专题6.3 平面向量的数量积运算（9类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量数量积运算核心知识点，从物理背景（功的概念）引入，系统梳理向量夹角、数量积定义、投影向量等基础概念，再延伸至性质、运算律及常用结论，最终落实到求模、夹角、垂直关系、投影向量等应用，构建完整知识支架。 该资料亮点在于考点分类细致（9大考点），例题涵盖选择、填空、解答题，结合正方形、三角形等几何情境，培养学生用数学眼光观察现实（如物理背景）、用数学思维推理运算（如运算律应用）、用数学语言表达关系（如投影向量意义）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题6.3 平面向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：平面向量数量积的定义及辨析】 3 【考点2：平面向量数量积的几何意义】 5 【考点3： 用定义求向量的数量积】 6 【考点4：数量积的运算律】 8 【考点5：已知数量积求模】 10 【考点6：向量夹角的计算】 12 【考点7：垂直关系的向量表示】 14 【考点8：  已知模求参数】 17 【考点9： 求投影向量】 19 【知识梳理】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【考点1：平面向量数量积的定义及辨析】 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③. 【详解】，，， 表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等， 故①②③正确，④错误， 故选：D 2．（25-26高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 3．（多选）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）下列叙述正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角 C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为 【答案】ACD 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；举出反例即可判断B；根据的意义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D. 【详解】对于A，由，得同向且模相等， 由，得同向且模相等， 所以同向且模相等，所以，故A正确； 对于B，若与的夹角为，则，故B错误； 对于C，表示与同向的单位向量，故C正确； 对于D，在等边三角形中，， 则与的夹角为，故D正确. 故选：ACD. 4．（25-26高二上·江西新余·开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】. 故答案为： 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【答案】6 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】向量，且与的夹角为， 则， . 故答案为：6 【考点2：平面向量数量积的几何意义】 1．（24-25高一下·北京西城·期末）平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由图可知：在方向上的投影为，故， 故选：C 2．（25-26高二上·上海·课前预习）已知向量、，其夹角，则的几何意义是 ． 【答案】与在方向上的数量投影的乘积 【分析】略 【详解】略 3．（25-26高一上·上海·课后作业）若，，则向量在向量方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】把条件代入中，整理即可得到． 【详解】解：由题知，， 故， 故在向量方向上的数量投影为． 故答案为：． 4．（25-26高一·上海·课堂例题）在中，已知．判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】根据得，进而可得从而得解. 【详解】是直角三角形，理由如下： 因为， 所以，故即， 所以是直角三角形. 5．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【考点3： 用定义求向量的数量积】 1．（2026高二上·贵州·学业考试）在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，所以，所以； 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：B 3．（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】. 故选：A. 4．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 【答案】D 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得. 【详解】因为和的夹角为，，， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 【考点4：数量积的运算律】 1．（25-26高三上·云南昭通·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（    ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律求解. 【详解】. 故选:B. 2．（2025·湖南·三模）若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果. 【详解】∵，. ∴，，，∴， 且，则， 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽·期中）已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，两边平方，由向量数量积运算得，再由夹角公式求解. 【详解】因为，所以 ， 即，得 ， 设与的夹角为θ，则， 因为，所以 . 故选：C 4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知平面向量，，满足，，，则与的夹角为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，通过平方求得，即可求解； 【详解】解：， ，且，， ，， ， ，且， ， 故选：B. 5．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【详解】（1）由，，， 得， 所以； （2）， 所以. 【考点5：已知数量积求模】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由，计算，结合数量积定义，即可解出. 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 2．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义求得，再通过即可求解； （2）通过即可求解. 【详解】（1）由已知，． ， ． （2） ． 4．（2026高一·全国·专题练习）（1）已知向量满足，求. （2）已知向量、满足，，，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先由向量数量积的定义求出，再由向量的数量积的运算律即可求得结果. （2）根据向量的数量积的运算律即可求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，，， 所以. 5．（25-26高一上·安徽·期末）已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数量积运算，结合已知条件，直接计算即可； （2）由（1）中所求数量积，结合数量积运算律，求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，解得，又，所以. （2）由（1）得，，故可得：， 则. 【考点6：向量夹角的计算】 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 2．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知， 则， 所以，则. 设与的夹角为，则， 又，故，所以与的夹角为. 故选：C 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 故选：D. 4．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值. 【详解】因为， 所以，两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ， 故选：D 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 【考点7：垂直关系的向量表示】 1．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直可得其数量积为零，利用数量积运算的分配律可得，再利用数量积求向量的模可得结果. 【详解】由题可知，，即 所以. 故答案为：2. 2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小． 【答案】 【分析】通过向量垂直，数量积为0，列出等式，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】， ． 即． ，， 设向量与的夹角为， ． ． 又． 与的夹角为． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【详解】（1）， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； （2）若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 【考点8：  已知模求参数】 1．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 3．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 4．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得， ∵不共线，∴， 解得．∴当时，向量终点在同一直线上. （2）， 故当时，最小. 【考点9： 求投影向量】 1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 3．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，再根据数量积的定义计算，最后根据公式计算即可. 【详解】因为是边长为的等边三角形，为中点， 所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 则，，， 则， 则向量在向量方向上的投影向量为.    故选：B 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 ． 【答案】3 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量是， 即，又， 所以， 所以 故答案为：3 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】由题可得是直角三角形，解三角形可得，由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 平面向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：平面向量数量积的定义及辨析】 3 【考点2：平面向量数量积的几何意义】 3 【考点3： 用定义求向量的数量积】 5 【考点4：数量积的运算律】 5 【考点5：已知数量积求模】 6 【考点6：向量夹角的计算】 7 【考点7：垂直关系的向量表示】 8 【考点8：  已知模求参数】 9 【考点9： 求投影向量】 11 【知识梳理】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【考点1：平面向量数量积的定义及辨析】 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（多选）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）下列叙述正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角 C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为 4．（25-26高二上·江西新余·开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【考点2：平面向量数量积的几何意义】 1．（24-25高一下·北京西城·期末）平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高二上·上海·课前预习）已知向量、，其夹角，则的几何意义是 ． 3．（25-26高一上·上海·课后作业）若，，则向量在向量方向上的数量投影为 . 4．（25-26高一·上海·课堂例题）在中，已知．判断的形状，并说明理由． 5．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【考点3： 用定义求向量的数量积】 1．（2026高二上·贵州·学业考试）在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 4．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【考点4：数量积的运算律】 1．（25-26高三上·云南昭通·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（    ） A．12 B． C．20 D． 2．（2025·湖南·三模）若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·期中）已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知平面向量，，满足，，，则与的夹角为（） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【考点5：已知数量积求模】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，与的夹角是．计算 (1)； (2)． 4．（2026高一·全国·专题练习）（1）已知向量满足，求. （2）已知向量、满足，，，求. 5．（25-26高一上·安徽·期末）已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 【考点6：向量夹角的计算】 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 2．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【考点7：垂直关系的向量表示】 1．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知向量，的夹角为，，，若，则 ． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，，求与的夹角大小． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，满足，且，，． (1)求与的夹角； (2)是否存在实数使与垂直？ 【考点8：  已知模求参数】 1．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 3．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 4．（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）设是两个不共线的向量，． (1)若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？ 【考点9： 求投影向量】 1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则 ． 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为 . 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $