1.3.2乘法公式第二课时完全平方公式讲义 （知识填空+基础题型+拓展题型+巩固检测）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版七年级数学下册1.3乘法公式（第二课时）完全平方公式 一、知识填空 🔹知识点1：完全平方和公式 填空：两个数的_______________的平方，等于这两个数的_______________，加上这两个数的积的_______________。 符号公式：_______________（a、b可表示数、单项式、多项式）。 推理证明（多项式乘多项式法则推导）： 根据多项式相乘法则，将展开为两个相同二项式相乘： ​​ 举例： 数：_______________； 单项式：_______________； 多项式：（提示：将x+y看作整体）=_______________。 🔹知识点2：完全平方差公式 填空：两个数的_______________的平方，等于这两个数的_______________，减去这两个数的积的_______________。 符号公式：_______________（a、b可表示数、单项式、多项式）。 推理证明（多项式乘多项式法则推导）： 根据多项式相乘法则，将展开为两个相同二项式相乘： ​​ 举例： 数：_______________； 单项式：_______________； 多项式：（提示：将2x-y看作整体）=_______________。 🔹知识点3：完全平方公式的统一特征 填空： 1.左边：一个二项式的_______________，即“相同两个二项式相乘”； 2.右边：三项式，记为“首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中央”； 完全平方和：首²+尾²+2×首×尾，即； 完全平方差：首²+尾²-2×首×尾，即； 3.符号规律：中央项的符号与左边二项式中加减号一致，首、尾平方恒为正。 举例：中，首为_______________，尾为_______________，结果为_______________；中，首为_______________，尾为_______________，结果为_______________。 🔹知识点4：完全平方公式与平方差公式的区别 填空： 1.完全平方公式：左边是一个二项式的平方，右边是三项式； 2.平方差公式：左边是两个不同二项式相乘（一同一反），右边是二项式； 3.核心区分：看左边是“单个二项式平方”还是“两个二项式相乘”。 举例：区分与(x+2)(x-2)的结果： 完全平方公式：_______________（三项）； 平方差公式：(x+2)(x-2)=_______________（二项）。 🔹知识点5：完全平方公式的变形公式 填空：由和推导得常用变形： 1._______________=_______________； 2.2ab=_______________-_______________； 3._______________； 4._______________。 举例：已知a+b=5，ab=3，则_______________；已知a-b=4，，则ab=_______________。 🔹知识点6：完全平方公式的逆用 填空：完全平方公式的逆用形式为： 1._______________（完全平方和逆用）； 2._______________（完全平方差逆用）； 逆用条件：多项式为三项式，且满足“首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中央”。 推理依据：等式的对称性，由完全平方公式正向形式可逆推。 举例： 基础逆用：_______________；_______________； 含系数：_______________；_______________； 含符号：_______________（先提取负号再逆用）。 二、基础题型 🔹题型1：公式结构识别（填空） 判断下列式子能否用完全平方公式计算，能的填“√”并写出首、尾，不能的填“×”： 1.：_______________，首=_______________，尾=_______________ 2.(2x-3y)(2x+3y)：_______________ 3.：_______________，首=_______________，尾=_______________ 4.：_______________ 5.：_______________，首=_______________，尾=_______________ 6.：_______________，首=_______________，尾=_______________ 🔹题型2：直接应用完全平方公式计算（含符号变化） 1.填空：_______________；_______________；_______________；_______________。 2.计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 🔹题型3：完全平方公式的逆用（含符号/系数） 1.填空：_______________；_______________；_______________；_______________。 2.逆用完全平方公式： (1) (2) (3) (4) 🔹题型4：利用变形公式求值（基础） 1.已知a+b=6，ab=8，求的值； 2.已知a-b=3，，求ab的值； 3.已知，，求xy的值。 🔹题型5：完全平方公式的简便计算 1.填空：_______________；_______________；_______________。 2.计算： (1) (2) (3)（提示：98=2×49） 三、拓展题型 🔹题型1：含多项式底数的完全平方公式计算 1.填空：_______________；_______________；_______________。 2.计算： (1) (2) 🔹题型2：完全平方公式与平方差公式综合应用 计算下列各式： 1. 2. 3. 🔹题型3：变形公式的综合求值（含参数） 1.已知，求和的值； 2.已知，求的值； 3.已知，求a+b+c和a-b+c的值。 🔹题型4：完全平方公式的实际应用 1.一个正方形的边长增加3cm后，新正方形的面积比原正方形的面积大，求原正方形的边长； 2.已知一个长方形的长为(a+2b)cm，宽为(a-2b)cm，若长和宽都增加bcm，求新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少，并化简。 🔹题型5：完全平方公式的恒等变形证明 1.证明：； 2.证明：。 四、巩固检测 🔹一、选择题（每题4分，共20分） 1.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.多项式能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ） A.8 B.-8 C. D. 3.已知a+b=3，ab=1，则的值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 4.计算的结果是（ ） A.-4ab B.4ab C. D. 5.若是一个完全平方式，且m<0，则代数式的值为（ ） A.9 B.16 C.25 D.36 🔹二、填空题（每题5分，共15分） 1.计算：_______________； 2.逆用完全平方公式：_______________； 3.已知，x-y=7，且x>y，则xy的值为_______________。 🔹三、解答题（第1题10分，第2题15分，共25分） 1.计算下列各式： (1) (2) 2.已知实数a、b满足，，解答下列问题： (1)求和ab的值； (2)若，求a+b和a-b的值； (3)求的值。 五、参考答案 一、知识填空答案 1.和；平方和；2倍；两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上它们积的2倍；；；； 2.差；平方和；2倍；两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减去它们积的2倍；；；； 3.平方；-3x；2y；；-5a；-4b； 4.； 5.；；；；4ab；4ab；19；1 6.；；；；；； 二、基础题型答案 题型1：公式结构识别 1.√；m；42.×3.√；x；34.×5.√；-3x；26.√；2y；3 题型2：直接应用完全平方公式计算 1.；；； 2.(1)(2)(3)(4) 题型3：完全平方公式的逆用 1.；；； 2.(1)(2)(3)(4) 题型4：利用变形公式求值 1. 2.2. 3.3. 题型5：简便计算 1.；；9604 2.(1)42025(2)998001(3) 三、拓展题型答案 题型1：含多项式底数的计算 1.；； 2.(1)(2) 题型2：平方差与完全平方综合 1. 2. 3. 题型3：变形公式综合求值 1.； 2.由得，则 3.展开得，故a=4，b=-4，c=1；a+b+c=1，a-b+c=9 题型4：实际应用 1.设原边长为x，则，解得x=6，原边长为6cm 2.原面积：，新面积：，增加面积： 题型5：恒等变形证明 1.原式，得证。 2.展开各部分：，得证。 四、巩固检测答案 一、选择题 1.C2.C3.B4.A5.C（解析：m=-4，） 二、填空题 1.2.3.-12（解析：，） 三、解答题 1.(1)原式 (2)原式 2.(1)； (2)由得，a=-1；代入得b=0或-2； 当b=0时，a+b=-1，a-b=-1；当b=-2时，a+b=-3，a-b=1 (3)原式 学科网（北京）股份有限公司 $