专题01：向量的线性运算【10个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学向量的线性运算核心知识点，系统梳理加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法、数乘运算及性质，从基础概念到运算律，再到几何图形应用、三点共线、参数求解等题型，构建递进式学习支架。 资料特色在于分层设计题型，结合经典例题与解题思路，通过几何图形中向量分解培养空间观念（数学眼光），三点共线问题强化推理意识（数学思维），用向量语言表达几何关系提升应用能力（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题01：向量的线性运算】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量的加法 【知识点的认识】 向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ①；（）； ②； ③（）（）． 2．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【知识点的认识】 三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． 3．平面向量的加减混合运算 【知识点的认识】 1、向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ①；（）； ②； ③（）（）． 2、向量的减法运算． 求两个向量差的运算叫向量的减法运算． 法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）． 设，，则．即．即 特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终） 4．平面向量的数乘与线性运算 【知识点的认识】 （1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反． 当λ＝0时，λ与平行． 对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔λ （2）向量数乘运算的法则 ①1；（﹣1）； ②（λμ）λ（μ）μ（λ）； ③（λ+μ）λμ； ④λ（）＝λλ． 一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：几何图形中向量的线性运算】 【练方法】 知识梳理 1.向量加法：三角形法则（首尾相接，起点到终点）、平行四边形法则（同起点，对角线） 2.向量减法：，三角形法则（同起点，连终点，指向被减向量） 3.数乘运算：，模为，方向与符号一致 4.运算律：交换律、结合律、分配律 5.常用结论：，， 解题思路 1.明确图形中各向量的起点、终点 2.利用三角形法则或平行四边形法则，将目标向量拆分为已知向量的和差 3.结合数乘运算，将分线段向量表示为已知向量的倍数 4.利用运算律化简，得到最简表达式 名师点睛 优先用“三角形法则”处理首尾相接的向量，用“平行四边形法则”处理同起点的向量 注意向量的方向，，避免符号错误 复杂图形中，可先画出向量分解图，再进行代数运算 （25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________.经典例题2例题 （25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·陕西榆林·期中）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·安徽滁州·月考）如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：三点共线的问题】 【练方法】 知识梳理 1.三点共线的充要条件：存在实数，使得 2.等价形式：存在实数，使得（为平面内任意一点） 3.核心：共线向量的线性组合仍共线 解题思路 1.计算和（或和） 2.证明存在实数，使得 3.或用系数和为1的形式：若且，则共线 名师点睛 系数和为1的形式是高考高频考点，可快速判断三点共线 若已知三点共线，可直接设，用参数表示点 注意区分“向量共线”与“线段共线”，向量共线不要求三点在同一直线上 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ）经典例题1例题 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 （2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线．经典例题2例题 （23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ）小试牛刀1 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 （24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 （2025高三·全国·专题练习）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______.小试牛刀3 【题型3：向量线性运算求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心：利用向量相等的条件（对应分量相等，或几何意义下的唯一表示）列方程 2.常见场景：已知向量线性组合等于另一向量，求组合系数 解题思路 1.将所有向量用同一组基底表示（如） 2.代入已知等式，整理为的形式 3.由基底不共线，得，列方程组求解参数 名师点睛 基底选择优先取图形中已知长度和夹角的向量，简化计算 若向量用坐标表示，直接利用坐标相等列方程；若用几何表示，用基底法更通用 注意零向量的特殊性，可表示为任意向量的线性组合 （25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ）小试牛刀1 A． B．3 C． D． （24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2023高一·全国·专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ）小试牛刀3    A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：向量的共线定理与最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.共线定理：，使得（） 2.最值问题：将目标表达式（如模长、数量积）表示为参数的函数，利用共线条件求最值 解题思路 1.利用共线定理，将参数用向量关系表示 2.将目标表达式（如）表示为单参数函数 3.利用函数单调性、基本不等式或三角函数值域求最值 名师点睛 共线条件常用来消元，将多参数问题转化为单参数问题 模长最值优先用展开，转化为数量积计算 注意参数的取值范围，避免最值超出几何可行域 （24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A．1 B．4 C．9 D．16 （2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则______；的最小值为______.小试牛刀1 （24-25高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．小试牛刀2    （23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．15 【题型2：向量线性运算与三角形面积之比的问题】 【练方法】 知识梳理 1.面积比与向量比的关系：若，则（同高） 2.核心：利用向量线性运算表示线段比例，转化为面积比例 解题思路 1.用向量线性运算表示点分线段的比例（如） 2.将面积比转化为线段比，再转化为向量比 3.利用同高或同底的面积公式，建立面积比与向量比的等式 名师点睛 同高三角形面积比等于底边长之比，同底三角形面积比等于高之比 优先用重心、中点等特殊点的向量性质，简化计算 注意面积比的方向性，向量方向不影响面积的正负 （23-24高一下·浙江宁波·期中）点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ）经典例题1例题 A． B．3 C． D．2 （25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ）经典例题2例题 A．-2 B． C． D．2 （25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ）小试牛刀3 A．2 B． C．4 D． 【题型3：向量的共线定理的推论应用】 【练方法】 知识梳理 1.推论：若，则共线 解题思路 1.识别题目中的三点共线条件，用系数和为1的形式表示 2.代入已知向量表达式，列方程求解参数 3.