若，求长度的最小值； （ii）如图②， 分别在边 上，，求面积的最小值. 18. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，， ，平面 平面． （1）求证： ； （2）若二面角 的大小为，求直线与平面 所成角的正弦值． 19. 已知函数 （1）当 时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； （2）若函数在上单调递增，求的值； （3）若函数在处取得极小值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $