平面向量坐标运算 专项讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量的坐标运算 一．重点知识点梳理 1.平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 …………① 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 …………② 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，②式叫做的坐标，特别地，，， 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若，，则 （2）若 则，，。 若，则。 （3）设，则： ①；②∥； ③ ； ④ ； 二．典例分类分析 （一）平面向量的坐标运算 1.已知，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 3．如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． （二）平面向量垂直、平行的坐标表示 1．已知向量，，，且，则实数等于（ ） A． B． C．8 D．4 2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 (　　) A．充要条件　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　 D．既不充分也不必要条件 4.设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 （三）利用坐标运算求向量的数量积、模长、夹角 1．向量，，则＝（ ） A．6 B．5 C．1 D．－6 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 3．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设向量，，若，则与的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 7．已知向量，则（    ） A． B． C． D． （四）向量坐标运算与三角函数的交汇 1．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，． (1)若，且时，与的夹角为钝角，求的取值范围； (2)若，函数，求的最小值． 3.已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域. （五）自主建系法求平面向量相关问题 1.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，已知两个单位向量和向量 与的夹角为，且与的夹角为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 5．如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的坐标运算 一．重点知识点梳理 1.平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 …………① 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 …………② 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，②式叫做的坐标，特别地，，， 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若，，则 （2）若 则，，。 若，则。 （3）设，则： ①；②∥； ③ ； ④ ； 二．典例分类分析 （一）平面向量的坐标运算 1.已知，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设点D(x，y)，所以（x+1，y-3），=（10，-6）， 所以，解之得x=9，y=-3，所以点D 的坐标为（9，-3）。 故答案为：B 2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【详解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 3．如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【详解】 如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC．设D的坐标为(x，y)， ①若是▱ABCD，则由＝，得 (0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)， ∴∴x＝0，y＝－4. ∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)． ②若是▱ADBC，由＝，得 (0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)， 即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4. ∴D点的坐标为(2,4)(如图中所示的D2)． ③若是▱ABDC，则由＝，得 (0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)． 解得x＝－2，y＝0. ∴D点的坐标为(－2,0)(如图中所示的D3)， ∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0). （二）平面向量垂直、平行的坐标表示 1．已知向量，，，且，则实数等于（ ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【详解】 因为，， 所以， 又因为， 所以，即. 故答案为：D. 2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 【答案】B 【详解】 由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B． 故答案为：B. 3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 (　　) A．充要条件　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)， 得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6， 则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件， 故答案为：A 4.设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故答案选：C. （三）利用坐标运算求向量的数量积、模长、夹角 1．向量，，则＝（ ） A．6 B．5 C．1 D．－6 【答案】A 【详解】 由于，，则 所以 故答案选：A 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：,,即,解得, 故答案选：C 3．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上的投影向量为， 故答案选：B． 4．设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 故答案选：B． 5.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由已知可得，由可得，解得， 所以由与的夹角为钝角可得解得，且. 因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立； 当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立. 综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故答案选：B． 6．设向量，，若，则与的夹角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】 因为向量，，， 所以，解得， 所以，则， 设与的夹角为，则， 因为，所以，即， 故答案选：B 7．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故答案选：B. （四）向量坐标运算与三角函数的交汇 1．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说 故错误； 故答案选：AC 2.已知，． (1)若，且时，与的夹角为钝角，求的取值范围； (2)若，函数，求的最小值． 【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角， 则且与不能共线， 所以， 又，所以，所以， 当与共线时，，故，所以与不能共线时，. 综上：. （2） 令，则， 而函数在上为增函数，故当时有最小值. 故的最小值为 3.已知向量. (1)若，求的值； (2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域. 【详解】（1）解： ，， ，即， ，. （2）解：， 由图象向右平移，横坐标变为2倍得， ，， 在上单调递增，上单调递减， 的值域为. （五）自主建系法求平面向量相关问题 1.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨令，，设， 可得， 则. 故答案选：B. 2．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系， 则，直线所在直线方程为， 设，，则，， ， 当时，，当时，， 故其取值范围为， 故答案选：B. 3.在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，， ∴，，∴，∴， 则，∴，    故答案选：A． 4.如图，已知两个单位向量和向量 与的夹角为，且与的夹角为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则， 又，结合三角函数的定义易得， 而， ， 所以， 故， 即.    故答案选：D 5．如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，如图，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系. 则由已知可得，，，， 根据三角函数的定义知，. 则，， 所以，， 因为，，所以. 则，当，即时，该式子有最小值为-8. 故答案选：A. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 6．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故答案选：D ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $