2.2.2 二倍角的公式的综合运用课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.2.2 二倍角的公式的综合运用 二倍角的正弦、余弦、正切 公式： ① cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α； ② cos 2α＝2 cos 2α－1； ③ cos 2α＝1－2 sin 2α. 余弦倍角公式的灵活应用: 2α是α的2倍，同样α是 的2倍，2（α＋β）是α＋β的2倍，这里蕴含着换元的思想. ①S（2α）： sin 2α＝2 sin α cos α. ②C（2α）： cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α. ③T（2α）：tan 2α ＝ . (α≠+且α≠+kπ(k∈Z)). 对“倍”的相对性的认识： 倍角公式还可以 进行哪些变形及应用呢？ ①升幂公式： 1＋ cos 2α＝ ⁠； 1－ cos 2α＝ ⁠. ②降幂公式： cos 2α＝ ⁠； sin 2α＝ ⁠. 2 cos 2α　 2 sin 2α　 　 　 填一填： 升幂缩角 降幂扩角 倍角公式的变形 （1）公式正用： 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式. （2）公式逆用： 逆向转换，逆用公式，主要形式有： 2 sin α cos α＝ sin 2α， sin α cos α＝ sin 2α， cos α＝ ， cos 2α－ sin 2α＝cos 2α， ＝tan 2α. （3）公式的变形用，公式之间有着密切的联系.主要形式有： 1± sin 2α＝ sin 2α＋ cos 2α±2 sin α cos α＝（ sin α± cos α）2， 1＋ cos 2α＝2 cos 2α，1－ cos 2α＝2 sin 2α， cos 2α＝ ， sin 2α＝ . 倍角公式的应用类型 怎样合理分类使用呢？ 1.二倍角公式（升幂缩角） 2.二倍角公式变形（降幂扩角） sin 2α＝2 sin α cos α. cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α. tan 2α ＝ . =2 cos 2α -1　 =1-2 sin 2α　 sin 2α＝⁠ cos 2α＝ sin α cos α＝ sin 2α 3.因式分解变换 4.配方变换 cos 2α=cos2-sin2=(cos α+sin α)(cos α-sin α) 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2 例1 已知cos=，0<α<2π，求sin，cos，tan的值. 解：由0<α<2π，得0<<，所以sin =， 所以sin =2sin cos =2××=； cos =cos2-sin2=-=-； tan ===-. 所求角与已知角是二倍角关系，借助哪些二倍角公式求解呢？ 7 1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（　C　） A. － B. － C. D. 解析：因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ . C 2. 已知θ是第三象限角，若 sin 4θ＋ cos 4θ＝ ，则 sin 2θ＝（　A　） A. B. － C. D. － A 解析：∵ sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ ＝1－2（ sin θ cos θ）2＝ ， ∴（ sin θ cos θ）2＝ . ∵θ为第三象限角，∴ sin θ＜0， cos θ＜0， ∴ sin θ cos θ＞0，∴ sin θ cos θ＝ ， ∴ sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝ . 3. 若α∈ ，tan 2α＝ ，则tan α＝（　A　） A. B. C. D. A 解析：由二倍角公式可得tan 2α＝ ＝ ，再结合已知可求得 sin α＝ ， 利用同角三角函数的基本关系即可求解. ∵tan 2α＝ ，∴tan 2α＝ ＝ ＝ ， ∵α∈ ，∴ cos α≠0，∴ ＝ ，解得 sin α＝ ， ∴ cos α＝ ＝ ，∴tan α＝ ＝ .故选A. 问题1：三角函数求值问题的一般思路？ 问题2：变形的方法有哪些？ (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角 (2)降幂或升幂 关注“角”、“函数名”、“幂”、“形”，消除差异. (1)题设条件变形 (2)结论变形 议一议：与同学交流解决下列问题. 例2 已知函数 f （ x ）＝tan（2 x ＋ ）. （1）求 f （ x ）的定义域与最小正周期； （2）设α∈（0， ），若 f （ ）＝2 cos 2α，求α的大小. （2）结合倍角公式进行化简可确定角的某一个三角函数值，再根据角的取值范围求α的大小. 分析：（1）结合正切函数的定义求定义域，利用 T ＝ 求周期； [解]　（1）由2 x ＋ ≠ ＋ k π， k ∈Z，得 x ≠ ＋ ， k ∈Z， 所以 f （ x ）的定义域为{ x ∈R ＋ ， k ∈Z}. f （ x ）的最小正周期为 . （2）由 f ＝2 cos 2α，得tan ＝2 cos 2α， ∴ ＝2（ cos 2α－ sin 2α）， 整理得 ＝2（ cos α＋ sin α）（ cos α－ sin α）. 因为α∈ ，所以 sin α＋ cos α≠0. 因此（ cos α－ sin α）2＝ ，即 sin 2α＝ . 由α∈ ，得2α∈ ， 所以2α＝ ，即α＝ . 4.y=(cos4x+cos2x)的最值= . 解：y=(2cos2-1+cos2x) =(cos2x+)2-. cos2x∈[-1,], =1, =-. 5.若f(sin θ)=3-cos 2θ，则f(cos θ)等于（ ） A.3+cos 2θ B.3-cos 2θ C.3-sin θ D.3+cos θ 解：由f(sin θ)=3-cos 2θ=3-(1-2sin2θ)=2+2sin2θ，令t=sin θ∈[-1，1]， 则f(t)=2+2t2， 所以f(cos θ)=2+2cos2θ=3+cos 2θ. A 针对本节课“二倍角公式的变形应用”谈谈你的收获. 1.化简等于( ) A.1　 B.2　 C.　 D.-1 解：原式===2. B 2.已知sin α+cos α=，则sin2等于（ ） A.　 B. C.　 D. 解：由sin α+cos α=，两边平方得1+sin 2α=，解得sin 2α=-， 所以sin2====. D 3.函数f(x)=4cos2x-4cos4x+sin xcos x的最小值是（ ） A.-　 B.　 C.　 D. 解：f(x)=4cos2x-4cos4x+sin xcos x=4cos2x·(1-cos2x)+sin xcos x=4sin2xcos2x +sin xcos x=sin22x+sin 2x=-，因此，当且仅当sin 2x=-时，f(x)取最小值-. A $