精品解析：江西丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题（日新班）

丰城九中2025-2026学年下学期高二日新开学检测数学作业 命题人： 2026.3.4 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性解不等式，再解分式不等式，最后求交集即可. 【详解】由题意知，， 因为解分式不等式可得， 所以，即. 故选：B 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 3. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可． 【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由，得，解得. 因为推不出，且推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】由随机变量，且，得， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3． 故选：C. 6. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，根据等差数列通项公式可得，由与的关系计算可得. 【详解】， ，即，而 是以2为首项，公差为2的等差数列， ，则， . 故选：C 7. 如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系用圆柱的底面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可. 【详解】设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c， 根据题意可知， ， 所以椭圆的离心率. 故选：B 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用迭代求周期，利用平移变换求对称中心，取求得，可得奇偶性，利用周期性、对称性和奇偶性，结合单调性逐一判断即可. 【详解】，故 所以， 函数的对称中心为，往左平移3单位得到函数， 故函数的对称中心为，则， 因为， 取可得， 又，所以，所以， 因为函数的对称中心为， 故，所以，所以为偶函数； 对于A，在区间上单调递增，故，且， 所以，故A错误： 对于B，在区间上单调递增，对称中心为， 所以在区间上单调递增， 所以，故B错误； 对于C，因为， 故， 且，所以， 所以， 因为在区间上单调递增，故，故C错误； 对于D，结合在区间上单调递增， 故，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D. 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：ACD． 10. 若正数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得A正确，配方计算可得B正确，利用基本不等式中“1”的应用计算可求得C错误，将代入并利用二次函数性质计算可得D错误. 【详解】由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立； 即的最大值为，故选项A正确； 由于， 当且仅当时，等号成立，故B选项正确； 由于， 当且仅当，即时，等号成立，故选项C错误； 由，将其代入得， 当且仅当，时等号成立，故选项D错误. 故选：AB. 11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 【答案】64 【解析】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解. 【详解】由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种. 故答案为：64. 13. 的展开式中，的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数表达式，分情况讨论函数的值域，利用条件列式求解参数的取值范围. 【详解】化简， 由，故，从而， 当时，，的值域为， 此时，，满足，符合条件； 当时，，故，的值域为， 的最小值趋近于，的最大值趋近于， 要满足对任意，，成立，需满足，即. 当时，， 故，的值域为， 的最小值趋近于，的最大值趋近于1， 要满足对任意，，成立，需满足，即. 综上：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）用区间表示集合； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，可得答案. （2）由题意，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系，列出不等式组，分析求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 由，得，则， 所以，解得，即集合， 【小问2详解】 因为，所以， 当时，判别式，解得； 当时，可得， 由题意， 当时，，解得，即集合， 由，得，解得； 当时，，解得，即集合， 由，得，此时无解； 综上，实数的取值范围为 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 【答案】（1） 以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 解法一： 因为，，则，所以， 又因为A，E，F，四点不共线，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 解法二： 因为，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，取，所以， 因为，所以，得， 又因为平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系， 解法一：根据空间向量平行的坐标表示得，所以，进而可得结论； 解法二：求出平面的法向量，可得，进而可得结论； （2）利用直线与平面所成角的向量解法求解； （3）根据点到平面的距离的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设点F到平面的距离为d，因为， 所以， 所以点F到平面的距离为． 17. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问： ①求. ②求证：为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 【答案】（1）有关； （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）直接根据独立性检验计算判断可得； （2）①根据条件概率公式计算可得；②根据题意可得递推关系，再用定义证明等比数列，进而可求通项公式. 【小问1详解】 零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立， 即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 ①； ②第一次投中的概率， 如果前一次投中，则投中的概率为；如果前一次没有投中，则投中的概率为. 所以第次投中的概率. 化简得到，所以， 计算首项，所以为首项是，公比为的等比数列. 所以，的通项公式是. 18. 已知函数． （1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程； （2）记． （i）求的单调区间； （ii）若，其中，求证：． 【答案】（1） （2）（i）单调减区间为，无区间；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设两个函数图象的切点，根据导数的几何意义和点斜式写出两个函数图象对应的切线方程，让其系数相等，再令，求导即可求出； （2）（i）先得到的解析式，求其二阶导数，通过判断二阶导数进而判断一阶导数的正负，最后根据导数与单调性的关系即可判断； （ii）通过可得 ， 再将转化成，最后令，求导判断单调性即可. 【小问1详解】 定义域为， 设函数图象上的切点为， 切线方程为， 设函数图象上的切点为， 切线方程为， 比较对应项系数，有，消元得． 令，则，故为单调减函数， 当且仅当时，， 所以，直线的方程为． 【小问2详解】 （i），其定义域为． 记，则． 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即在上单调递减． 所以的单调减区间为，无增区间． （ii）由（i）及知，当时，，当时，， 因为，且，所以， 要证，只需证，即， 也就是， 令， 则， 记， 则，所以在上单调递增， ，故在上单调递减， ，得， 从而，即． 19. 已知一动圆与直线相切且过定点. （1）求圆心的轨迹方程； （2）、是的轨迹上异于原点的两点； （i）若，求面积最小值； （ii）直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）是，定点为. 【解析】 【分析】（1）根据题设有，整理化简即可得轨迹方程； （2）（i）设，，联立抛物线，应用韦达定理及求参数，进而有直线恒过点，根据求最小值； （ii）法一：根据已知可得、，写出直线的方程，结合及差角正切公式得，代入直线整理求定点即可；法二：设直线的方程为：，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据两角和的正切公式再代入韦达定理式即可得到，则得其所过定点. 【小问1详解】 设，由题意有，则； 【小问2详解】 （i）设，，联立抛物线有， 则，且，，则， 由，可得，即， 所以直线恒过点，则 ，当且仅当时取等号， 所以面积最小值为； （ii）法一：由题设且，联立，可得，同理， 所以，则, 由， 所以， 当时，， 所以直线过定点. 法二：由题，斜率必存在，设直线的方程为：， 联立，消有：， ，， ， 代入韦达定理式得， 直线的方程为：， 过定点． 【点睛】关键点点睛：第二问，二小问，根据已知写出直线关于已知参数的方程，结合求定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年下学期高二日新开学检测数学作业 命题人： 2026.3.4 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若正数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 13. 的展开式中，的系数为______ 14. 已知函数，若对任意实数，，，都有，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）用区间表示集合； （2）已知，求实数的取值范围． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 17. 生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ （2）某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问： ①求. ②求证：为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 18. 已知函数． （1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程； （2）记． （i）求的单调区间； （ii）若，其中，求证：． 19. 已知一动圆与直线相切且过定点. （1）求圆心的轨迹方程； （2）、是的轨迹上异于原点的两点； （i）若，求面积最小值； （ii）直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $