精品解析：浙江泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第三次限时训练（B 卷）数学试题

泰顺育才高中2024级高二年级第三次限时训练（B卷） 数学学科 试题 本试题卷考查范围：必修一~选必二 2026.2.3. 注意事项： 1.全卷共4页，14小题，满分100分，考试时间75分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共47分） 一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ） A. 极差为3 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误. 【详解】由样本数据知极差为，故A错误； 平均数为，故B错误； 由，得这组数据的分位数是第4个数8，故C错误； 方差为，故D正确. 故选：D. 3. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 4. 下列求导计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数及简单复合函数的求导公式、运算法则求导即可. 【详解】对于A，因为为常数，所以，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 6. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 7. 函数在上存在最大值，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. 二、多项选择题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 8. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A. 在上是增函数； B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极小值． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得：                          单调递减  极小值  单调递增  极大值  单调递减  极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 9. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据前n项和与通项公式之间的关系求，，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数列求和公式求，即可判断A. 【详解】因为， 当时，则，故B正确； 当时，则， 两式相减可得，则； 且符合上式，所以，故D正确； 因为，，，则， 所以数列不是等比数列，故C错误； 又因为，可知数列是等差数列， 所以，故A正确. 故选：ABD. 非选择题部分（共53分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分 10. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 【答案】14 【解析】 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 11. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题知， 所以. 13. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【小问1详解】 由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由，得， 则， 设，，则，， 所以. 14. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点满足. （1）求三棱锥体积； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出三棱锥高，利用三棱锥的体积公式直接求解即可； （2）取中点，先证平面平面，再利用面面平行的性质得到平面； （3）解法一：过点作，再作，得到是二面角的平面角，在中，，所以二面角的余弦值为.解法二：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 ∵底面是正方形， 平面三棱锥高 【小问2详解】 取中点，连接交于点，再连接 在，又是的中点， 平面平面平面 同理可得，平面 又平面平面 ∴平面平面 平面平面 【小问3详解】 解法一：如图所示，过点作，再作 由题意知：平面， ，又平面， ，因此是二面角的平面角 在中，， ，二面角的余弦值为. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 则 设是平面的一个法向量 有，则，可取； 由题意知：是平面的法向量 是平面的一个法向量 设二面角为，则. 二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰顺育才高中2024级高二年级第三次限时训练（B卷） 数学学科 试题 本试题卷考查范围：必修一~选必二 2026.2.3. 注意事项： 1.全卷共4页，14小题，满分100分，考试时间75分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共47分） 一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ） A. 极差3 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为2 3. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 下列求导计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共2小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 8. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A. 在上是增函数； B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极小值． 9. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 非选择题部分（共53分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分 10. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 11. 若曲线在点处切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 13. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 14. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点满足. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $