2026年中考数学一轮复习 第六章圆：垂径定理及其推论 基础达标

2026届中考数学一轮复习 第六章圆：垂径定理及其推论 基础达标 一、选择题 1.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A.50m B.45m C.40m D.60m 2.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，⊙O的半径等于5，OE＝3，则CD的长为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） 5. A.   B.   C.   D.5 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 7.如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（　　） A.4m B.5m C.6m D.8m 8.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为(　　) A.50 m B.45 m C.40 m D.60 m 9.如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，则拱桥的半径OC为（　　） A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m 如图，是弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） 10. A.    B.    C.    D. 11.如图，弓形中，所在圆的圆心为点O，作关于直线对称的，经过点O，，点P为上任一点（不与点A，B重合），点M，N分别是，的中点，则的长为（    ） A. B. C. D. 12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠BCO＝62°，则∠A的大小为(　　) A.62° B.56° C.52° D.50° 13.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　　) A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m 14.如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（　　） A. B.6 C. D.8 15.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，CD＝26寸，求AB的长．”求弦AB的长为（　　） A.10寸 B.3寸 C.20寸 D.26寸 二、填空题 16.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝　　． 17.如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 18.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 　　． 19.赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=18 m，拱高CD=5 m，则拱桥的半径为　　　m.  20.如图，在Rt△ABC中，BC＝4，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，弧AD沿直线AD翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为 　　． 三、解答题 21.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，点B是劣弧的中点，延长AC到点F，使AF＝AD，连接FB，CB，BD． （1）求证：FB＝CB； （2）若FB∥CD，求证：FB是⊙O的切线； （3）若AE＝7，EB＝2，求FB的长． 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． 22. （1）求证：； （2）若，，求的长． 23.如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径. 24.如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证： (1)＝； (2)AE＝CE． 25.建水紫陶，别名滇南琼玉，为中国四大名陶之一．2008年建水紫陶烧制技艺被列入第二批国家级非物质文化遗产名录，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1，当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫陶壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过圆心O，且l⊥AB于点D、交⊙O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，求这个紫砂壶的壶口半径r的长． 2026届中考数学一轮复习 第六章圆：垂径定理及其推论 基础达标（参考答案） 一、选择题 1.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A.50m B.45m C.40m D.60m 【答案】A 【解析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示： 则OA＝OD＝250m，AC＝BCAB＝150m， ∴OC200（m）， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m）， 即这些钢索中最长的一根为50m， 故选：A． 2.工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点作于点，则(米)，， ∵圆直径为米， ∴OA=OB=1米， ∴在Rt△AOD中，(米)， ∵， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积为平方米. 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，⊙O的半径等于5，OE＝3，则CD的长为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE， ∴OB⊥CD，∠CEO＝90°， 则， ∴CD＝2×4＝8． 故选：C． 4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 【答案】B 【解析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BEAB8＝4， 在Rt△AEO中，OE3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故选：B． 如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） 5. A.   B.   C.   D.5 【答案】A 【解析】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4， 在Rt△OCE中，OE＝＝＝3． 故选：C． 7.如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为（　　） A.4m B.5m C.6m D.8m 【答案】B 【解析】连接BO， 由题意可得：AD＝BD＝4m，设⊙O的半径OC＝xm， 则DO＝（8﹣x）m， 由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5． 故选：B． 8.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250 m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为(　　) A.50 m B.45 m C.40 m D.60 m 【答案】A 【解析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示. 则OA＝OD＝250 m，AC＝BC＝AB＝150 m， ∴OC＝＝＝200(m)， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50(m)， 即这些钢索中最长的一根为50 m. 故选：A． 9.如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，则拱桥的半径OC为（　　） A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m 【答案】B 【解析】 如图，连接BO， 由题意可得AD=BD=4 m，设☉O的半径OC=x m， 则DO=（8-x）m， 由勾股定理可得x2=（8-x）2+42， 解得x=5. 如图，是弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ） 10. A.    B.    C.    D. 【答案】B 【解析】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 11.如图，弓形中，所在圆的圆心为点O，作关于直线对称的，经过点O，，点P为上任一点（不与点A，B重合），点M，N分别是，的中点，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图，过O作于D，交于C， ，， 关于对称的经过原本所在圆的圆心O， ， 在中，， ， ， ． ， ， ∴， 连接， 点M、N分别是、的中点， ，， 的长． 故选C． 12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠BCO＝62°，则∠A的大小为(　　) A.62° B.56° C.52° D.50° 【答案】B 【解析】∵OC⊥BD， ∴＝， ∴CB＝CD， ∵OC⊥BD， ∴∠DCO＝∠BCO＝62°， ∴∠BCD＝124°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣124°＝56°. 13.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　　) A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m 【答案】B 【解析】由题意可知AB＝37 m，CD＝7 m， 设主桥拱半径为R m， ∴OD＝OC﹣CD＝(R﹣7)m， ∵OC是半径，OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝(m)， 在Rt△ADO中，AD2+OD2＝OA2， 即()2+(R﹣7)2＝R2， 解得R＝≈28． 故选：B． 14.如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（　　） A. B.6 C. D.8 【答案】B 【解析】如图，连接OC， ∵AB为⊙O的直径，CD垂直平分OA， ∴CECD＝2，OEOC， ∵OE2+CE2＝OC2， ∴OE2+12＝4OE2， ∴OE＝2， ∴OB＝OC＝4， ∴BE＝2+4＝6． 故选：B． 15.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，CD＝26寸，求AB的长．”求弦AB的长为（　　） A.10寸 B.3寸 C.20寸 D.26寸 【答案】A 【解析】连接OA， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥DC， ∴AEAB，OA＝ODCD26＝13（寸）， ∴AB＝2AE，OE＝OD﹣ED＝13﹣1＝12（寸）， 在Rt△AEO中， OE2+AE2＝OA2， ∴122+AE2＝132， 解之AE＝5（寸）， ∴AB＝10寸． 故选：A． 二、填空题 16.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝　　． 【答案】2． 【解析】∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴， ∵CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，CD＝8， ∴， 在Rt△OEC中，， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 17.如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， 在中，由勾股定理得. 18.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 　　． 【答案】5． 【解析】连接OB， ∵OC⊥AB于点D，AB＝8， ∴BDAB＝4， 在Rt△BOD中， ∵OB2＝OD2+BD2 ＝32+42 ＝25， ∴OB＝5， 故答案为：5． 19.赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=18 m，拱高CD=5 m，则拱桥的半径为　　　m.  【答案】 【解析】 如图，设所在圆的圆心为O，半径为r m， 由题意可知AB=18 m，OD=（r-5）m， ∵OC⊥AB， ∴∠ADO=90°，AD=BD=AB=9（m）， 则由勾股定理得OA2=AD2+OD2， 即92+（r-5）2=r2， 解得r=. ∴拱挢的半径为 m. 20.如图，在Rt△ABC中，BC＝4，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，弧AD沿直线AD翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为 　　． 【答案】8﹣2π 【解析】设点O′是的中点，连接OO′．AO′，DO′，OD，AD与OO′交于点E， ∵弧AD沿直线AD翻折后经过点O， ∴AO′＝AO，DO′＝DO， ∵AO＝OD， ∴AO′＝DO′＝AO＝DO， ∴四边形AODO′是菱形， ∵AO＝OO′， ∴△AOO′是等边三角形， ∴∠O′AO＝∠AOO′＝∠DOO′＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AB＝BC＝4， ∴AO=OD=2， ∴OE＝AO＝，AE＝AD＝2AE＝6， ∴阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣扇形OO′D的面积 ＝＝8﹣2π． 三、解答题 21.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，点B是劣弧的中点，延长AC到点F，使AF＝AD，连接FB，CB，BD． （1）求证：FB＝CB； （2）若FB∥CD，求证：FB是⊙O的切线； （3）若AE＝7，EB＝2，求FB的长． 【答案】解：（1）∵点B是劣弧的中点， ∴=， ∴∠BAF＝∠BAD，CB＝DB， 在△BAF和△BAD中， ， ∴△BAF≌△BAD（SAS）， ∴FB＝DB， ∵CB＝DB， ∴FB＝CB. （2）连接OB，如图， ∵＝， ∴OB⊥CD， ∵FB∥CD， ∴OB⊥FB， ∵OB是⊙O的半径， ∴FB是⊙O的切线. （3）∵＝， ∴∠BDE＝∠BAD， ∵∠DBE＝∠ABD， ∴△BDE∽△BAD， ∴， ∵AE＝7，EB＝2， ∴BA＝AE+EB＝7+2＝9， ∴BD＝＝＝3， ∵FB＝DB， ∴FB＝3． 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． 22. （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 23.如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径. 【答案】解：连接OA，图略，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE=OC-EC＝r﹣2， ∵CD平分AB， ∴AE＝BE=＝3，CD⊥AB， 在Rt△OAE中，32+(r﹣2)2＝r2， 解得r＝， 即⊙O的半径为. 24.如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证： (1)＝； (2)AE＝CE． 【答案】证明：(1)∵AB＝CD， ∴＝， ∴+＝+， ∴＝． (2)∵＝， ∴AD＝BC， ∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE≌△CBE(AAS)， ∴AE＝EC． 25.建水紫陶，别名滇南琼玉，为中国四大名陶之一．2008年建水紫陶烧制技艺被列入第二批国家级非物质文化遗产名录，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1，当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫陶壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过圆心O，且l⊥AB于点D、交⊙O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，求这个紫砂壶的壶口半径r的长． 【答案】解：连接OB，OC⊥AB．若AB＝30mm， ∴BD＝ADAB＝15mm， 在Rt△BOD中，BD＝15mm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣5）mm，OB2＝BD2+OD2， ∴r2＝152+（r﹣5）2， 解得r＝25， 答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为25mm． 学科网（北京）股份有限公司 $