精品解析：江苏江阴市周庄中学2025-2026学年下学期九年级数学3月阶段学情自测

2025-2026学年下学期九年级数学3月阶段学情自测 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．） 1. 在中，， ，的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．先求出，再利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：在中，， ， ， 则． 故选：B． 2. 下列方程中，是一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是2的整式方程． 【详解】解：A．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意； B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； C．该式是一元二次不等式，不是方程，故本选项不合题意； D．该方程是分式方程，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键． 3. 某校举办垃圾分类知识竞赛活动，其中八（1）班成绩的方差为1.41，八（2）班成绩的方差为3.87，由此可知（ ） A. 八（1）班比八（2）班的成绩稳定 B. 八（2）班比八（1）班的成绩稳定 C. 两个班的成绩一样稳定 D. 无法确定谁的成绩更稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴八（1）班比八（2）班的成绩稳定， 故选： A． 4. 一元二次方程的根情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况． 【详解】∵， ∴方程无实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 5. 若 的半径为6cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与 的位置关系是（ ） A. 点A在 外 B. 点A在 上 C. 点A在 内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可求得答案． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离， ∴点A在 内． 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种：设 的半径为r，点P与圆心的距离为d，则有①点在圆内时，；②点在圆上时：；③点在圆外时：． 6. 小军旅行箱的密码是一个五位数，若他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求简单的概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，根据总情况数共10种等可能的情况，从而得出能一次打开旅行箱的概率是． 【详解】解：末位数字可能是0到9，共10种等可能结果，其中正确的只有1种， 所以小军能一次打开旅行箱的概率是， 故选：A． 7. 将二次函数的图像向左平移一个单位长度后，得到函数（ ）的图像． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图像向左平移一个单位长度， ∴， 故选A； 【点睛】本题考查函数平移的规律：上加下减，左加右减． 8. 在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为6米，同一时刻身高1.6米的同学的影长为0.6米，则综合楼的高为 （ ） A. 12米 B. 6米 C. 16米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出综合楼高度即可列方程解答． 【详解】设综合楼高度为xm， 列方程得：， 解得x=16， 故综合楼高为16米． 故选C 【点睛】解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 9. 如图，中，，，点D是边上一个动点，以为直径作 ，分别交 于点E，F，若弦长度的最小值为6，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，先连接，过O点作，根据圆的有关性质求出 ，进而求得的 长，然后由当为的边上的高时，直径最短，即最小，则最小，求出的长，由三角函数知识，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为， ∴． ∵在中， ，， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵当为的边上的高时，直径最短，即最小，则最小， ∴， ∴． 故选：B． 10. 二次函数的图象与x轴在的范围内有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合问题，解题关键是将问题转化为方程在上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案．二次函数与x轴只有一个交点，则方程只有一个实数根，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知：方程在上只有一个解， 当 时，即， 解得：， 当时，此时，不满足题意，舍去， 故此时， 当 时， 令，， 令 ，， ， 解得：， 当时，此时或3，满足题意； 当时，此时 或，不满足题意； 综上所述，或， 故选：D． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．） 11. 已知为锐角，，那么 ______________度． 【答案】45 【解析】 【分析】先利用，求出 ，再根据三角函数值求对应的角度即可． 【详解】解：， ， 为锐角， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 12. 随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是_________元． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价． 【详解】解：由图可得， 所购买艾条的平均单价是：（元）， 故答案为：21． 13. 已知圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角是，则该圆锥的侧面展开图的面积为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出侧面展开图扇形的半径，即圆锥的母线长，再计算扇形面积即可得到答案． 【详解】解：设侧面展开图扇形的半径为， 圆锥底面圆周长为， 根据圆锥侧面展开图扇形弧长等于圆锥底面圆周长，可得， 解得． 