精品解析：河南开封市杞县高级中学2025-2026学年高一下学期开学测试数学试卷

开学测试高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知不等式的解集是，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数图象的一条对称轴是直线 C. 是奇函数 D. 若，则 8. 已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 的充要条件是 C. D. 是的充分条件 11. 已知函数方程有3个不相等的实数解，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则________． 13. 设，则________（结果用含的式子表示）. 14. 已知函数，则关于的不等式的解集是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若且，求实数的取值范围． 16. 已知，都是正数． （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值． 17. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的值． 19. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开学测试高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 已知不等式的解集是，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集是，利用方程的根与系数的关系求解. 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以， 解得， 所以， 故选：C． 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除一些选项，然后通过分析函数在特殊点（如附近）的取值情况进一步确定函数图象． 【详解】，其定义域为，对于任意， ， 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项， 当时，，，，所以，则， 当时，，，，所以，则，故排除C选项， 当时，，所以排除选项D． 故选：B． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断，根据同角的平方关系计算求出，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】因为，所以，则， 又，所以. 所以. 故选：A 6. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及指数函数的性质判断的范围即可. 【详解】易知， 又因为，即，所以， 所以. 故选：A 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数图象的一条对称轴是直线 C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B 8. 已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列四个等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角正弦公式，再转化为齐次式弦化切求解；对C，利用二倍角余弦公式求解；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简. 【详解】对于A， ， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， 故D错误. 故选：AB. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 的充要条件是 C. D. 是的充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，D，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C． 【详解】命题“”的否定是“”，A对； 当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错； 当时，，C错； 由可得，所以是的充分条件，D对. 故选：AD. 11. 已知函数方程有3个不相等的实数解，则的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的图象与性质，画出函数的图象，把方程有3个不相等的实数解，转化为与的图象有三个不同的交点，结合图象，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】若，可得， 当，单调递增；当，单调递减， 所以，且，当时，； 若，可得， 令，可得，即，即，解得， 令，可得函数在上单调递增， 当时，，且时，； 当时，，因为，所以， 所以当时，函数单调递减，且，当时，， 当时，函数单调递增，当，且， 作出函数的图象，如图所示， 要使得方程有3个不相等的实数解， 即函数与的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得或，所以选项B、C、D符合题意. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得，解得. 故答案为：3 13. 设，则________（结果用含的式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 故答案为： 14. 已知函数，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，可得为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得的单调性，根据条件，整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】因为，定义域为R， 所以， 所以为奇函数， 又， 因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 又在R上单调递减，所以在R上单调递减， 因为， 所以，则， 即，解得，即解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据空集的概念列出关于的不等式，求解出的取值范围； （2）先根据求解出的初步范围，然后根据条件求解出的结果，最后再根据子集关系求解出的取值范围. 【详解】解：（1）因为，所以，所以， 即实数的取值范围是． （2）因为，所以，即． 因为，，所以， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】易错点睛：根据集合的包含关系求解参数范围时的注意事项： （1）注意分析集合为空集的可能； （2）列关于参数的不等式时，注意等号是否能取到. 16. 已知，都是正数． （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）本题中主要利用不等式关系求解的最大值，注意验证等号成立条件；（2）将所求的式子与已知条件关系式做乘积可转化为利用均值不等式来求最值 试题解析：（1） ，化简得，当且仅当时等号成立，取得最值，所以的最大值为6 （2） ，当且仅当时等号成立，此时函数最小值为 考点：不等式性质求最值 17. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 18. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）5. 【解析】 【分析】（1）利用正切函数定义求出，再利用齐次式法计算得解. （2）利用诱导公式及正余弦函数定义求解. 【小问1详解】 依题意，，所以. 【小问2详解】 由，得， 则，， 所以. 19. 已知函数图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象.若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为 （2）实数的取值范围 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简；根据的最小正周期为求出可得；再求单调递增区间即可； （2）利用图象平移可得，令，转化为在上有两个解，结合图象可得答案. 【小问1详解】 ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 所以，与有两个交点， 作出，的图象如图所示，所以， 所以实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $