精品解析：海南琼海市嘉积中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题

琼海市嘉积中学2025—2026学年度第二学期高二年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分）. 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 3. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. B. R与G互斥但不对立 C. D. S与T相互独立 4. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 命题，命题方程表示椭圆，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的极差为8，则数据的极差为15 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上一动点，则（ ） A. 点到圆上的点的最短距离是 B. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.） 12. 已知点到直线的距离为1，则____________. 13. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为 ，与圆锥底面所成角为，若的面积为 则该圆锥的底面积为__________ 14. 已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 16. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 17. 四棱锥，平面平面，，是中点， （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 18. 为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为，乙成功解密两份文件的概率为． （1）求的值； （2）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率． 19. 已知数列的前项和为，且，，数列是首项为1，且满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2025—2026学年度第二学期高二年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分）. 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：B. 2. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． 3. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. B. R与G互斥但不对立 C. D. S与T相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解， 【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 4. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴，根据条件表示出，，然后利用斜率公式得到的等式，进而即得. 【详解】 过作轴，交轴于点，为等腰三角形，， ，为等腰三角形，， ，轴，， ， 是双曲线的左顶点，，， 点在过且斜率为的直线上， ，，， 在中，，， ，， ，， ，. 故选：B. 5. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 6. 命题，命题方程表示椭圆，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题的方程表示椭圆时的取值范围，再根据充分、必要条件的概念和判断规则进行分析判断． 【详解】，即， 方程表示椭圆等价于，解得. 当命题成立时，若，则命题不成立，不满足充分性； 当命题成立时，必满足，则命题成立，即，满足必要性； 是的必要不充分条件，故C正确． 故选：C． 7. 若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件设，，再利用和之间的关系即可求出. 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 8. 如图，已知椭圆和双曲线在轴上具有相同的焦点，，设双曲线与椭圆的上半部分交于A，两点，线段与双曲线交于点.若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，为则双曲线的实半轴），，又，，则，即可求椭圆的离心率． 【详解】解：如图，设，则，， ，，为则双曲线的实半轴）， 根据双曲线定义可得，， 在△中，满足，， 则， 则椭圆的离心率是． 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的极差为8，则数据的极差为15 【答案】AC 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的概念，即可判断A，根据平均数和方差公式，即可判断B，根据样本百分位数公式，判断C，根据极差公式，判断D. 【详解】A.个体被抽到的概率为，故A正确； B.由条件可知，得， 这组数据的方差为，故B错误； C.将数据按照从小到大排列12，14，15，17，19，23，27，30，共8个数据，，所以第70百分位数是第6个数据，为23，故C正确. D.不妨设本数据中最大的是，最小的是，则，由极差的概念，数据 的极差为，故D错误. 故选：AC 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用前项和与通项的关系，求出首项与公差的正负，结合选项逐项分析. 【详解】由于，即， 由于，即， 由于，即， 综上所述，，，， 对于A选项，由于，， 故等差数列的公差，故A选项正确； 对于B选项，由于，故B选项错误； 对于C选项，由，，可知， 等差数列是递减数列，所以，故C选项错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上一动点，则（ ） A. 点到圆上的点的最短距离是 B. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为2 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离判断A；根据与平行且到距离为2的直线与圆的交点有2个判断B；根据求得的范围判断C；根据弦是以为直径的圆与圆的公共弦求解方程并判断。 【详解】由题知，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 对于A，点到圆上的点的最短距离是，故错误； 对于B，如图，圆上的点到直线距离为2的点，对应的是与平行且到距离为2的直线与圆的交点， 此时圆心到的距离为或， 当满足与圆相交，有2个交点，当，与圆相离，无交点； 综上，圆上有且仅有两个点到直线的距离为2，正确； 对于C，过点作圆的一条切线，切点为，此时为直角三角形，， 由于，所以，即，故错误； 对于D，设，因为， 所以四点共圆，圆心为中点，半径为， 所以所在圆的方程为， 因为在圆上，所以弦为两个圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为：， 即，整理得， 所以，解得，即弦：过定点，故D选项正确； 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.） 12. 已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为 ，与圆锥底面所成角为，若的面积为 则该圆锥的底面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据的面积公式求母线长，再根据线面角公式求圆锥底面的半径，再求面积. 【详解】由条件可知，，则， 所以的面积为，则， 因为与圆锥底面所成角为，所以圆锥底面半径为， 所以该圆锥的底面面积为. 故答案为： 14. 已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】令，则原方程化为，当即时，原方程化为，表示单位圆的上半部分；当即，或时，则原方程化为，表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点）；再结合图象借助直线与圆和双曲线的位置关系分类讨论即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个不同的解，令，则， 则原方程化为， 当即时，原方程化为，表示单位圆的上半部分， 当即，或时，则原方程化为，表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点）， 作出图象得， ∵等轴双曲线渐近线为， ∴直线与双曲线最多有一个交点， ∴直线与半圆至少有一个交点， ∴，得， （1）当时，直线与半圆相切，有1个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有两个不同的解； （2）当时，直线与半圆相交，有2个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有三个不同的解，不合题意； （3）当时，直线与半圆有2个交点和，与双曲线没有交点，故原方程有两个不同的解； （4）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不合题意； （5）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线有1个交点，故原方程有两个不同的解； （6）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不合题意； （7）当时，直线与半圆没有交点，与双曲线也没有交点，故原方程没有解，不合题意； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查方程的解的个数的判断，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于难题． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】（1）； （2）时取得最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 16. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【小问1详解】 解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． 【小问2详解】 解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 17. 四棱锥，平面平面，，是中点， （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面平面得到平面，从而得到，在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【小问1详解】 ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 18. 为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．已知：甲成功解密一份文件的概率为，乙成功解密两份文件的概率为． （1）求的值； （2）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“甲成功解密份文件”，“乙成功解密份文件”根据题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码至多2次”，结合独立事件的乘法和互斥事件的概率加法公式，求得，进而求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：设“甲成功解密份文件”，“乙成功解密份文件”（） 由题知，解得. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码至多2次”，则， 其中两两互斥，与，与，与分别相互独立， 可得，， 所以，则 所以甲、乙两次解密过程中一共解开密码至多两次的概率为． 19. 已知数列的前项和为，且，，数列是首项为1，且满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）类比教材等比数列前项和公式推导方法，探求数列的前项和. 【答案】（1），，，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系升次作差求，利用等比数列的定义和通项公式求； （2）分和讨论，再结合等差数列的前项和公式求解即可； （3）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为，当时，， 当时，， 当时，也满足上式，所以，， 又因为，且，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以当时，， 此时， 当时，， 此时 ， 综上得. 【小问3详解】 由（1）得，所以①， ②， ①－②得， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $