2.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题1：你还记得正弦、余弦和正切的和角公式吗？ sin(+β)=sincosβ+cossinβ cos(+β)=coscosβ-sinsinβ tan(+β)= 问题2：在正弦、余弦和正切的和角公式中，若=β，你能得到怎样的结论？ sin 2α＝2 sin α cos α. cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α. tan 2α＝ . 在和角公式中，令β＝α： ①S（2α）： sin 2α＝ sin （α＋α）＝ sin α cos α＋ cos α sin α＝2 sin α cos α. ②C（2α）： cos 2α＝ cos （α＋α）＝ cos α cos α－ sin α sin α＝ cos 2α－ sin 2α. ③T（2α）：tan 2α＝tan（α＋α）＝ ＝ . 这个公式还有其他 形式吗？ 倍角公式的推导 二倍角公式 利用 sin 2α＋ cos 2α＝1消去 sin 2α或 cos 2α cos 2α＝2 cos 2α－1； cos 2α＝1－2 sin 2α. cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α. 降幂 升幂 记法 推导 公式 S2α S（α＋β） S2α sin 2α＝ ⁠ C2α C（α＋β） C2α cos 2α＝ ⁠ 利用 sin 2α＋ cos 2α＝1消去 sin 2α或 cos 2α cos 2α＝ ⁠， cos 2α＝ ⁠ T2α T（α＋β） T2α tan 2α＝ ⁠ 2 sin α cos α　 cos 2α－ sin 2α　 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 　 注意：α≠+且α≠+kπ(k∈Z). 3.与同学交流，利用二倍角公式求下列各式的值： (1) sin 15°cos 15°； (2) 2cos275°－1； (3) 1－sin215 ° ； (4) 2 sin α cos α＝ sin 2α， sin α cos α＝ sin 2α， cos α＝ ， cos 2α－ sin 2α＝ cos 2α， ＝tan 2α. 二倍角公式的逆用： 例1 已知tan α=　，求： 　　(1) tan 2α；　 (2) tan 4α ； 　(3) tan β，其中β满足4α+β =　． 解　(1) (2) 　 (3)因为　　　　　， 所以 每个小问中的角度之间有何关系？如何利用正切的二倍角求值呢？ 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 解决给值求值问题的方法 方法归纳 例2 已知　<α<π，求证： 证明: 将cos2α=2cos2α－1代入，得 又因为　<α<π，所以cos α<0， 所以 开根号时，要注意角的范围. 显然，将式子左边降幂向右边靠拢会比较方便,你能想到哪些方法？ 4.若tan θ＝－2，则 ＝（　C　） A. － B. － C. D. C [解析]　将式子进行齐次化处理，得 ＝ ＝ sin θ（ sin θ＋ cos θ）＝ ＝ ＝ ＝ . 故选C. 5.证明：=. 左边= = = = =右边，所以原等式成立. 12 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法： ①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； ②比较法，左边-右边=0，左边/右边=1； ③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. 三角函数式化简与证明的方法 方法归纳 针对本节课以下关键词，谈谈你的收获. 1.二倍角公式 2.二倍角公式的逆用 3.利用二倍角公式求值 4.恒等式的证明 1.若tan α=3，则的值等于（ ） A.2　 B.3　 C.4　 D.6 解：原式==2tan α=6. D 2. 已知 sin （π＋α）＝ ，则 cos 2α＝（　A　） A. B. C. － D. 3. ＝（　C　） A. cos 12° B. 2 cos 12° C. cos 12°－ sin 12° D. sin 12°－ cos 12° A C 4. 证明： （1＋tan x ·tan ）＝tan x . 证明：∵左边＝ · ＝ sin x · ＝ sin x · ＝ sin x · ＝ ＝tan x ＝右边. ∴原等式成立. 1．已知sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝________． eq \f(24,25) 2．已知tan α＝eq \f(4,3)，则tan 2α＝________． －eq \f(24,7) $