利用推论快速判断共线，或由共线反推系数关系 名师点睛 系数和为1是判断三点共线的“金钥匙”，在选择填空题中可秒杀 若已知三点共线，可直接设系数和为1，减少变量个数 注意区分平面与空间的推论，避免混淆 （25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，点，满足，，与交于点，设，求的值．经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课后作业）在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．经典例题2例题 (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．小试牛刀2 (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． （25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，分别为，边上的点且，，连接，，记，求．小试牛刀3 【题型4：向量线性运算证明三点共线】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法：证明与共线，且有公共点 2.等价方法：证明且 解题思路 1.计算和，用已知向量表示 2.证明存在实数，使得 3.或用系数和为1的形式，直接验证 名师点睛 证明共线时，必须强调“有公共点”，否则两向量平行但不共线 优先用系数和为1的方法，步骤更简洁 若向量用坐标表示，可直接用斜率相等证明共线 （25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.经典例题1例题      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. （2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线．经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，．小试牛刀1 (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． （25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设．小试牛刀2 (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． （25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．小试牛刀3    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【题型5：向量线性运算中的参数最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心：将参数表示为向量的线性组合，利用向量的模、夹角等约束求最值 2.常见场景：，求、等的最值 解题思路 1.利用向量线性运算，将用已知条件表示 2.将目标函数（如）表示为单参数函数 3.利用基本不等式、三角函数值域或函数单调性求最值 名师点睛 优先用共线定理或系数和为1的条件消元，将双参数问题转化为单参数问题 注意参数的几何意义，避免最值超出可行域 （25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C．3 D． （23-24高一下·浙江丽水·月考）已知圆O的半径为2，弦的长为2，C为圆O上一动点，则的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为________．小试牛刀2 （22-23高一下·河北沧州·期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是_________.小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：向量线性运算与三角形“心”的判断】 【练方法】 知识梳理 1.重心：，或 2.外心： 3.内心：（为三角形三边） 4.垂心： 解题思路 1.利用“心”的向量性质，将已知向量表达式与性质对比 2.若已知点的向量表达式，判断是否满足重心、外心等的向量条件 3.结合几何性质，验证“心”的定义 名师点睛 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 内心的向量性质与边长相关，需注意三边对应关系 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 （25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ）经典例题1例题 A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 （2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ）经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ）小试牛刀1 A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 （24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀2 A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【多选题】（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：向量线性运算在几何中的综合应用】 【多选题】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A． B．三点共线 C． D． 【多选题】（23-24高一下·广东阳江·月考）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______.小试牛刀1 【多选题】（23-24高一下·山东滨州·月考）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（    ）小试牛刀3    A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（重庆部分区县2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题）在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·期末）对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，为不共线的向量，向量，，，A，B，D三点共线，则实数的值等于（   ） A．10 B． C．2 D． 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 7．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知在正六边形中，G是线段上靠近D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 二、多选题 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高一下·全国·专题练习）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 12．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 14．（24-25高一下·广东·期中）2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·四川内江·月考）已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______. 18．（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 四、解答题 20．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题01：向量的线性运算】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 1．平面向量的加法 【知识点的认识】 向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ①；（）； ②； ③（）（）． 2．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【知识点的认识】 三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． 3．平面向量的加减混合运算 【知识点的认识】 1、向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ①；（）； ②； ③（）（）． 2、向量的减法运算． 求两个向量差的运算叫向量的减法运算． 法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）． 