精品解析：天津市第二中学2025-2026学年高二下学期阶段性知识回顾数学试卷

河北二中26春高二开学考试卷 2025-2026（二）天津二中高二年级阶段性知识回顾 数学学科试卷 一、单选题(每题3分，共42分） 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ）． A. B. C D. 3. 已知命题，若为真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （ ） A. B. C D. 6. 在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 9. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 10. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A B. 2 C. D. 11. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 12. 在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（ ） A 94.5尺 B. 93.5尺 C. 92.5尺 D. 91.5尺 13. 若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若（为坐标原点）的面积为，且双曲线的离心率为，则抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共21分） 15. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 16. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是__________. 17. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 18. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为__________. 19. 已知数列满足，则的通项公式__________． 20. 在正三棱柱中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为_____；点到直线的距离为_____． 三、解答题（本题包括3道题，共37分） 21. 如图，正方形与平面垂直，点为的中点，， （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 22. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 23. 已知数列满足，，数列前n项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）求、的通项公式； （3）设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北二中26春高二开学考试卷 2025-2026（二）天津二中高二年级阶段性知识回顾 数学学科试卷 一、单选题(每题3分，共42分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出，结合对数函数的定义域求出，再根据交集的运算即可求出答案. 【详解】解不等式得，所以， 令，解得，则， 所以. 故选：A. 2. 已知命题，则是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用命题的否定的求法求出即可. 【详解】因为命题是全称命题， 所以是，故D正确. 故选：D. 3. 已知命题，若为真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，将的取值范围问题转化为求函数最值的问题. 【详解】因为对恒成立， 所以上恒成立， 令，则， 根据对勾函数的性质知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以. 故选：A 4. 已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱的体积求出圆柱的高，再由圆柱与球的表面积公式即可得出答案. 【详解】设圆柱的底面半径和球的半径为,圆柱的高为， 所以，所以球的表面积为， 所以圆柱的体积为，解得：， 圆柱表面积为：， 所以. 故选：A. 5. 如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 6. 在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点关于坐标轴及平面对称得出点，再应用空间向量的数量积坐标公式计算求解. 【详解】由已知得点关于轴对称点为， 点关于坐标平面的对称点为， . 故选：A. 7. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 8. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可. 【详解】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C 9. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 10. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算． 【详解】抛物线的焦点坐标是，双曲线的渐近线方程是， 所求距离为． 故选：A． 11. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 12. 在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（ ） A. 94.5尺 B. 93.5尺 C. 92.5尺 D. 91.5尺 【答案】A 【解析】 【分析】设小寒日影长为，有，应用等差中项、等差数列前n项和公式求结果. 【详解】设小寒日影长为，则，可得尺， 所以尺. 故选：A 13. 若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过定点，在圆内，连接，当和垂直时，最小，由垂径定理得到答案. 【详解】， 令，解得， 故直线过定点， 又，故在圆内， ，故圆心，半径为4， 连接，当和垂直时，最小， 其中， 由垂径定理得. 故选：C 14. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若（为坐标原点）的面积为，且双曲线的离心率为，则抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程是，抛物线的准线方程是 ，A,B两点的纵坐标分别是和，双曲线的离心率为 ，所以 ， ，所以A,B两点的纵坐标分别是和，所以 ， ，解得 ，所以准线方程为，故选D． 二、填空题（每空3分，共21分） 15. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 16. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是__________. 【答案】； 【解析】 【分析】由渐近线方程先设双曲线方程为，再将点代入即可求得结果. 【详解】由双曲线的渐近线为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为 故答案为： 17. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 18. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值正负判断出的最大值，再根据等差数列的前项和公式求得结果. 【详解】因为，当时，，当时，， 所以的最大值为， 故答案为：. 19. 已知数列满足，则的通项公式__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，利用累加法可求出. 【详解】数列满足，，，， 因此，. 故答案为：. 20. 在正三棱柱中，为中点，，则异面直线与所成角的余弦值为_____；点到直线的距离为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质，取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系，根据异面直线的夹角公式即可求出直线与所成角的余弦值，根据空间中点到直线的距离公式即可求解点到直线的距离. 【详解】如图所示，正三棱柱中，底面为等边三角形，取中点，则， 取中点，根据正三棱柱的性质可得：，， 故取中点作为原点，方向为轴建立空间坐标系， ，等边三角形高，则，， ，则，，， 为的中点，则， ， 设异面直线与所成角为，则； 由可得，， 则点到直线的距离， 故答案为： 三、解答题（本题包括3道题，共37分） 21. 如图，正方形与平面垂直，点为的中点，， （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明面面平行，即可证明平面平面； （2）根据垂直关系，建立以点为原点的空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再代入面与面夹角的向量公式； （3）根据（2）的结果，代入点到平面距离的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 同理平面，，且平面， 所以平面平面，平面， 所以平面； 小问2详解】 因为平面，平面， 所以，且，， 且平面，所以平面， 如图以点为原点为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 【小问3详解】 ，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 22. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 23. 已知数列满足，，数列前n项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）求、的通项公式； （3）设，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，取倒数可得，进而可证结论； （2）根据等差数列的通项公式可求，利用的关系可得； （3）根据的通项公式，判断其单调性，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以， 当时， ， 当时，满足，所以 . 【小问3详解】 由（2）可得， 可得， 所以， 由， 可得当，2时，， 当时，，单调递减， 可得为最大值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $