2026年中考数学第一轮复习精讲精练专题一 圆的基本概念与性质

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第六章 圆 专题一 圆的基本概念与性质（解析版） 命题点1 圆的基本概念 1．（2024·山西阳泉·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（   ） A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性” B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短” C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度” D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等” 【答案】B 【分析】本题考查了生活常识与课本内容的联系，在深刻理解课本内容的基础上正确联系实际问题是解题的关键． 根据生活常识及课本相关知识逐项辨析即可． 【详解】解：A、图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”，正确，故该选项不符合题意； B、图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点确定一条直线”，错误，故该选项符合题意； C、图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”，正确，故该选项不符合题意； D、图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形 ∴正方形的对角线的长为2 ∴半径为 ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积 ∴阴影部分面积=π（）2-22= 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 3．（2025·山西运城·一模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形、圆的对称性和三角函数的性质，推导得；再根据扇形面积的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，连接DE ∵矩形ABCD，BC＝4， ∴，，， ∵以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴扇形面积 ∴阴影部分的面积 =扇形面积-扇形面积- =-- =-- =-- =-- =- 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形、圆、扇形面积、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、扇形面积、三角函数的性质，从而完成求解． 4．（2025山西运城模拟）下列说法中错误的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．圆的内接平行四边形是矩形 C．三角形不一定有外接圆 D．90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】C 【分析】根据圆的相关定义，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形的外心逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 直径是圆中最长的弦，故该选项正确，不符合题意， B. 圆的内接平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意， C. 三角形一定有外接圆，故该选项不正确，符合题题意，     D. 90°的圆周角所对的弦是直径，故该选项正确，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了圆的相关定义，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，三角形的外心，理解相关定义定理是解题的关键． 5．（2025山西临汾模拟）如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tan∠ACD=，从而可得答案. 【详解】解：如图， ∵， ∴∠BAC=∠DCA． ∵同圆的半径相等， ∴AC=AB=3，而    在Rt△ACD中，tan∠ACD=． ∴tan∠BAC=tan∠ACD=． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键． 命题点2 垂径定理及其推论 1．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴的面积为：， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， ∴图形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：A． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了的八等分点，连接其中的六个顶点得到圆内接六边形．若的半径为3、则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形和圆，垂径定理，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，中心对称图形的性质，不规则图形的面积，解决本题的关键是掌握多边形和圆的性质．连接，易证四边形是正方形，求出，由题意证明，求出四边形的面积，的面积，进而得到四边形的面积，再根据六边形是中心对称图形，求出六边形的面积，用圆的面积减去六边形的面积即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，即， ， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∴点过，且为中点， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， ∵的面积为， ∴四边形的面积为， ∵六边形是中心对称图形， ∴六边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：A． 3．（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径地理，圆周角定理，根据垂直得到，由圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设于点， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， 故选：D ． 4．（2025山西临汾模拟）如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，求得半径，再由垂径定理，可得，可知与等底等高，进而把阴影部分面积转化为扇形的面积，即可得出答案． 【详解】解：和都对着，， ， ， ， ， ， 是的直径，弦于点， ，， 与等底等高，即，， ， ， 故选：D． 5．（2025·山西吕梁·二模）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，即可解答，正确理解切线的性质是解题的关键． 【详解】解：与相切， ， ， ， 故选：A． 6．（2025山西晋城·二模）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为，得，，运用圆周角定理得，，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 7．（2025山西中考适应性训练）如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则 则阴影部分的面积为， 故选：A． 8．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 9．（2025山西太原模拟）如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点C，由勾股定理求出，得到，求出，进而求出，再根据面积和公式计算即可． 【详解】解：如图，作于点C， ∵半径为，圆心O到的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积公式，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 10．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 【详解】解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 命题点3圆周角定理及其推论 1．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 4．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 即圆的半径为． 故选：D． 5．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，，是上两点，过点作的切线，交的延长线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，连接，则，由切线的性质可得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的中点，，则，通过折叠性质可知，，，，则四边形是矩形，又，故四边形是正方形，则有，所以，求出，再通过图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积，圆周角定理推论，三角形内角和定理，折叠性质，矩形判定，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．（2024·山西·模拟预测）如图，在半圆中，为其直径，点，是半圆的三等分点．已知弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 二【答案】D 【分析】先通过弧长公式求出半圆的半径，再利用等边三角形的性质和三角形、扇形的面积公式，通过三角形面积减去扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：连接、、，过作于，交于， ∵点，是半圆的三等分点， ∴．，， 设半圆的半径为，则， 解得． ∵，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∴． ∵ ∴，，，扇形的面积为． ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴阴影部分面积为扇形． 故选：． 【点睛】本题主要考查弧长公式、等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式，熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是解题的关键． 8．（2025·山西长治·一模）如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质等知识点，连接，利用切线的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 __________ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，弧长的有关计算． 连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据弧长公式求出结论． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的半径为1， ∴劣弧的长． 即劣弧的长为， 故答案为：． 10．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 【答案】/ 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 11．（2025·山西朔州·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)勾股定理 (2)见解析 (3)65 【分析】（1）根据题意填空结论； （2）根据平行四边形的性质和中线定理即可得到结论； （3）根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，推出AC，BD是直径，连接AC，BD交于O，连接根据矩形的性质和中线定理得到结论． 【详解】（1）解：阅读材料中给出的证明过程依据的定理是勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵在中，是中线， ∴由中线定理得，， ∵在中，是中线， 由中线定理得，， ； （3）解：四边形是平行四边形， ， ∵内接于， ， ， 是矩形， 连接，交于O，连接 是矩形， ，，， 根据中线定理，得， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握中线定理是解题的关键． 12．（2025·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点． 任务： (1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数． (2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切， 判断是否为的“完美三角形”，并说明理由； 若，则的周长为________． 【答案】(1)； (2)是完美三角形，见解析；． 【分析】根据等边三角形和等腰直角三角形的性质，可知，，根据圆周角定理可知，根据一周角可以计算出； 根据是等边三角形，且与相切，可以求出，根据，可知，根据等边三角形的性质可知，从而可知，又因为是的直径，从而可证与相切； 根据锐角三角函数求出，根据等边三角形三边都相等，可得的周长为． 【详解】（1）解：以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”， 是等边三角形，是以为底边的等腰直角三角形， ，， 为半圆的直径， ， ； （2）解：是“完美三角形”，理由如下： 如下图所示，连接， 是的“沉毅三角形”， 是等边三角形， ， 与相切， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 与相切， 又与相切， 是的“完美三角形”； ②， 由可知，， 为半圆的直径，且， 在中，， 的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、角直角三角形、等边三角形的性质，解决本题的关键是读懂“朴实三角形”、“沉毅三角形”、“完美三角形”，根据这三个定义找图形中边、角之间的关系． 1．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 2．如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 3．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 4．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5．的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①， 过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图， 过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 6．如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 8．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． 【详解】（1）证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即， （2）解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 10．如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 1．综合与实践 问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心． (1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可； （2）作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可； （3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心． 作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O， ∵∠CAB=∠ABD=90°， ∴BC、AD是圆的直径， ∴点O是圆的圆心． （2）解：如图所示，点O就是圆的圆心． 作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O， ∵∠CAB=∠ABC=90°， ∴BC、AD是圆的直径， ∴点O是圆的圆心． （3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心． 作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O， ∵DE垂直平分AB， ∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上， ∵MN垂直平分AC， ∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上， ∴DE与MN的交点O是圆心． 确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 2．综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 3．综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成． 【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形， 只有乙是扇形， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 3．如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 5．如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 6．如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E的运动轨迹是解题的关键．根据点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，进而分析当重合时，重合，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上， 如图，此时 ∵ ∴当重合时，重合， 此时，则 ∴的最小值是 故答案为：． 7．如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 8．如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第六章 圆 专题一 圆的基本概念与性质 命题点1 圆的基本概念 1．（2024·山西阳泉·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（   ） A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性” B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短” C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度” D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等” 2．（2025·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西运城·一模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025山西运城模拟）下列说法中错误的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．圆的内接平行四边形是矩形 C．三角形不一定有外接圆 D．90°的圆周角所对的弦是直径 5．（2025山西临汾模拟）如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 命题点2 垂径定理及其推论 1．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了的八等分点，连接其中的六个顶点得到圆内接六边形．若的半径为3、则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025山西临汾模拟）如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·二模）水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（　　） A． B． C． D． 6．（2025山西晋城·二模）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025山西中考适应性训练）如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（2025山西太原模拟）如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为_____． 命题点3圆周角定理及其推论 1．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·山西·中考真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 5．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，，是上两点，过点作的切线，交的延长线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山西·模拟预测）如图，在半圆中，为其直径，点，是半圆的三等分点．已知弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 8．（2025·山西长治·一模）如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数是______． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 __________ ． 10．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为___________. 11．（2025·山西朔州·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇的一篇数学日记（部分），请仔细阅读，并完成相应的任务． 2025年5月4日  星期日 中线定理今天，我在浏览网页时，发现了一个重要词条——中线定理．该词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证． 阅读该词条后，将理解内容记录如下： 中线定理可理解为：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图1，在中，D为的中点，可得． 下面是该定理的证明过程： 证明：如图1，过点A作于点E． 在中，， 同理可得，，． 为证明方便，不妨设，， =…… 我有如下思考：将图1中的以点D为旋转中心旋转，可得到一个平行四边形，通过探究，得出一个猜想“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”…… 任务： (1)阅读材料中给出的证明过程依据的定理是______； (2)如图2，在中，和相交于点O，求证：； (3)如图3，已知内接于，P为内一点，若，，请直接写出的值． 12．（2025·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点． 任务： (1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数． (2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切， 判断是否为的“完美三角形”，并说明理由； 若，则的周长为________． 1．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 4．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 6．如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 7．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 8．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 9．如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 1．综合与实践 问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心． (1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________． 2．综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 3．综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（    ） A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形 3．如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 5．如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 7．如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． B 、能力提升练 A 、基础分点练 C 、综合与实践 模拟预测 学科网（北京）股份有限公司 $