设，，则．即．即 特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终） 4．平面向量的数乘与线性运算 【知识点的认识】 （1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反． 当λ＝0时，λ与平行． 对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔λ （2）向量数乘运算的法则 ①1；（﹣1）； ②（λμ）λ（μ）μ（λ）； ③（λ+μ）λμ； ④λ（）＝λλ． 一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：几何图形中向量的线性运算】 【练方法】 知识梳理 1.向量加法：三角形法则（首尾相接，起点到终点）、平行四边形法则（同起点，对角线） 2.向量减法：，三角形法则（同起点，连终点，指向被减向量） 3.数乘运算：，模为，方向与符号一致 4.运算律：交换律、结合律、分配律 5.常用结论：，， 解题思路 1.明确图形中各向量的起点、终点 2.利用三角形法则或平行四边形法则，将目标向量拆分为已知向量的和差 3.结合数乘运算，将分线段向量表示为已知向量的倍数 4.利用运算律化简，得到最简表达式 名师点睛 优先用“三角形法则”处理首尾相接的向量，用“平行四边形法则”处理同起点的向量 注意向量的方向，，避免符号错误 复杂图形中，可先画出向量分解图，再进行代数运算 （25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. （25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. （24-25高一下·陕西榆林·期中）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可 【详解】平行四边形中， 由，，得， 所以.    故选：D （24-25高一下·安徽滁州·月考）如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】 是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 【题型2：三点共线的问题】 【练方法】 知识梳理 1.三点共线的充要条件：存在实数，使得 2.等价形式：存在实数，使得（为平面内任意一点） 3.核心：共线向量的线性组合仍共线 解题思路 1.计算和（或和） 2.证明存在实数，使得 3.或用系数和为1的形式：若且，则共线 名师点睛 系数和为1的形式是高考高频考点，可快速判断三点共线 若已知三点共线，可直接设，用参数表示点 注意区分“向量共线”与“线段共线”，向量共线不要求三点在同一直线上 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ）经典例题1例题 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. （2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线．经典例题2例题 【答案】证明过程见解析 【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】因为，， 所以， 因此A，B，C三点共线. （23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ）小试牛刀1 A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B （24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则______.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 【题型3：向量线性运算求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心：利用向量相等的条件（对应分量相等，或几何意义下的唯一表示）列方程 2.常见场景：已知向量线性组合等于另一向量，求组合系数 解题思路 1.将所有向量用同一组基底表示（如） 2.代入已知等式，整理为的形式 3.由基底不共线，得，列方程组求解参数 名师点睛 基底选择优先取图形中已知长度和夹角的向量，简化计算 若向量用坐标表示，直接利用坐标相等列方程；若用几何表示，用基底法更通用 注意零向量的特殊性，可表示为任意向量的线性组合 （25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. （2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. （24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ）小试牛刀1 A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. （24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C （2023高一·全国·专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ）小试牛刀3    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到是的一个三等分点，然后利用中位线的性质得到，即可得到. 【详解】    ， ， ，即是的一个三等分点， 过点作的平行线交于， 是中点，，且是的中点， 从而， ， ， 又，则. 故选：C． 【B·能力提升题型】 【题型1：向量的共线定理与最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.共线定理：，使得（） 2.最值问题：将目标表达式（如模长、数量积）表示为参数的函数，利用共线条件求最值 解题思路 1.利用共线定理，将参数用向量关系表示 2.将目标表达式（如）表示为单参数函数 3.利用函数单调性、基本不等式或三角函数值域求最值 名师点睛 共线条件常用来消元，将多参数问题转化为单参数问题 模长最值优先用展开，转化为数量积计算 注意参数的取值范围，避免最值超出几何可行域 （24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________经典例题1例题 【答案】13 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. （2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． （2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则______；的最小值为______.小试牛刀1 【答案】 6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 （24-25高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．小试牛刀2    【答案】 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，    中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． （23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【题型2：向量线性运算与三角形面积之比的问题】 【练方法】 知识梳理 1.面积比与向量比的关系：若，则（同高） 2.核心：利用向量线性运算表示线段比例，转化为面积比例 解题思路 1.用向量线性运算表示点分线段的比例（如） 2.将面积比转化为线段比，再转化为向量比 3.利用同高或同底的面积公式，建立面积比与向量比的等式 名师点睛 同高三角形面积比等于底边长之比，同底三角形面积比等于高之比 优先用重心、中点等特殊点的向量性质，简化计算 注意面积比的方向性，向量方向不影响面积的正负 （23-24高一下·浙江宁波·期中）点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ）经典例题1例题 A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解. 【详解】    因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 故选：C. （25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ）经典例题2例题 A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B （25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B （25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. （23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ）小试牛刀3 A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 【题型3：向量的共线定理的推论应用】 【练方法】 知识梳理 1.推论：若，则共线 解题思路 1.识别题目中的三点共线条件，用系数和为1的形式表示 2.代入已知向量表达式，列方程求解参数 3.利用推论快速判断共线，或由共线反推系数关系 名师点睛 系数和为1是判断三点共线的“金钥匙”，在选择填空题中可秒杀 若已知三点共线，可直接设系数和为1，减少变量个数 注意区分平面与空间的推论，避免混淆 （25-26高一下·全国·课堂例题）在平行四边形中，点，满足，，与交于点，设，求的值．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据，，三点共线，得到，根据向量加法的平行四边形法则得到，列方程组即可求解. 【详解】由，知，如图， 因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 设，则， 由平面向量基本定理可得，解得， 所以，即，即． （25-26高一下·全国·课后作业）在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．经典例题2例题 (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在中，M是的中点，且，与相交于点E，设，，，试求x，y的值．小试牛刀1 【答案】， 【分析】由，，三点共线可得，故存在实数使，由，，三点共线可得，存在实数使，由平面向量基本定理列方程求，由此可得结论. 【详解】由题意得，， 由，，三点共线可知，存在实数使． 由，，三点共线可知，存在实数使． 所以， 由于，不共线，所以 解得，，所以． 所以，． （25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．小试牛刀2 (1)用和分别表示和； (2)如果，求实数和的值； (3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置． 【答案】(1)，． (2). (3)P为线段上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）利用向量减法的三角形法则求解； （2）根据已知 将用进行表示，的方程组计算得到的值； （3）设，．将用进行表示，得到的方程组，计算出的值，从而得到点P为线段上靠近点C的三等分点． 【详解】（1），． （2）由（1）知，， ， ， ，不共线，， 解得. （3）设，． 由（2）知，， ． 又， ， ，不共线，， 解得. ，即． ∴点P为线段上靠近点C的三等分点． （25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，分别为，边上的点且，，连接，，记，求．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据平面向量的基本定理及向量共线列方程组求解即可. 【详解】设，则． 又，，三点共线， 所以存在使 ． 所以，解得，， 所以，故． 【题型4：向量线性运算证明三点共线】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法：证明与共线，且有公共点 2.等价方法：证明且 解题思路 1.计算和，用已知向量表示 2.证明存在实数，使得 3.或用系数和为1的形式，直接验证 名师点睛 证明共线时，必须强调“有公共点”，否则两向量平行但不共线 优先用系数和为1的方法，步骤更简洁 若向量用坐标表示，可直接用斜率相等证明共线 （25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.经典例题1例题      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. （2024高一下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线．经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】根据三点共线要求，证明即可. 【详解】∵， ∴． ∵是上靠近点的三等分点， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴．① ∵为的中点，∴．② 由①②可得． 由向量共线定理知．又∵与有公共点， ∴三点共线． （25-26高一下·全国·课后作业）如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，．小试牛刀1 (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证. 【详解】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． （25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设．小试牛刀2 (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. （25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．小试牛刀3    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【题型5：向量线性运算中的参数最值问题】 【练方法】 知识梳理 1.核心：将参数表示为向量的线性组合，利用向量的模、夹角等约束求最值 2.常见场景：，求、等的最值 解题思路 1.利用向量线性运算，将用已知条件表示 2.将目标函数（如）表示为单参数函数 3.利用基本不等式、三角函数值域或函数单调性求最值 名师点睛 优先用共线定理或系数和为1的条件消元，将双参数问题转化为单参数问题 注意参数的几何意义，避免最值超出可行域 （25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C （2025·河南·模拟预测）已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解. 【详解】如图， 设，则恒成立，等价于恒成立， 从而有， 故． 设，，则． 作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，, 则， 当且仅当三点共线时取等号． 故选：D. （23-24高一下·浙江丽水·月考）已知圆O的半径为2，弦的长为2，C为圆O上一动点，则的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，数形结合得到的最值，从而得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，故， 设直线与圆分别交于点，， 因为圆O的半径为2，弦的长为2，故为等边三角形，故， 显然当与重合时，取得最小值，最小值为， 当当与重合时，取得最大值，最大值为， 故. 故选：D （23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为________．小试牛刀2 【答案】/0.75 【分析】利用向量加减法的平行四边形法则作图，由题意转化为求的最小值即可得解. 【详解】设，则，如图， ，，， 即， ，，， 即， ， 设， 则， 由在直线上，可知当时，最小， 此时， 故的最小值为. 故答案为： （22-23高一下·河北沧州·期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是_________.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用向量三点共线定理得到即可. 【详解】 ，，. ，，三点共线， ，，，， . 故答案为： 【C·拓展培优题型】 【题型1：向量线性运算与三角形“心”的判断】 【练方法】 知识梳理 1.重心：，或 2.外心： 3.内心：（为三角形三边） 4.垂心： 解题思路 1.利用“心”的向量性质，将已知向量表达式与性质对比 2.若已知点的向量表达式，判断是否满足重心、外心等的向量条件 3.结合几何性质，验证“心”的定义 名师点睛 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 内心的向量性质与边长相关，需注意三边对应关系 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 （25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ）经典例题1例题 A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． （2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ）经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B （2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ）小试牛刀1 A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． （24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀2 A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 【多选题】（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 【题型2：向量线性运算在几何中的综合应用】 【多选题】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A． B．