精品解析：河北保定市蠡县蠡县中学2025-2026学年高二下学期开学测试数学试题

数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在公差不为0的等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 3. 数列为单调递减等比数列，且，则公比（ ） A B. C. D. 4. 在正方体中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A B. C. D. 6. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 8. 已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，则下列选项正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. 向量在向量上投影向量为 C. 点B到平面的距离为 D. 点B到平面的距离为 10. 已知数列的首项，则（ ） A. 是等比数列 B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线与圆相切，则 C. 若，则 D. 当时，从点向圆引切线，切线长最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列满足，则________． 13. 抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 14. 在平行六面体中，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线经过的三个顶点，，且直线的倾斜角互补． （1）求抛物线的方程； （2）求直线的斜率． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求数列的前n项和． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，为的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知，且，记动点的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）已知点P是曲线C上的一动点，不过原点O的直线l与曲线C交于两点，记直线的斜率分别为，若，求的值． 19. 已知为正项数列的前n项和，且． （1）求的通项公式． （2）已知数列满足：①，②，③． （i）求． （ii）证明：． （iii）若，求q的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在公差不为0的等差数列中，，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的下标和性质求解，即可得答案. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，， 所以，所以． 2. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得． 3. 数列为单调递减等比数列，且，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且为单调递减的等比数列， 联立，解得， 所以，故． 4. 在正方体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，是的中点，是靠近的三等分点，如图： 5. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， 所以． 6. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆方程化简曲率半径表达式，根据单调性得到曲率半径最值对应的表达式，列方程组求解得，从而得到椭圆标准方程. 【详解】 已知点在椭圆上，故， 代入曲率半径公式中括号部分：  ， 由于，系数， 故是关于减函数，且，因此与同增减. 当（短轴端点），取最大值，此时最大：  当（长轴端点），取最小值，此时最小：   已知，得方程组：  两式相乘得，即， 代入第一个方程得：，解得，即，进而得. 所以 ，故椭圆标准方程为. 7. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. 6 B. 16 C. 26 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】解法1：设等比数列的公比为. 若，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以，得. 所以. 8. 已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到，最后利用余弦定理建立齐次方程，求解离心率即可. 【详解】如图，设C的左焦点为，则为平行四边形，， 因为，所以， 而，可得， 因为，所以， 所以， 化简得，故离心率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，则下列选项正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量为 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点B到平面的距离为 D. 点B到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，，，， 所以向量在向量上的投影向量为，故A不正确，B正确； 点B到平面的距离为，故C正确，D错误． 10. 已知数列的首项，则（ ） A. 是等比数列 B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用构造法得到数列是等比数列，进而求出，判断选项B，利用等比数列定义，即可判断选项A，结合分组求和法判断选项C，利用裂项相消法，判断选项D. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 所以，常数，A错误； 因为数列的前项和为 ，所以C不正确； 记数列的前项和为， 因为， 所以， 故D正确． 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线与圆相切，则 C. 若，则 D. 当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可求出定点，可判断A；根据直线与圆相切的条件列方程即可判断B；求出圆心到直线的距离，即可判断C；当时，切线长最短，根据勾股定理求解即可判断D. 【详解】将直线的方程整理为， 由得， 所以直线过定点，故A正确； 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若直线与圆相切，则，解得，故B正确； 若，则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以，故C错误； 从点向圆引切线，设切点分别为，连接，则， 则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列满足，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据数列的递推式求出数列的前面几项，可确定数列的周期，利用数列的周期即可求得答案. 【详解】因为，若存在，则，则，矛盾，故， 所以． 因为，所以， 所以是周期为2的数列，故． 13. 抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】由抛物线的定义将转化为，则有三点共线时取最小值. 【详解】由题意得，准线为，过向准线作垂线，垂足为，且有， 因为，则， 所以当三点共线时，最小，如图： 即. 14. 在平行六面体中，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用空间向量基底表示向量，再根据数量积公式求模. 【详解】设，则，． 因为，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线经过的三个顶点，，且直线的倾斜角互补． （1）求抛物线的方程； （2）求直线斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求出答案； （2）设利用点差法求出，再根据的倾斜角互补求出，代入即可求出答案. 【小问1详解】 因为抛物线过，所以， 所以，即抛物线C的方程为． 【小问2详解】 易知直线BC的斜率存在，设，则， 两式相减得，所以， 因为直线的倾斜角互补，所以的斜率存在， 且， 所以，故． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）时，可得，与原式相减可求通项公式； （2）结合（1），利用等差数列的前项和公式，计算可求； （3）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为，① 所以当时，， 当时，，② 由整理得， 因为符合上式，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以． 小问3详解】 因为，所以． 因为， 所以， 所以． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，为的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由勾股定理得，再由等边三角形三线合一得，再由面面垂直判定定理进行证明； （2）由（1）中的三垂直建立空间直角坐标系，将相应向量表示出后，由向量夹角公式，利用两平面法向量求解. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接． 因为四边形是边长为2的正方形，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 设的中点为Q，连接，则．结合（1）可知两两垂直． 以O为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设是平面的法向量，因为， 所以，令，得． 因为平面，所以． 因为，且，所以平面， 所以为平面的一个法向量． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知，且，记动点的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）已知点P是曲线C上的一动点，不过原点O的直线l与曲线C交于两点，记直线的斜率分别为，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列出坐标运算的对应表达式，结合椭圆的定义可得解； （2）设，进而得到的方程为，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，只用含有的式子表示出，化简后求解出定值. 【小问1详解】 设， 则， 则， 由椭圆的定义可知T的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆， 所以曲线C的方程为． 【小问2详解】 设，则． 因为，所以．设直线的方程为， 由整理得． 因为P在椭圆C上，所以，所以上式可化为， 所以， 所以， ． 因为 ， ， 所以． 19. 已知为正项数列的前n项和，且． （1）求的通项公式． （2）已知数列满足：①，②，③． （i）求． （ii）证明：． （iii）若，求q的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），，；（ii）证明见解析；（iii） 【解析】 【分析】（1）由与关系推导证明是等比数列，进而求出其通项公式； （2）（i）通过与条件矛盾分析确定的值；（ii）推导证明与的关系；（iii）利用等比数列通项得到，结合的不等式求解的范围. 【小问1详解】 将代入，得． 由，得， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则为等比数列，且首项和公比均为q， 所以． 【小问2详解】 （i），若，则，得，这与矛盾， 所以，则，又，所以，得． 同理得， 又因为，所以，所以． （ii）证明：，又，所以． ， 得，即． （iii）因为， 所以． ， 因为，所以，即， 由，且， 可得，又，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列． 因为，所以， 若，则，即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $