2026年江苏省无锡市惠山区中考数学自编模拟练习卷

2026年中考第一次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.与-2026的和为0的数是() 1 1 A.2026 B.-2026 C.2026 D.一2026 2.截至2025年12月，中国高铁营业里程突破50000km,位居世界第1位，超过世界上其他国家高铁营业里 程的总和.数据50000用科学记数法可以表示为() A.50×103 B.5×104 C.0.5×105 D.5×105 3.下列计算正确的是() A.a2.a=2a2 B.(-3a)2=-6a2 C.(a-b)2=a2-b2 D.x8÷x4=x4 4.某校开展“更时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛、按初赛成绩由高到低取前7位 进入决赛若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的() A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 5.如图，小张想测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C,然后分别测出AC,BC的 中点D,E,并测出DE的长为18m,则A,B之间的距离为() A.18m B.24m C.36m D.54m 第1页，共8页 6.如图，点A,B,C,D均在⊙0上，⊙0的半径为2cm,∠C=130,则BD的长为() 10 10 9 16 A.3T B. C. D.9π 0 D 7.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2-10x-25 B.a2+4a+16 C.9x2+24x+16D.4x2+4x 8.为传承我国传统节日文化，端午节前夕，上桥社区组织了包粽子活动.己知甲队平均每小时比乙队多包20 个粽子，甲队包150个粽子所用的时间与乙队包120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两队平均每小时各包多 少个粽子.若设甲队每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为() A0-1四 150120 B.-20=x c-12如 D.150、120 x=x-20 9.如图，△ABC的顶点均在反比例函数y=(k≠0，k为常数)图象上，∠ACB=90°，AB过点0，BC分别与x 轴、y轴交于D、E两点，若E点坐标为(O,一2)，△ABC的面积为8，则k的值为() A.22 B.2 C.3V2 D.3 0 D B 10.下列说法中，正确的个数有() ①二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过(2,1)，（-4,1)两点，m,n是关于x的一元二次方程ax2+ bx+c-k=0(0<k≤1)的两个实数根，且m<n,则-4<m<n<2恒成立， ②在半径为r的⊙0中，弦AB,CD互相垂直于点P,当0P=m时，则AB2+CD2=82-4m2. ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC=90°，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(O,5), 点C是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点，则k=±30： ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2-2(a+1)x+a2-1=0的两个实数根，且矩形的周长 值与面积值相等，则矩形的对角线长是46. 第2页，共8页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.1-3= 12臣数-一的自变量×的取值范围是一· 13.若单项式一4xm+3y与5x2yn-4是同类项，则mn的值为_. 14.命题“如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余”的逆命题是命题（填“真”或“假”） 15.一个多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个多边形的边数为· 16.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，以AB为边在AB上方作△ADB,使得tanABD=3V3,BD=2 √7，连接CD,交AB于点E,则BE的长为· D. B 17.在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4,E为菱形内部一点，且AE=2,连接CE,点F为CE中点，连接BF, 取BF中点G,连接AG,则AG的最大值为· B G 0 18.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,并延长CD交⊙ O于点E,过C作CG⊥AB交⊙O于点G,垂足为点H,连接GE,并延长GE交⊙O的切线AK于点K,若BH =2,GH=3,则⊙0的半径r=一，EK=一· 第3页，共8页 D E 0 A G 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程和不等式组： (1)2x2-5x+2=0: ,->1 (2)2 2(x-3)>3(x-2) 20.(本小题8分) a-2 先化简，再求值：(1+。-3)÷a2-6a+g其中a=-2. 21.(本小题10分) 如图，在△ABC中，AB=AC,D、E是BC边上的点，连接AD、AE,把△ADE沿AE翻折得到△AD'E,连接 D'C,若BD=CD (1)求证：△ABD≌△ACD': (2)若LBAC=120°，求∠DAE的度数. D B D E C 第4页，共8页 22.(本小题10分)如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展.展 厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风一17高超音速导弹、B巨浪一3潜射洲际导弹、C红旗 一29反导系统、D歼一35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊 喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张 卡片完全相同，背面朝上)： (1)甲同学第一次就抽到模型A的概率是 (2)若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽 到的2件模型中包含A的概率； (3)甲、乙两名同学都很想拿到模型A,两人约定都从四张卡片中随机抽取1张，直接写出至少有一人抽到模 型A的概率. 23.