三点共线 C． D． 【答案】BD 【分析】由，可得，即可判断A；得出的关系，即可判断B；将的面积转化为的面积即可判断CD. 【详解】由， 得，故A错误； 对于B，因为分别为中点， 所以， 则， 所以，所以， 又为公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C，由，得， 则， ， 所以，故C错误； 对于D，由C得，故D正确. 故选：BD. 【多选题】（23-24高一下·广东阳江·月考）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断. 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC （23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______.小试牛刀1 【答案】 【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得. 【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 【多选题】（23-24高一下·山东滨州·月考）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解. 【详解】对于A，易得在正八边形中，， 但方向不同，所以不正确，故A错误； 对于B，由，所以正确，故B正确； 对于C，由正八边形的性质知，，且， 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以， 又与以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量共线， 所以，故C正确； 对于D，在正八边形中，，， 不妨设，又， 所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 【多选题】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（    ）小试牛刀3    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案. 【详解】A选项，由题知，故，而，故A正确； B选项，由题知，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，因为，， ， 故，故D正确. 故选：ACD． 课后针对训练 一、单选题 1．（重庆部分区县2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题）在所在的平面内，，关于的对称点是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为在所在的平面内， 所以，， 又因为关于的对称点是， 所以是中点，， 所以. 2．（25-26高三上·安徽六安·期末）对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，为不共线的向量，向量，，，A，B，D三点共线，则实数的值等于（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算计算，再利用共线向量基本定理求得. 【详解】由题意得，， 因为A，B，D三点共线，则存在实数使得，即， 则， 因为，为不共线的向量，所以，得. 故选：C 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 5．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 6．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 7．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知在正六边形中，G是线段上靠近D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算和正六边形中的等量关系即可得结果. 【详解】由向量的线性运算及正六边形的性质可知 .    故选：C. 8．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由给定的向量等式，结合向量运算可得，再利用等高的两个三角形面积比求解. 【详解】由，得， 取的中点，连接，则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为. 故选：A 9．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，即可确定点的位置，再求出、、与的关系，即可得解. 【详解】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B 二、多选题 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合三角形重心的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，点为的重心，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D正确. 故选：BCD． 11．（2026高一下·全国·专题练习）设为平面上四点，，且，则下列结论不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 【答案】ACD 【分析】先对向量表达式进行变形，得出向量共线关系，再根据的取值范围，即可判断点的位置关系. 【详解】由题意，，可得， 所以，所以，，三点共线， 又，所以，所以点在线段上． 又点位置不确定，所以不能说明四点共线. 故选：ACD 12．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由图形结合向量加减法法则即可运算求解. 【详解】由题可得， ， ， . 故选：AC 13．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    14．（24-25高一下·广东·期中）2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定成立，故A错误； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以， 又，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 15．（24-25高一下·四川内江·月考）已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算及模长的定义分别判断各选项. 【详解】 如图所示， 设的三边中点分别为，，， 则， 所以，A选项错误； 成立，B选项正确； 由点为三角形重心，可知，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：BCD. 16．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 三、填空题 17．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是______. 【答案】1 【分析】由题设可得，利用系数和为1结合等边三角形的高得为的中点，故可求的长度. 【详解】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故， 故答案为：1. 18．（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 【答案】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为： 19．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 四、解答题 20．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解； （2）根据三点共线列出方程组求解即可． 【详解】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $