6.4.3 余弦定理、正弦定理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 | 平面向量及其应用 6.4平面向量的应用 6.4.3余弦定理、正弦定理 明确目标 发展素养 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养． 2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养. 第一课时　余弦定理 知识点　余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝ _B，c2＝ 推论 cos A＝，cos B＝， cos C＝ [微思考]　勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义： 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 ．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( ) (2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( ) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．( ) 2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　) A．4　　　　　　　　　　 B． C．7 D．5 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A. B． C．2 D．3 4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝_______. 题型一　已知两边及一角解三角形 【学透用活】 1．已知边a，b和角C. 2．已知边a，b和角A. [典例1]　在△ABC中， (1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A. (2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 【对点练清】 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4　　　　　　　　 B． C．3 D. 2．若b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. 题型二　已知三边解三角形 【学透用活】 已知边a，b，c. [典例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 【对点练清】 1．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 2．在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C. 题型三　三角形形状的判断 　　　 【学透用活】 [典例3]　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状． 【对点练清】 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．135° 2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B． C. D．2 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　) A. B. C.或 D.或 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则 (　　) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________. 7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______． 8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c； (2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状． 层级(二)　能力提升练 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　) A．7.5 B．7 C．6 D．5 2．(多选)在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，下列结论正确的是(　　) A．BC＝4 B．ME＝ C．BD＝2 D．cos∠DBC＝ 3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______． 4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B＋C)的值． 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求a的值． 层级(三)　素养培优练 1．若钝角△ABC的内角A，B，C满足A＋C＝2B，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 2．已知△ABC中，2·(－)＝·(－)，则tan C的最大值是(　　) A. B. C. D. 第二课时　正弦定理 知识点　正弦定理 (一)教材梳理填空 1．正弦定理的表示： 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 符号语言 ＝＝ [微思考]　已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？ 提示：(1)已知两角及其中一角的对边． (2)已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角． (3)已知两边及一边的对角． 2．正弦定理的常见变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B． 3．三角形面积公式： (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)正弦定理只适用于锐角三角形．( ) (2)正弦定理不适用于直角三角形．( ) (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．( ) (4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB. ( ) 2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______． 3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________. 4．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________. 题型一　已知两角及一边解三角形 【学透用活】 [典例1]　(1)在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于 (　　) A.　　　　　B. C. D. (2)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_________. 【对点练清】 1．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝_______. 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________. 题型二　已知两边及一边的对角解三角形 【学透用活】 [典例2]　在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b. 【对点练清】 在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长． 题型三　正、余弦定理的综合应用 【学透用活】 [典例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【对点练清】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，且a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)在△ABC中a2＋b2－c2＝ab， 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 (　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ (　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　) A．1 B．2 C.－1 D. 5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________. 7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________． 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 层级(二)　能力提升练 1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝(　　) A．2 B．＋1 C．3 D．2 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________. 3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝________. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 层级(三)　素养培优练 1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S. (1)求角B的大小； (2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值． 第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 知识点　余弦定理、正弦定理的应用 (一)教材梳理填空 实际测量中的有关名称、术语： (1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°. (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角， 它是方位角的另一种表示形式．如图，图①中表示北偏东30°，图②中表示南偏西60°. (3)仰角和俯角： 与目标视线在同一铅垂平面内的 和 的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做 ．如图所示． (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做 ． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)东北方向就是北偏东45°的方向． ( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) 2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　) A．10 km　　　　　　　　 B．10 km C．10 km D．10 km 3．如图中的两个方向，用方位角应表示为_______(图①)与_________(图②)． 4．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________． 题型一　测量距离问题 【学透用活】 [典例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)．若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 【对点练清】 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 题型二　测量高度问题 【学透用活】 [典例2]　如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. 【对点练清】 为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为______m. 题型三　测量角度问题 【学透用活】 [典例3]　“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. 