圆锥侧面展开图的面积为． 14. 如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和 ，则的度数为________． 【答案】 ##115度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据题意补全图形，可得， ，由圆周角定理可知 ，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点O为外圈所对的圆心，连接 、、， 由题意得，，， 由圆周角定理可知，，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理． 如解析图所示，可证明，则可得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由网格的特点和勾股定理可得 ， ∴， 故答案为：． 16. 点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出，把代入解析式得，用含t的式子表示出，找到最大值即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 17. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程（组）解应用题，读懂题意，建立方程（组）求解是解决问题的关键． 设长方体长为 、宽为 ，则小正方形的边长为，得到方程组，利用代入消元法得到一元二次方程求解得到 或 （负值舍去），从而求出值，即可得到答案． 【详解】解：设长方体长为 、宽为 ，则小正方形的边长为， ， 由①得③， 将③代入②得， 则， ， 解得 或 （负值舍去）， 解得， 剪去的正方形的边长为， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，分别为边的中点，与分别交于点． （1）________． （2）若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质： （1）延长交的延长线于点M，证明，得，，由点P是的中点，得，再证明，根据相似三角形的性质列式求解即可； （2）由（1）知，得，即，设，则，得，同理可求，再求出，可得，从而可得． 【详解】解：延长交的延长线于点M，如图， ∵为的中点，四边形是矩形， ∴ ∴ 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或 ， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ． 20. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 21. 如图， ，D是线段上一点． （1）求证； （2）求证． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，再由等量代换得出 ，然后利用相似三角形的判定即可证明； （2）根据相似三角形得性质得出，，再由等量代换及邻补角即可证明． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴，， ∴，即 ， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴ 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图或列表表示出所有等可能的结果数，以及甲和乙选择不同体验项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：甲同学从、、三个项目中随机选择一个， 甲选择项目的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中甲和乙选择不同体验项目的结果有种， 甲和乙选择不同体验项目的概率为． 23. 为了有效提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防诈反诈”讲座，随后组织了“防诈反诈”知识竞赛，从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩，并对这些竞赛成绩进行了整理、描述和分析（满分100分，成绩得分用x表示，分为4组：A．；B．；C．；D．．得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数：94，92，93，91． 八年级C组学生的分数：91，92，93，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b （1）填空： ________， ________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级的学生对“防诈反诈”的掌握情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校有七年级学生600名，八年级学生700名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1） ，94； （2） 八年级的学生对“防诈反诈”的掌握情况更好，理由： ∵该校七、八年级学生的平均数都是分， ∵八年级学生成绩的中位数是93分，七年级学生成绩的中位数是 分，且 ， ∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好； （3）820 【解析】 【分析】（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，结合中位数以及众数的定义进行分析，可得答案； （2）可以对比中位数即可得到结论； （3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得． 本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是正确列式计算． 【小问1详解】 解：∵从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩， ∴七年级学生的成绩的中位数是第10位、第11位的平均数， 观察条形统计图可得，中位数在C组， （分）， 观察扇形统计图和八年级C组同学的众数的分数，分出现次数是次，分出现次数是最多的， ∴ ； 故答案为： ，94； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级优秀人数 （人）， 八年级优秀人数 （人）， ∴ （人）， ∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为820人． 24. 已知△中，，为的弦，直线与相切于点． （1）如图1，连接，若，直径与相交于点，求 和 的大小； （2）如图2，若，，垂足为， 与相交于点， ，求线段 的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线性质得出 于点，即，根据平行线的性质得出，求出，根据垂径定理得出，，求出，得出 ，根据圆周角定理得出 ； （2）连接，求出，根据含度角的直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：如图1所示， ∵为 的切线，且为 直径， ∴ 于点，即， ∵， ∴， ∴， 即于点， ∵于点，且为 直径， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）可知，且， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴由勾股定理， 即， 解得，负值舍去， 即线段的长为． 25. 如图，已知等腰， ，作的外接圆为 ，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M， ③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线； （1）求证：是 的切线； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：连接并延长，交于H， ∵ 是的外接圆， ∴平分， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ 由作图可知 ， ∴， ∴ ， ∵ 是半径， ∴是 的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于H，证明，得，由作图得 ，得 ，从而得出结论； （2）过E作 交于F，证明，得出，再证明和，求出的长，再由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过E作 交于F， ∴ ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵ ，平分， ∴=1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 26. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）符合要求， 过点作交于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点 到地面的距离为：，符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接，求得，，据此求解即可； （2）过点作交于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； 【小问2详解】 略 27. 如图，在 中， ，点D在边上，以为直径作 ，交的延长线于点E，连接，若切 于点E． （1）求证： ； （2）若 ，，求 半径的长． 【答案】（1） 证明：切 于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得 ，由半径相等可得 ，再通过导角即可得证； （2）根据正切的定义可求，设 ，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴，则， 设 ， ， ， 解得：， 半径的长为． 28. 如果存在正数d，使得一个图形（不含内部）上到直线l的距离为d的点恰好有三个，这个图形就称为直线l的“三巧形”，d叫做对应的“三巧距”．注意，如果一个图形是某条直线的三巧形，三巧距可以不唯一． （1）有下列几个命题： ①平面上任意两条直线，其中一条直线都不可能是另一条直线的三巧形． ②一条直线与一个圆相交，这个圆一定是这条直线的三巧形． ③一条直线与一条抛物线相交于两点，这条抛物线一定是这条直线的三巧形． 其中为真命题的有______（只填序号）； （2）在平面直角坐标系中，函数的图象是x轴的三巧形，且三巧距为1，求a的值； （3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，可以得到函数的图象，记作图形M，图形M是直线 的三巧形． ①如果，直接写出此时的三巧距； ②如果有唯一的三巧距，直接写出满足条件的b的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意画出草图，结合定义，逐项判断，即可求解； （2）先化为顶点式，求得顶点的纵坐标，根据定义分类讨论，即可求解； （3）①根据题意画出图形，当时，直线，根据题意可得与图形M有三个交点，分情况进行讨论：（i）当直线与只有一个交点时，此时与存在三个交点，（ii）当直线过点，此时与存在三个交点，分别设直线和直线的解析式为和，联立抛物线解析式，求解得出和的值，进而根据等面积法求得此时的三巧距； ②可以用上下平移直线分类讨论交点个数的方法解，结合图形，根据有唯一的三巧距，即可求解． 【小问1详解】 解：①平面上任意两条直线，其中一条直线都不可能是另一条直线的三巧形．是真命题； 如图所示，B，D到直线l的距离相等，找不到第三个距离为的点，故原命题正确； ②一条直线与一个圆相交，这个圆一定是这条直线的三巧形．是假命题； 如图所示，当直线l不经过圆的圆心时，，则这个圆一定是这条直线的三巧形． 如图所示，当直线l经过圆的圆心时， 当时，圆上到直线l的距离为d的点恰好有四个； 当时，圆上到直线l的距离为d的点恰好有两个； 故不存在正数，使得圆上到经过圆的圆心的直线的距离为的点恰好有三个，则这个圆不是这条经过圆心的直线的三巧形． ③一条直线与一条抛物线相交于两点，这条抛物线一定是这条直线的三巧形．是真命题； 如图所示，， 综上所述，真命题有①③． 【小问2详解】 解：∵函数的图象是x轴的三巧形，且三巧距为1， 当时，顶点在x轴下方，则， 解得：， 当时，顶点在x轴上方，则， 解得：（舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：①如图所示，直线与平行，根据题意可得与图形M有三个交点， 直线交y，x轴分别为A，B两点，交M于点C， ∵图形M是直线 的三巧形，， ∴M到上的距离为与直线的距离， ∵抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折， 当时，，解得：， ∴当时，； 此时分情况讨论： （i）当直线与只有一个交点时，此时与存在三个交点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴， 则到的距离即为三巧距； （ii）当直线过点，此时与存在三个交点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，当时， ， ∴， ∴， 则到的距离即为三巧距， 综上所述，此时的三巧距为或； ②当时，如图， 到 的距离相等，平移这条直线也存在三巧距，不是有唯一的三巧距，不符合题意， 结合图形可得当，不存在唯一的三巧距， 当 时，此时（能与产生3个点的的值）与相交的三个点到距离相等，有唯一的三巧距， 由①可得当直线平移到过点，此时到距离相等，没有三巧距， 当时，有唯一的三巧距， 当时，无解， 当时，到距离相等，有唯一的三巧距，符合题意， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期九年级数学3月阶段学情自测 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．） 1. 在中，， ，的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 下列方程中，是一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 3. 某校举办垃圾分类知识竞赛活动，其中八（1）班成绩的方差为1.41，八（2）班成绩的方差为3.87，由此可知（ ） A. 八（1）班比八（2）班的成绩稳定 B. 八（2）班比八（1）班的成绩稳定 C. 两个班的成绩一样稳定 D. 无法确定谁的成绩更稳定 4. 一元二次方程的根情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有实数根 5. 若 的半径为6cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与 的位置关系是（ ） A. 点A在 外 B. 点A在 上 C. 点A在 内 D. 不能确定 6. 小军旅行箱的密码是一个五位数，若他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图像向左平移一个单位长度后，得到函数（ ）的图像． A. B. C. D. 8. 在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为6米，同一时刻身高1.6米的同学的影长为0.6米，则综合楼的高为 （ ） A. 12米 B. 6米 C. 16米 D. 10米 9. 如图，中，，，点D是边上一个动点，以为直径作 ，分别交 于点E，F，若弦 长度的最小值为6，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象与x轴在的范围内有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．） 11. 已知为锐角，，那么 ______________度． 12. 随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是_________元． 13. 已知圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角是，则该圆锥的侧面展开图的面积为________ ． 14. 如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和 ，则的度数为________． 15. 如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 16. 点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于_______． 17. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为______． 18. 如图，在矩形 中，分别为边的中点，与分别交于点． （1）________． （2）若，则________． 三．解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 21. 如图， ，D是线段上一点． （1）求证； （2）求证． 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、 ：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 23. 为了有效提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防诈反诈”讲座，随后组织了“防诈反诈”知识竞赛，从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩，并对这些竞赛成绩进行了整理、描述和分析（满分100分，成绩得分用x表示，分为4组：A．；B．；C．；D．．得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数：94，92，93，91． 八年级C组学生的分数：91，92，93，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七 91 a 95 八 91 93 b （1）填空：________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级的学生对“防诈反诈”的掌握情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校有七年级学生600名，八年级学生700名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 24. 已知△中，，为的弦，直线与相切于点． （1）如图1，连接 ，若，直径与相交于点，求 和 的大小； （2）如图2，若，，垂足为 ， 与相交于点， ，求线段 的长． 25. 如图，已知等腰，，作的外接圆为 ，小明同学利用尺规按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M， ③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线； （1）求证：是 的切线； （2）若，求的面积． 26. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 27. 如图，在 中， ，点D在边上，以为直径作 ，交 的延长线于点E，连接，若切 于点E． （1）求证： ； （2）若 ，，求 半径的长． 28. 如果存在正数d，使得一个图形（不含内部）上到直线l的距离为d的点恰好有三个，这个图形就称为直线l的“三巧形”，d叫做对应的“三巧距”．注意，如果一个图形是某条直线的三巧形，三巧距可以不唯一． （1）有下列几个命题： ①平面上任意两条直线，其中一条直线都不可能是另一条直线的三巧形． ②一条直线与一个圆相交，这个圆一定是这条直线的三巧形． ③一条直线与一条抛物线相交于两点，这条抛物线一定是这条直线的三巧形． 其中为真命题的有______（只填序号）； （2）在平面直角坐标系中，函数的图象是x轴的三巧形，且三巧距为1，求a的值； （3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，可以得到函数的图象，记作图形M，图形M是直线 的三巧形． ①如果，直接写出此时的三巧距； ②如果有唯一的三巧距，直接写出满足条件的b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $