2.2 二倍角的三角函数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

2.2　二倍角的三角函数(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 1.二倍角公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α=2sin αcos α S(2α) 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(2α) 正切 tan 2α= T(2α) |微|点|助|解|　 (1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. (2)由任意角的三角函数的定义可知，S(2α)，C(2α)中的角α是任意的，但要使T(2α)有意义，需要α≠+(k∈Z). (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α. 2.二倍角的常用变形形式 (1)1+cos 2α=2cos2α;(2)cos2α=; (3)1-cos 2α=2sin2α;(4)sin2α=. 基础落实训练 1.已知sin α=，cos α=，则sin 2α=　　　　.  解析：sin 2α=2sin αcos α=2××=. 答案： 2.已知cos α=，则cos 2α=　　　　.  解析：cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-. 答案：- 3.cos245°-sin245°=　　　　.  解析：cos245°-sin245°=cos 90°=0. 答案：0 4.已知tan α=，则tan 2α=　　　　.  解析：tan 2α==-. 答案：- 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值. (1)sincos;(2)1-2sin2750°; (3);(4)-. 解：(1)原式===. (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500° =cos(4×360°+60°)=cos 60°=. (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-. (4)原式== = ==4. |思|维|建|模| 给角求值的解题策略 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦. 　　[针对训练] 1.求下列各式的值. (1); (2)cos·cos·cos; (3)-. 解：(1)原式=×=×tan 45°=. (2)cos·cos·cos=-cos·cos·cos=- =- =-=-=. (3)-=====2. 题型(二)　给值求值 [例2]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)= (　　) A. B. C.- D.- (2)已知sin=，0<x<，则=　　　　.  解析：(1)因为所以sin αcos β=.所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=.所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=，故选B. (2)∵0<x<，∴-x∈. 又sin=，∴cos=. 又cos 2x=sin=2sincos=2××=，cos=sin=sin=，∴原式==. 答案：(1)B　(2) |思|维|建|模| 1.条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢. (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论. 2.注意几种公式的灵活应用 (1)sin 2x=cos=cos =2cos2-1=1-2sin2. (2)cos 2x=sin=sin =2sin·cos. 　　[针对训练] 2．(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos＝，则sinα－＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D　∵α∈(0，π)，cos＝， ∴cos α＝2cos2－1＝－，sin α＝， sin＝×－×＝. 3.若tan α=2，则的值是 (　　) A. B. C. D.- 解析：选A　原式= ===. 题型(三)　利用二倍角公式化简与证明 [例3]　(1)化简：; (2)求证：=tan4A. 解：(1)==·=sin x·=tan x. (2)证明：因为左边= ===(tan2A)2 =tan4A=右边， 所以=tan4A. |思|维|建|模| 三角函数式的化简方法 　　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式;二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”;三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 　 　[针对训练] 4.化简：(1); (2). 解：(1)原式= == ==cos 2x. (2) = =· =·=. 学科网（北京）股份有限公司 $