【对点练清】 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile? 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　) A．北偏东10°　　　　　　　 B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是(　　) A．20 m， m B．10 m, 2 0 m C．10(－)m, 20 m D. m， m 3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　) A．15 km　　　　　　　 B．30 km C．45 km D．60 km 4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 (　　) A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h 5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______． 7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时 14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN. 层级(二)　能力提升练 1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)： ①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时． 4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 s．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°. (1)求A，C两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH. (声音的传播速度为340 m/s) 层级(三)　素养培优练 如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°. (1)求BC的长； (2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 | 平面向量及其应用 6.4平面向量的应用 6.4.3余弦定理、正弦定理 明确目标 发展素养 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养． 2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养. 第一课时　余弦定理 知识点　余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 推论 cos A＝，cos B＝， cos C＝ [微思考]　勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义： 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．(√) (2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(√) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(×) 2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　) A．4　　　　　　　　　　 B． C．7 D．5 答案：C 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A. B． C．2 D．3 答案：D 4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝_______. 答案： 题型一　已知两边及一角解三角形 【学透用活】 1．已知边a，b和角C. 2．已知边a，b和角A. [典例1]　在△ABC中， (1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A. (2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. [解]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，所以b＝2. 由cos A＝， 得cos A＝＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15. 由解得或 【对点练清】 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4　　　　　　　　 B． C．3 D. 解析：选D　cos C＝－cos(A＋B)＝－. 又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D. 2．若b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. 当a＝6时，由cos A＝＝＝0，可得A＝90°，C＝60°.当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°. 题型二　已知三边解三角形 【学透用活】 已知边a，b，c. [典例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. [解]　根据余弦定理，得cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. 又cos C＝＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝π，∴A＝，B＝π，C＝. 【对点练清】 1．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 解：已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，可令a＝2，b＝，c＝(＋1)，由余弦定理的推论，得 cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 2．在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C. 解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B， ∴2accos B＝ac，∴cos B＝. ∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°. ∵＝，∴2sin A＝(＋1)sin C， ∴2sin(120°－C)＝(＋1)sin C， ∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝(＋1)·sin C， ∴sin C＝cos C，∴tan C＝1.∵0°<C<180°，∴C＝45°. 题型三　三角形形状的判断 　　　 【学透用活】 [典例3]　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状． [解]　∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc. 而a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴2cos A＝1.∴cos A＝， ∴A＝60°.又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， sin A＝2sin Bcos C，∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形． 　　 【对点练清】 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 解：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B) ＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b22－c22 ＝2bc××， ∴b2＋c2＝＝＝a2. ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形． 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．135° 解析：选A　法一：∵BC<AC，BC<AB，三边相等时，A＝60°，∴A<60°，结合选项可知A正确． 法二：∵cos A＝ ＝＝＝， 且A∈(0，π)，∴A＝45°. 2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4 B． C. D．2 解析：选A　在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝＝4. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 解析：选C　由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　) A. B. C.或 D.或 解析：选A　∵a2－b2＋c2＝ac，∴cos B＝＝＝.又B为△ABC的内角， ∴B＝. 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则 (　　) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A，D. 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________. 解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0. 答案：0 7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______． 解析：设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求． 答案：120° 8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c； (2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状． 解：(1)∵sin C＝，且0<C<π，∴C＝或. 当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4， ∴c＝2.当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c的值为2或2. (2)由余弦定理知cos A＝， cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得 a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． 层级(二)　能力提升练 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　) A．7.5 B．7 C．6 D．5 解析：选D　∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5. 2．(多选)在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，下列结论正确的是(　　) A．BC＝4 B．ME＝ C．BD＝2 D．cos∠DBC＝ 解析：选ABD　对于A，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos120°＝48，所以BC＝4，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E为BC的中点，所以AE⊥BC，∠BAE＝60°，所以AE＝ABcos60°＝2，易知M是△ABC的重心，所以ME＝AE＝，故B正确； 对于C，在△ABD中，由余弦定理， 得BD＝＝＝2，故C错误； 对于D，在△DBC中，由余弦定理，得cos∠DBC＝＝＝，故D正确． 3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______． 解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0<B<π，∴B∈. 答案： 4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B＋C)的值． 解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2， 所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×， 解得c＝5，所以b＝7. (2)因为cos A＝＝， 所以sin A＝＝. 在△ABC中，B＋C＝π－A， 所以sin(B＋C)＝sin A＝. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求a的值． 解：(1)由余弦定理，得cos B＝， cos C＝， ∴原式化为·＝－， 整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0， ∴cos B＝＝＝－. 又0<B<π，∴B＝. (2)将b＝，a＋c＝4，B＝， 代入b2＝a2＋c2－2accos B，得 13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)cos， 即a2－4a＋3＝0. 解得a＝1或a＝3. 层级(三)　素养培优练 1．若钝角△ABC的内角A，B，C满足A＋C＝2B，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：选B　设三角形的三边从小到大依次为a，b，c， 因为A＋C＝2B，则A＋B＋C＝3B＝180°，故可得B＝60°. 根据余弦定理得cos B＝＝，于是b2＝a2＋c2－ac， 因为△ABC为钝角三角形，故a2＋b2－c2<0，于是2a2－ac<0，即>2. 则m＝>2，即m∈(2，＋∞)． 2．已知△ABC中，2·(－)＝·(－)，则tan C的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：选D　因为2·(－)＝·(－)，所以2·－2·＝·－·，即2bccos A－2abcos C＝abcos C－accos B. 所以2bccos A－3abcos C＋accos B＝0.由余弦定理得 b2＋c2－a2－＋＝0， 即2a2＋b2＝3c2. 所以cos C＝＝＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即a＝b时取等号． 显然C为锐角，要使tan C取最大值，则cos C取最小值，此时sin C＝＝， 所以tan C＝＝＝，即tan C的最大值是. 第二课时　正弦定理 知识点　正弦定理 (一)教材梳理填空 1．正弦定理的表示： 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 ＝＝ [微思考]　已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？ 提示：(1)已知两角及其中一角的对边． (2)已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角． (3)已知两边及一边的对角． 2．正弦定理的常见变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B． 3．三角形面积公式： (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)正弦定理只适用于锐角三角形．(×) (2)正弦定理不适用于直角三角形．(×) (3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(√) (4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB. (√) 2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______． 答案： 3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________. 答案：2 4．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________. 答案： 题型一　已知两角及一边解三角形 【学透用活】 [典例1]　(1)在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于 (　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_________. [解析]　(1)因为A＝75°，B＝60°， 所以C＝180°－75°－60°＝45°. 因为c＝，根据正弦定理＝， 得b＝＝＝. (2)由正弦定理，得＝，即＝， 解得AC＝4. [答案]　(1)A　(2)4 【对点练清】 1．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝_______. 解析：C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝2. 答案：2 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________. 解析：在△ABC中，∵cos A＝＞0，∴sin A＝. ∵cos B＝＞0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得c＝＝. 答案： 题型二　已知两边及一边的对角解三角形 【学透用活】 [典例2]　在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b. [解]　∵＝，∴＝，解得sin A＝. 又∵a＜c，C＝，∴A＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， ∴b＝＝＝＋1. 【对点练清】 在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长． 解：由＝，得sin B＝＝. ∵a<b，∴B>A＝30°，∴B＝60°或B＝120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝ ＝＝2. ②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1. 综上知c＝1或2. 题型三　正、余弦定理的综合应用 【学透用活】 [典例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. [解]　(1)因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin B＝＝， 所以cos B＝＝. 所以tan B＝＝. (2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝， 整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6， 得BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－， 所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc ＝bc＝ ＝，解得bc＝4.则由解得b＝c＝2. 【对点练清】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，且a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)在△ABC中a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理可知cos C＝＝＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. 因为sin C＝cos B，所以cos B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)可得B＝，C＝，则A＝π－－＝， sin A＝sin＝sin＝×＋×＝， 由正弦定理得＝＝， 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c， 由三角形面积公式，可知S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2， 由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 (　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：选A　根据正弦定理得＝＝.故选A. 2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形． 3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ (　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选BC　由正弦定理可知＝， ∴sin B＝＝＝， ∵0°＜B＜180°，b>a，∴B＝60°或120°. 4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　) A．1 B．2 C.－1 D. 解析：选B　由正弦定理＝，可得＝， ∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈， ∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2. 5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 解析：选C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C. 6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________. 解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2. 答案：2 7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________． 解析：在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1. 又B为三角形的内角，∴B＝， ∴c＝＝ ＝2， ∴S△ABC＝×2×2＝2. 答案：　2 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. 解：由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B，又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C， 即cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C. 因为0°<C<90°，所以2C＝45°－C，即C＝15°. 层级(二)　能力提升练 1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝(　　) A．2 B．＋1 C．3 D．2 解析：选AB　由正弦定理可得，sin C＝＝＝，在△ABC中，∵c>b，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝105°，∴a＝＝＝＋1；当C＝120°时，A＝45°，∴a＝＝＝2.综上，可得a＝＋1或2. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________. 解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°， 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)． 答案：　3 3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝________. 解析：由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin 60°＝×2ADsin 30°＋AC×ADsin 30°，所以AD＝＝＝2. 答案：2 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． 解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C， 得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B．∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝. (2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.∵b＋c＝4，∴bc＝3. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin(A－C)＝sin B， 所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A．由sin2A＋cos2A＝1， 得sin A＝. (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝， 所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝， 由正弦定理＝， 得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6. 层级(三)　素养培优练 1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2. 解析：由题图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为＝45°，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以等腰三角形的面积S＝2sin 45°＝32·＝16(＋1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(＋1)－×π×22＝16＋16－(m2)． 答案：16＋16－ 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S. (1)求角B的大小； (2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值． 解：(1)由S＝absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S， 得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C. 由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac， 所以a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝＝， 因为0<B<π，所以B＝. (2)因为a2＋c2－b2＝ac，a＝b＋1，c＝b－2， 所以(b＋1)2＋(b－2)2－b2＝(b＋1)(b－2)， 解得b＝7，所以a＝8，c＝5. 所以cos A＝＝＝， cos C＝＝＝. 第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 知识点　余弦定理、正弦定理的应用 (一)教材梳理填空 实际测量中的有关名称、术语： (1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°. (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角， 它是方位角的另一种表示形式．如图，图①中表示北偏东30°，图②中表示南偏西60°. (3)仰角和俯角： 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图所示． (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)东北方向就是北偏东45°的方向． (√) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√) 2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　) A．10 km　　　　　　　　 B．10 km C．10 km D．10 km 答案：D 3．如图中的两个方向，用方位角应表示为_______(图①)与_________(图②)． 答案：60°　210° 4．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________． 答案：34°27′ 题型一　测量距离问题 【学透用活】 [典例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)．若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ [解]　由正弦定理得 AC＝ ＝＝10(1＋)(米)， BC＝＝＝20(米)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝ ＝10(米)．∴A，B两点间的距离为10米． 【对点练清】 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60(m)． 答案：60 题型二　测量高度问题 【学透用活】 [典例2]　如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. [解]　因为CD⊥AD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD. 因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)． 即山的高度为800(＋1)m. 【对点练清】 为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为______m. 解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)． 在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝， ∴CD＝600×＝600(m)． 答案：600 题型三　测量角度问题 【学透用活】 [典例3]　“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. [解析]　如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得 DF＝＝ ＝10(m)， DE＝＝＝100(m)， EF＝＝＝130(m)． 在△DEF中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝ ＝＝－. [答案]　－ 【对点练清】 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile? 解：如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC 为 x n mile，则AC＝x. 由正弦定理得 sin θ＝＝，而θ<60°， ∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　) A．北偏东10°　　　　　　　 B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析：选D　由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是(　　) A．20 m， m B．10 m, 2 0 m C．10(－)m, 20 m D. m， m 解析：选A　由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)， h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)． 3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　) A．15 km　　　　　　　 B．30 km C．45 km D．60 km 解析：选B　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠ CBM＝15°，所以∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30 (km)． 4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 (　　) A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h 解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选B　依题意可得AD＝20(m)， AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中， 由余弦定理得cos∠CAD＝ ＝＝＝. 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______． 解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝，由余 弦定理得()2＝x2＋32－2×3×x×cos 30°， ∴x2－3x＋6＝0，∴x＝或2. 答案：2或 7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直 线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时 14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m， 由余弦定理可得BC＝ ≈316.2(m)， 这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.6 8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN. 解：根据图示，AC＝100 m．在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝，解得AM＝100 m．在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)． 层级(二)　能力提升练 1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)： ①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x. 依据正弦定理可得＝. 所以x＝·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°， 所以要使x最大，只需120°－α＝90°， 即α＝30°时，影子最长． 答案：30° 3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时． 解析：如图，设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米， AP＝x.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化简得x2－40x＋700＝0， |x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400， |x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)， 故t＝＝＝1(小时)． 答案：1 4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 s．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°. (1)求A，C两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH. (声音的传播速度为340 m/s) 解：(1)由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.在△ABC中，由余弦定理， 得BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 所以A，C两地间的距离为420 m. (2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°， 所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 层级(三)　素养培优练 如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°. (1)求BC的长； (2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)． 解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°， 则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4. 由正弦定理得＝， 解得BC＝4(m)．即BC的长为4 m. (2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4， 所以DC＝4sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，则DC＝2＋2. 所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m. 学科网（北京）股份有限公司 $