6.2.2 向量的减法运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 | 平面向量及其应用 6．2.2　向量的减法运算 明确目标 发展素养 1.理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义． 2.掌握平面向量的减法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及减法运算律. 1.通过学习向量减法及有关概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对向量减法运算几何意义的理解及应用，增强逻辑推理、直观想象、数学运算素养. 知识点一　相反向量 (一)教材梳理填空 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝ 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a) ＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b， b＝－a，a＋b＝0 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)相反向量就是方向相反的向量． (×) (2)－＝，－(－a)＝a. (√) 2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是 (　　) A．m＝n　　　　　　 　 　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 答案：A 3．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________． 答案：， 知识点二　 向量的减法运算 (一)教材梳理填空 定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则向量a－b＝ ，如图所示 几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 [微思考]　移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式适用． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)两个相等向量之差等于0. (√) (2)两个相反向量之差等于0. (×) (3)两个向量的差仍是一个向量． (√) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． (√) 2．化简－＋所得的结果是 (　　) A． B． C．0 D． 答案：C 题型一　向量的减法及其几何意义 【学透用活】 [典例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 【对点练清】 1．[变设问]若本例条件不变，求作向量a－b－c. 解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c. 2.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋ c－a. 解：法一：如图，以，为邻边作▱OBDC， 连接OD，AD，则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a. 法二： 作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝ ＋＝c－a＋b＝b＋c－a. 题型二　向量的减法运算 【学透用活】 [典例2]　化简：(1)＋－＝________； (2)＋(＋)＋＝________； (3) －－－＝________. [解析](1)原式＝＋(－O)＝＋＝0. (2)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. (3)原式＝(－)－(＋)＝. [答案]　(1)0　(2)0　(3) 【对点练清】 化简下列各式： (1)－－； (2)＋－； (3)－－. 解：(1)－－＝＋＝. (2)＋－＝－＝. (3)－－＝＋＋＝＋＋＝. 题型三　向量加减法的几何意义的应用 【学透用活】 [典例3]　如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示，，并回答下面几个问题． (1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD? (2)当▱ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? [解]　∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b. (1)当|a|＝|b|时，▱ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD. (2)当▱ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|. 【对点练清】 设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|，试判断四边形ABCD的形状． 解：由a＋c＝b＋d，得a－b＝d－c， 即－＝－. ∴＝.于是AB綉CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又|a－b|＝|a－d|， 从而|－|＝|－|， ∴||＝||.∴四边形ABCD为菱形． 课时跟踪检测 　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 (　　) A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝0 解析：选ABD　结合图形可知，A、B、D显然正确．由于－＝，故C项错． 2．已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 (　　) A．|a|＋|b|＝|a－b|　　 B．|a|－|b|＝|a－b| C．|a＋b|＝|a－b| D．|a|＋|b|＝|a＋b| 解析：选A　如图，作＝a，＝－b，易知选A. 3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 解析：选A　＝D＋＋＝－＋＝a－b＋c. 4．(多选)下列结果为零向量的是 (　　) A．－(＋) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 解析：选BCD　A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项， ＋＋－＝＋＝0.故选B，C，D. 5．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 (　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 解析：选B　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B. 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________. 解析：由题图知－－＋＋＝－＋＝. 答案： 7．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是____________. 解析：∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13. 答案：[3,13] 8.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a. 解：作法：如图，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.作向量＝a， 则＝a－b＋a. 层级(二)　能力提升练 1．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 解析：选C　以，为邻边作平行四边形，则m＝＋，n＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．故选C. 2．已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且＝2，设＝x，＝y，若|－|＝，则x＋y的最大值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：选C　∵|－|＝＝＝2，∴x2＋y2＝4.∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋y≤2，即x＋y的最大值为2，故选C. 3．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________． 解析：如图，设＝a，＝b，则a－b＝.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以||＝||＝||.所以△OAB是等边三角形，∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．因为＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b所在直线的夹角为30°. 答案：30° 4.如图，已知点B是▱ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解：∵四边形ACDE为平行四边形， ∴＝＝c；＝－＝b－a； ＝－＝c－a；＝－＝c－b； ＝＋＝b－a＋c. 5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c. 求：(1)|a＋b＋c|； (2)|a－b＋c|. 解：(1)由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c，∴延长AC到E，使| |＝||，如图所示． 则a＋b＋c＝，且| |＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF，BD， 则＋＝.∵a－b＝－＝－＝，∴|a－b＋c|＝|＋ |＝||，且||＝2.∴|a－b＋c|＝2. 层级(三)　素养培优练 1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，－＝λ，则λ＝________. 解析：连接A6A3，A1A4，A7A2且A6A3∩A1A4＝B，在A1A4上取一点C，使得＝，则四边形A1CA6A7为平行四边形，＝.设||＝m，则| |＝||＝m＋m＋m＝(2＋)m，由图可知，－＝＋ ＝＋＝2＝2×＝·. 答案： 2．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速直线运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状． 解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速直线运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b. 如图，作平行四边形APCD为菱形， ＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°. 同理∠APB＝∠BPC＝120°. 又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 | 平面向量及其应用 6．2.2　向量的减法运算 明确目标 发展素养 1.理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义． 2.掌握平面向量的减法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及减法运算律. 1.通过学习向量减法及有关概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对向量减法运算几何意义的理解及应用，增强逻辑推理、直观想象、数学运算素养. 知识点一　相反向量 (一)教材梳理填空 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝ 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a) ＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝ ， b＝ ，a＋b＝0 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)相反向量就是方向相反的向量． ( ) (2)－＝，－(－a)＝a. ( ) 2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是 (　　) A．m＝n　　　　　　 　 　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 3．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________． 知识点二　 向量的减法运算 (一)教材梳理填空 定义 求两个 的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 作法 在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则向量a－b＝ ，如图所示 几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的 的向量 [微思考]　移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式适用． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)两个相等向量之差等于0. ( ) (2)两个相反向量之差等于0. ( ) (3)两个向量的差仍是一个向量． ( ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． ( ) 2．化简－＋所得的结果是 (　　) A． B． C．0 D． 题型一　向量的减法及其几何意义 【学透用活】 [典例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 【对点练清】 1．[变设问]若本例条件不变，求作向量a－b－c. 2.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋ c－a. 题型二　向量的减法运算 【学透用活】 [典例2]　化简：(1)＋－＝________； (2)＋(＋)＋＝________； (3) －－－＝________. 【对点练清】 化简下列各式： (1)－－； (2)＋－； (3)－－. 题型三　向量加减法的几何意义的应用 【学透用活】 [典例3]　如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示，，并回答下面几个问题． (1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD? (2)当▱ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? 【对点练清】 设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|，试判断四边形ABCD的形状． 课时跟踪检测　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 (　　) A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝0 2．已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 (　　) A．|a|＋|b|＝|a－b|　　 B．|a|－|b|＝|a－b| C．|a＋b|＝|a－b| D．|a|＋|b|＝|a＋b| 3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 4．(多选)下列结果为零向量的是 (　　) A．－(＋) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 5．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 (　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________. 7．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是____________. 8.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a. 层级(二)　能力提升练 1．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 2．已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且＝2，设＝x，＝y，若|－|＝，则x＋y的最大值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 3．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________． 4.如图，已知点B是▱ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c. 求：(1)|a＋b＋c|； (2)|a－b＋c|. 层级(三)　素养培优练 1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，－＝λ，则λ＝________. 2．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速直线运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状． 学科网（北京）股份有限公司 $