(本小题10分)在习总书记的“既要金山银山，也要绿水青山”的思想指引下，绿色环保理念已经深入人 心，为了调查学生对环保知识的了解情况，实验中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等 级：A非常了解；B比较了解；C基本了解；D不了解根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种 统计图 请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有 (2)请补全条形统计图： (3)扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是度： (4)若该校有1500人，根据调查结果请估算全校有多少学生对环保知识比较了解或非常了解。 第5页，共8页 人数 D 5% A 0 100 B 45% 60 0 A B C 图1 D等级 图2 24.(本小题10分)如图，己知正方形ABCD,请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹， 不写作法). (1)如图1，若点E在AD边上，连接BE,请以BE,DE为边作一个平行四边形： (2)如图2，若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE,DE为边作一个菱形. 图1 图2 25.(本小题10分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上一点，tQnB=2,点D在BC边上，且LCAD=∠B. (1)若AB=5,求AD的长： (2)求tanzDAB的值. D 26.(本小题10分)如图1，路灯AB与路灯CD都与地面垂直，且相距18米，路灯AB的高度比路灯CD的高度低1.6 米.夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯AB走向路灯CD,行走时间为t秒.当行走2秒时，他走 到了P处，此时发现身后影子项部正好触到路灯AB的底部（点B)如图2，在行走过程中，小明在路灯AB下的 影子为FM,在路灯CD下的影子为FN. (1)求路灯CD的高度， (2)当t=4秒时，求影子FN的长？ 第6页，共8页 (3)常言道：形影不离其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离. ①从路灯AB走向路灯CD的过程中，两路灯下的影子总长MN=一一_（用含t的代数式表示）： ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯CD下的影子的顶端N在 地面上移动的速度为一米/秒. ........Po Ag fC E B D D 地面 地面 P NFM 图1 图2 27.(本小题10分) 在平面直角坐标系中，一次函数y=一x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,已知二次函数y=一x2+ bx+c的图象经过A、B两点（如图）， (1)求该二次函数的函数表达式： (2)若点P是在直线AB上方抛物线上的一个动点，求点P到直线AB的距离的最大值及此时点P的坐标； (3)若二次函数y=-x2+bx+c,当t≤x≤3+t时，函数的最大值与最小值之差等于11，请直接写出t的 值 第7页，共8页 28.(本小题10分) (I)【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F,且DF=EF,求证BD=CE,小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG/AC 交BC于G,进而解决了该问题，请继续完成证明. (2)【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB/DC,E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相 交于点F试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 (3)【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD,BC边上的点，若AG=1,BF= √2，LGEF=90°，则GF的长为_一· D D D F D G GF E 图① 图② 图③ 图④ 第8页，共8页 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.与的和为的数是(    ) A. B. C. D. 2.截至年月，中国高铁营业里程突破，位居世界第位，超过世界上其他国家高铁营业里程的总和数据用科学记数法可以表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.某校开展“更时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有位同学参加了初赛、按初赛成绩由高到低取前位进入决赛若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这位同学成绩的(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5.如图，小张想测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后分别测出，的中点，，并测出的长为，则，之间的距离为(    ) A. B. C. D. 6.如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 8.为传承我国传统节日文化，端午节前夕，上桥社区组织了包粽子活动已知甲队平均每小时比乙队多包个粽子，甲队包个粽子所用的时间与乙队包个粽子所用的时间相同求甲，乙两队平均每小时各包多少个粽子若设甲队每小时包个粽子，可列出关于的方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，的顶点均在反比例函数为常数图象上，，过点，分别与轴、轴交于、两点，若点坐标为，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.下列说法中，正确的个数有(    ) 二次函数的图象经过，两点，，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． 在半径为的中，弦，互相垂直于点，当时，则． 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点的坐标为，点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，则． 已知矩形的一组邻边长是关于的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.          ． 12.函数的自变量的取值范围是        ． 13.若单项式与是同类项，则的值为        ． 14.命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是        命题填“真”或“假” 15.一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数为        ． 16.如图，是边长为的等边三角形，以为边在上方作，使得，，连接，交于点，则的长为        ． 17.在菱形中，，，为菱形内部一点，且，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为          ． 18.如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径        ，        ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程和不等式组： ； ． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 21.本小题分 如图，在中，，、是边上的点，连接、，把沿翻折得到，连接，若． 求证：≌； 若，求的度数． 22.本小题分如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器强军梦”主题国防教育展展厅里陈列着件等比例缩小的立体模型，分别是东风高超音速导弹、巨浪潜射洲际导弹、红旗反导系统、歼隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从、、、四张卡片中分次随机抽取张即赠送对应的件小模型除图案外每张卡片完全相同，背面朝上． 甲同学第一次就抽到模型的概率是______； 若按照“先抽张不放回，再抽第张”的方式赠送件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的件模型中包含的概率； 甲、乙两名同学都很想拿到模型，两人约定都从四张卡片中随机抽取张，直接写出至少有一人抽到模型的概率． 23.本小题分在习总书记的“既要金山银山，也要绿水青山”的思想指引下，绿色环保理念已经深入人心，为了调查学生对环保知识的了解情况，实验中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图． 请结合统计图表，回答下列问题： 本次参与调查的学生共有______； 请补全条形统计图； 扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； 若该校有人，根据调查结果请估算全校有多少学生对环保知识比较了解或非常了解． 24.本小题分如图，已知正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图保留作图痕迹，不写作法． 如图，若点在边上，连接，请以，为边作一个平行四边形； 如图，若点在正方形的对角线上，请以，为边作一个菱形． 25.本小题分如图，是的直径，是上一点，，点在边上，且． 若，求的长； 求的值． 26.本小题分如图，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米夜晚，身高为米的小明以米秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒当行走秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部点如图，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． 求路灯的高度． 当秒时，求影子的长？ 常言道：形影不离其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． 从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长______用含的代数式表示； 小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米秒． 27.本小题分 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过、两点如图． 求该二次函数的函数表达式； 若点是在直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标； 若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于，请直接写出的值． 28.本小题分 【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图过点作交于，进而解决了该问题，请继续完成证明． 【探究】如图，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，则的长为______． 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.与的和为的数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：与的和为的数是． 故选：． 根据相反数的定义，一个数与的和为，则该数是的相反数． 本题考查了相反数，有理数，有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 2.截至年月，中国高铁营业里程突破，位居世界第位，超过世界上其他国家高铁营业里程的总和数据用科学记数法可以表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：对于：，故A错误； 对于：，故B错误； 对于：，故C错误； 对于：，故D正确． 故选：． 通过计算每个选项，依据指数运算法则和乘法公式判断即可． 本题主要考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 4.某校开展“更时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有位同学参加了初赛、按初赛成绩由高到低取前位进入决赛若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这位同学成绩的(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C  【解析】解：由于总共有个人，要判断是否进入前名， 只要把自己的成绩与中位数进行大小比较． 则应知道中位数的大小． 故选：． 参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可． 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，解题的关键是掌握这些知识点． 5.如图，小张想测被池塘隔开的，两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后分别测出，的中点，，并测出的长为，则，之间的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故选：． 根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 6.如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， 的半径是， 的长 故选：． 连接，，由圆内接四边形的性质推出，求出，由圆周角定理得到，由弧长公式即可求出的长． 本题考查弧的计算，圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是掌握弧长公式． 7.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据逐项分析判断如下： ：，末项为负数，且非平方数，不符合题意； ：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配，不符合题意； ：：首项，末项，中间项，符合，符合题意； ：：缺少常数项，无法构成完全平方，不符合题意； 故选：． 需满足的形式，据此判断各选项． 本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 8.为传承我国传统节日文化，端午节前夕，上桥社区组织了包粽子活动已知甲队平均每小时比乙队多包个粽子，甲队包个粽子所用的时间与乙队包个粽子所用的时间相同求甲，乙两队平均每小时各包多少个粽子若设甲队每小时包个粽子，可列出关于的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：甲队平均每小时比乙队多包个粽子，且甲队每小时包个粽子， 乙队每小时包个粽子． 根据题意得：． 故选：． 根据甲、乙两队工作效率间的关系，可得出乙队每小时包个粽子，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲队包个粽子所用的时间与乙队包个粽子所用的时间相同，即可列出关于的分式方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9.如图，的顶点均在反比例函数为常数图象上，，过点，分别与轴、轴交于、两点，若点坐标为，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：过原点，且、在反比例函数为常数图象上， 根据反比例函数的中心对称性，设，则， 由于，且、在反比例函数上，的坐标为， 设直线的解析式为，将和代入， 得， 解得， 因此，直线的解析式为， 已知在直线上，将，代入解析式， 得， 因为是的中点， 所以， 对于、、， 利用坐标法求三角形面积： ， 因此，， 已知， 即， 由式可得，令，则，． 将和代入式， ， 即， 分情况讨论： 若，解得舍去，因为； 若，解得． 因此，，， 故选：． 设点坐标，求直线解析式，结合点和面积条件，联立方程求． 本题考查反比例函数性质与直角三角形知识，关键是设坐标、联立方程求解． 10.下列说法中，正确的个数有(    ) 二次函数的图象经过，两点，，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． 在半径为的中，弦，互相垂直于点，当时，则． 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点的坐标为，点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，则． 已知矩形的一组邻边长是关于的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】解： 由图象得：， 当时，，， 错误； 过点作于点，过点作于点，连接，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 正确； 或， 或， 错误； 矩形的一组邻边长是关于的一元二次方程的两个实数根， 长宽，长宽， 矩形的周长值与面积值相等， ， ， 或， ， ， 对角线长宽长宽长宽， 当时，对角线， 对角线长是， 正确； 综上所述：正确， 故选：． 根据题意，画出函数图象，得出；根据题意，画图，利用勾股定理得出关系式；在坐标系中画出图形，求出坐标，得出的值；利用韦达定理得出长宽，长宽，再根据题意求出的值，从而得出对角线长度． 本题考查了二次函数图象上点的特征，根与系数的关系，圆的有关概念，等腰直角三角形，一元二次方程等，综合掌握知识点是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.          ． 【答案】  【解析】解：  故答案为：． 利用绝对值的意义解答即可． 本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 12.函数的自变量的取值范围是        ． 【答案】且  【解析】解：已知函数， 则且， 即且， 故答案为：且． 根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键． 13.若单项式与是同类项，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：由同类项的定义可知，， 解得，， ． 故答案为：． 根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 14.命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是        命题填“真”或“假” 【答案】真  【解析】解：逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 原命题的逆命题是“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，根据互余角的定义，该逆命题成立． 本题主要考查了命题之间的关系，解决问题的关键是掌握原命题与逆命题的关系． 15.一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数为        ． 【答案】  【解析】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得， 故答案为：． 根据题意列出方程求解即可． 本题考查了多边形的内角和、外角和，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 16.如图，是边长为的等边三角形，以为边在上方作，使得，，连接，交于点，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：是边长为的等边三角形，以为边在上方作， 过点作于点，过点作于点， ，为直角三角形， ， ， ，， ， 负值已舍， ， ， ，， ， ∽， ， 设，则，， ， 解得． 过点作于点，过点作于点，先通过三角函数以及勾股定理求出，的长，然后根据等边三角形三线合一及勾股定理求出，，再证得∽，最后利用比例式计算即可． 本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 17.在菱形中，，，为菱形内部一点，且，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】解：如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和， 在菱形中， 为中点， 为中点， ， 当、、、共线时，也为， 为中点、为中点， ， 在菱形中且， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大． 本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大． 18.如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径        ，        ． 【答案】   【解析】解：连接，，分别过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，如图， 设， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ∽， ， 即， 解得：， ， ． 由翻折的性质可知：所在的圆与是等圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， 设， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， 化简，得：， ， ， 解得：， ． ，， 在中，， 是的切线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ∽， ， 即， ， ． 故答案为：；． 连接，，分别过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，设，由两角对应相等可证明，则，从而得到直径由折叠可推断，所在的圆与是等圆，根据圆周角定理可得，，则容易证明，根据相似三角形的性质和线段关系，依次表示出和，在直角中，使用勾股定理构造方程，求出的值，进而计算出，，由切线的性质，可证明四边形是矩形，则容易证明，根据相似三角形的性质求出，最后求出． 本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由翻折推断出等圆是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程和不等式组： ； ． 【答案】    【解析】解：，  ，  则或，  所以；  ，  解不等式得，，  解不等式得，，  所以不等式组的解集为． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；  根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元一次不等式组，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】，．  【解析】解：原式       ， 当时， 原式． 先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法约分化简，然后将代入值计算． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 21.本小题分 如图，在中，，、是边上的点，连接、，把沿翻折得到，连接，若． 求证：≌； 若，求的度数． 【答案】与是关于的轴对称图形， ， 在和中， ， ≌    【解析】证明：与是关于的轴对称图形， ， 在和中， ， ≌； 解：≌， ， ， 与是关于的轴对称图形， ， 即． 根据对称得出，根据全等三角形判定的“”定理即可证得≌； 根据全等得出，求出，根据对称得出，代入求出即可． 本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质和三角形全等的判定是解题的关键． 22.本小题分 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器强军梦”主题国防教育展展厅里陈列着件等比例缩小的立体模型，分别是东风高超音速导弹、巨浪潜射洲际导弹、红旗反导系统、歼隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从、、、四张卡片中分次随机抽取张即赠送对应的件小模型除图案外每张卡片完全相同，背面朝上． 甲同学第一次就抽到模型的概率是______； 若按照“先抽张不放回，再抽第张”的方式赠送件模型，请用列表或画树状图的方法，求乙同学抽到的件模型中包含的概率； 甲、乙两名同学都很想拿到模型，两人约定都从四张卡片中随机抽取张，直接写出至少有一人抽到模型的概率． 【答案】    【解析】解：一共有、、、个模型，且每个模型被抽到的概率相同， 甲同学第一次就抽到模型的概率是， 故答案为：； “先抽张不放回，再抽第张”的方式赠送件模型，列表如下： 由表格可知，一共有种等可能性的结果数，其中乙同学抽到的件模型中包含的结果数有种， 乙同学抽到的件模型中包含的概率为； 两人约定都从四张卡片中随机抽取张，列表如下： 由表格可知，一共有种等可能性的结果数，其中至少有一人抽到模型的结果数有种， 至少有一人抽到模型的概率为． 直接根据概率公式求解即可； 先列表得到所有等可能性的结果数，再找到乙同学抽到的件模型中包含的结果数，最后根据概率公式求解即可； 先列表得到所有等可能性的结果数，再找到至少有一人抽到模型的结果数，最后根据概率公式求解即可． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟知概率公式是解题的关键． 23.本小题分 在习总书记的“既要金山银山，也要绿水青山”的思想指引下，绿色环保理念已经深入人心，为了调查学生对环保知识的了解情况，实验中学在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的两种统计图． 请结合统计图表，回答下列问题： 本次参与调查的学生共有______； 请补全条形统计图； 扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； 若该校有人，根据调查结果请估算全校有多少学生对环保知识比较了解或非常了解． 【答案】名；   ；   ；   名  【解析】名， 故答案为：； 由得等级的人数为名，补全统计图如下： ， 扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是； 故答案为：； 名， 估算全校有名学生对环保知识比较了解或非常了解． 用等级的人数除以所占的比例进行求解即可； 求出等级的人数补全条形图即可； 等级人数所占的比例，进行计算即可； 利用样本估计总体的思想进行求解即可． 本题考查扇形图和条形图的综合应用，从统计图种有效的获取信息是解题的关键． 24.本小题分 如图，已知正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图保留作图痕迹，不写作法． 如图，若点在边上，连接，请以，为边作一个平行四边形； 如图，若点在正方形的对角线上，请以，为边作一个菱形． 【答案】   【解析】解：如图，四边形为所作； 如图，如图，四边形为所作； 在上截取，先根据矩形的性质得到，，则，所以四边形为平行四边形； 连结交于点，再在上截取，根据正方形的性质得到，，所以四边形为菱形． 本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定、菱形的判定与正方形的性质． 25.本小题分 如图，是的直径，是上一点，，点在边上，且． 若，求的长； 求的值． 【答案】   【解析】解：是的直径， ， ，， ∽， ， 在中，． ， ， ． 如图所示，过点作的垂线，垂足为， ，且， ． 在中，． 设，则， 由可知． 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得， 在中，， 设，， 在中，由勾股定理得， 又， ， 解得， ，， ． 在中，． 由直径所对的圆周角是直角得到，证明∽得到，解直角三角形得到，据此可得答案； 过点作的垂线，垂足为，根据题意可得，则，设，则，由勾股定理得，，解直角三角形得到，设，，由勾股定理得，则可求出，据此求出，的长即可得到答案． 本题考查了圆的基本性质，勾股定理等，掌握圆的基本性质是解题的关键． 26.本小题分 如图，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米夜晚，身高为米的小明以米秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒当行走秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部点如图，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． 求路灯的高度． 当秒时，求影子的长？ 常言道：形影不离其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． 从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长______用含的代数式表示； 小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米秒． 【答案】米  米   【解析】解：由题意，可知，米，米，米， ，， ，，， ∽， ， ， ， 答：路灯的高度为米； ， ，，，，， ， ，，， ∽， ， ， ， 米， 答：的长是米； 由得，， 当运动秒后，，则， 设，， 则，， 解得：，， ， 故答案为：； 由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， ， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 由证∽，用相似比求高度； 由证∽，代入求长度； 用相似比表出、，相加得的表达式； 计算的表达式，其系数即为影子顶端的移动速度． 本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． 27.本小题分 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过、两点如图． 求该二次函数的函数表达式； 若点是在直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标； 若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于，请直接写出的值． 【答案】 ，此时点的坐标为 或  【解析】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，得：， 解得：； 当时，， ，， 二次函数的图象经过、两点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 该二次函数的函数表达式为； 点是在直线上方的抛物线上的动点， 当点到直线的距离最大值时，最大， 如图，过点作于点交于点， 设， ，， ， ， 开口向下，， 当时，最大，点到直线的距离的最大值，此时， ；设点到直线的距离， ， 解得：， 点到直线的距离的最大值为，此时； 或理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，即， 当时，函数值最小：； 当时，函数值最大：； 函数的最大值与最小值之差等于， ， 解得：； 当时，即， 当时，函数值最大：， 当，函数值最小时：； 函数的最大值与最小值之差等于， ， 解得：不合题意，舍去，不合题意，舍去， 当时，函数值最大：， 当，函数值最小时：； 函数的最大值与最小值之差等于， ， 解得：不合题意，舍去； 时； 当时，函数值最大：； 当时，函数值最小：； 函数的最大值与最小值之差等于， ， 解得：， 综上所述，或． 由一次函数关系式求，坐标，然后代入二次函数解析式，求，的值即可； 根据当点到直线的距离最大值时，最大，表示出与的函数关系式，进而转换为最大时，求点的坐标； 求出的对称轴，分三类情况讨论，当时，时，时满足函数的最大值与最小值之差等于的的值． 本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握平面直角坐标系中是解题关键，需注意分情况讨论函数的最大及最小值的变换． 28.本小题分 【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图过点作交于，进而解决了该问题，请继续完成证明． 【探究】如图，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，则的长为______． 【答案】  【解析】【感知】证明：如图，过点作交于， ， ，， 在和中， ≌， ． ， ， ， ， 又， ； 【探究】解：． 证明：如图，，分别延长、，交于点， ，， 为边的中点， ， ≌， ， 又， ， ， ， ， ； 【应用】解：如图，四边形是正方形，延长交的延长线于， ， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【感知】由可得，进一步可证明≌，可得，再倒角即可得出结论． 【探究】分别延长、，交于点，根据已知条件可以得到≌，由此得到，又，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，即可得出结论． 【应用】延长交的延长线于只要证明≌，推出，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于熟练掌握其判定与性质，正确添加辅助线． 第16页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $