“8+3+3”小题强化训练（5）-2026届高三数学二轮复习（新高考地区专用）

2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(5) 一、小题知识归纳 单选1：不等式与集合融合 单选2：复数的除法与复数的模 单选3：正态分布 单选4：向量模的计算公式及向量垂直 单选5：等比数列的通项公式及前项和公式 单选6：三角函数零点 单选7：双曲线的几何性质 单选8：三角与基本不等式的融合 多选9：极差、百分位数、众数以及方差定义 多选10：立体几何线线、线面位置关系，体积以及立体几何中的轨迹问题 多选11：抽象函数 填空12：二项式项的系数 填空13：导数的几何意义 填空14：条件概率与排列组合的融合 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知为虚数单位，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3． 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 4．已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 5．记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 6．函数在区间上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（ ） A. 角为锐角 B. 2 C. 2 D. 的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的第40百分位数为8.5 C. 这组数据的众数为11 D. 这组数据的方差为 10．如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为2 D. 当平面时，线段长度最大值为 11．函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 零点个数大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中项的系数为________. 13.已知曲线在处的切线方程为，则_____． 14.在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习“8+3+3”小题部分章节融合强化训练(5) 一、小题知识归纳 单选1：不等式与集合融合 单选2：复数的除法与复数的模 单选3：正态分布 单选4：向量模的计算公式及向量垂直 单选5：等比数列的通项公式及前项和公式 单选6：三角函数零点 单选7：双曲线的几何性质 单选8：三角与基本不等式的融合 多选9：极差、百分位数、众数以及方差定义 多选10：立体几何线线、线面位置关系，体积以及立体几何中的轨迹问题 多选11：抽象函数 填空12：二项式项的系数 填空13：导数的几何意义 填空14：条件概率与排列组合的融合 二、小题强化训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】化简集合，根据集合交集运算求解，可判断的元素个数. 【解析】因为集合， 集合， 所以， 所以的元素个数为5. 故选：C 2．已知为虚数单位，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【分析】利用复数除法求得值，再用复数的绝对值公式求解即可. 【解析】由题，则=. 故选：D. 3． 已知随机变量，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 【答案】C 【分析】由随机变量得正态曲线关于直线对称，所以且，进一步可得结果. 【解析】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 所以，且， 所以， 故选：C. 4．已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【解析】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 5．记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ） A. 18 B. 9 C. 6 D. 2 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【解析】设等比数列的公比为， 当时，，所以不成立，故不符合题意； 当时， ， 因为，所以，或舍去， ， 因为，所以，且， 所以，所以， 因为且， 所以 故选：B 6．函数在区间上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】将函数在区间上的零点问题，转化为函数在上的图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，即可得答案. 【解析】由题意可知函数在区间上的零点个数， 即为函数在上的图象的交点个数； 作出函数的图象如图： 其中，当时，, 由图象可知的图象在上有4个交点， 即函数在区间上的零点个数为4， 故选：B 7．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【解析】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 8．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（ ） A. 角为锐角 B. 2 C. 2 D. 的最大值为 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D. 【解析】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的第40百分位数为8.5 C. 这组数据的众数为11 D. 这组数据的方差为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据极差定义进行计算；B选项，根据百分位数的定义进行计算；C选项，根据众数的定义进行计算；D选项，计算出平均数，进而求出方差. 【解析】A选项，极差为，故A正确； B选项，，故从小到大，选择第3个数据作为数据的第40百分位数，即第40百分位数为9，故B错误； C选项，11出现了2次，其他数均出现了1次，故11为众数，故C正确； D选项，平均数为，故方差为，故D正确； 故选：ACD 10．如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为2 D. 当平面时，线段长度最大值为 【答案】ABD 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，，，，连接，，，，，，，，，根据题意确定轨迹，计算可判断D. 【解析】对于A，当为的中点时， 因为是线段的中点，所以， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示， 当点在弧上时，直线与所成角为， 长度，故点的轨迹长度为，故B正确错误： 对于C，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，故C错误； 对于D，取，，，，，的中点分别为，，，，，， 连接，，，，，，，，，如图2所示， 易知，面，平面， 故平面，，平面，平面， 故平面，又，，平面， 故平面平面，又，，， 故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，； 故，故长度的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11．函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 零点个数大于1 【答案】AD 【分析】分别令以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令，代入已知化简即可判断C项；令，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项. 【解析】对于A项，令，由已知可得，，解得. 令，由已知可得，， 解得.故A正确； 对于B项，令，代入已知条件可得， . 又，所以有.故B错误； 对于C项，令，代入已知条件可得， . 因为， 所以有， 所以，是奇函数.故C错误； 对于D项，令，代入已知有. . 令，由可得， . 令，，由可得， . 因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得. 根据函数为奇函数，可知. 所以，函数至少存在三个零点.故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中项的系数为________. 【答案】 【分析】把二项展开，只有与相乘得到项，由此即可得到本题答案. 【解析】因为 所以展开式中项的系数为. 故答案为： 13.已知曲线在处的切线方程为，则_____． 【答案】## 【分析】由导数的几何意义及切点处的函数值求解. 【解析】由已知切点坐标为，因为，切线方程为， 则由导数的几何意义可得，解得， 又切点在曲线上，所以，解得. 故答案为：. 14.在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【分析】首先确定全集中有9个点，点对的选法数，确定能构成三角形的种数，利用古典概型概率公式求得，利用条件概率公式可求得. 【解析】由题意可得的选法有3种，的选法有3种，所以全集中有9个点. 首先，计算所有可能的点对的种数为， 下面考虑不能构成三角形的情况：①A，B中含原点，此时有8种； ②A，B中不含原点，则O，A，B三点共线，有，，，共3种， 因此，A，O，B三点能构成三角形的种数为，所以； 方法1：①考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，共3对； ②考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，，，，共6对； ③考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； ④考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，，，共4对； ⑤考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； 所以， 所以． 方法2：不妨设，，易知的面积为， 则为整数，等价于“为偶数”， 将非原点的8个点按坐标的奇偶性分类如下：（偶，偶）：，，，有3个； （偶，奇）：，，有2个；（奇，偶）：，，有2个；（奇，奇）：，有1个， 令，则d为奇数当且仅当，中恰为一奇一偶， 点对类型为：{（偶，奇），（奇，偶）}，{（偶，奇），（奇，奇）}，{（奇，偶），（奇，奇）}， 有种， 注意到在A，O，B三点能构成三角形的前提下，d为偶数的种数为， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $