1.31乘法公式第一课时平方差公式讲义(附答案)（知识填空+基础题型+拓展题型）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版七年级数学下册1.3平方差公式 1、 知识填空 知识点1：平方差公式的定义 填空：两个数的_____与这两个数的_____的积，等于这两个数的_______________。 符号公式：_______________（a、b可表示数、单项式、多项式）。 推理证明（多项式乘多项式法则推导）： 根据多项式相乘法则(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq，展开(a+b)(a-b)： ​​ 其中-ab与ab是_______________，和为_______________，最终得平方差公式。 举例： 数：(5+2)(5-2)=_______________； 单项式：(3x+4y)(3x-4y)=_______________； 多项式：(x+2y-3)(x+2y+3)=_______________（将x+2y看作整体）。 知识点2：平方差公式的结构特征 填空： 左边：两个二项式相乘，满足“_______________”结构（一项完全相同，另一项互为相反数）； 右边：_______________的平方减去_______________的平方，即“同号项²-异号项²”； 符号规律：a、b可为正数、负数或代数式，只要符合“一同一反”结构，公式均成立。 举例：(-2x-5)(2x-5)中，同号项是_______________，异号项是_______________，结果为_______________。 知识点3：复杂符号变化的平方差公式应用 填空：当式子符号结构不直观时，通过提取负号转化为“一同一反”结构： (b-a)(-b-a)=_______________（提取第二个括号的负号：-(b+a)，转化为(a-b)(a+b)）； (-a-b)(-a+b)=（直接识别同号项为-a，异号项为-b和b）。 推理依据：乘法符号法则（负负得正），提取负号后不改变式子的值。 举例：计算(-3x-4y)(3x-4y)=_______________。 知识点4：平方差公式的逆用 填空：逆用形式为_______________，即两个数的平方差，等于这两个数的和与差的积。 推理依据：等式的对称性，由可逆推得出。 举例： 基础逆用：_______________； 含系数平方：_______________； 含符号变化：_______________； 多项式逆用：_______________。 知识点5：平方差公式与幂的运算结合 填空：当底数含幂的形式时，先转化为“幂的平方”形式，再逆用平方差公式： _______________；_______________。 推理依据：幂的乘方法则，结合平方差公式逆用。 举例：_______________。 知识点6：平方差公式与普通多项式乘法的区别 填空：平方差公式是多项式乘法的_______________形式，仅适用于“一同一反”二项式相乘，结果为_______________；普通二项式相乘需逐项展开，结果可能为三项或四项。 核心区别：是否存在“相同项”和“互为相反数的项”。 举例： 平方差公式：(m-3)(m+3)=_______________（两项）； 普通多项式乘法：(m-3)(m+2)=_______________（三项）。 二、基础题型 题型1：公式结构识别（填空） 判断下列式子能否用平方差公式计算，能的填“√”并写出a、b，不能的填“×”： 1.(x+7)(x-7)：_______________，a=_______________，b=_______________ 2.(2a+3b)(3a-2b)​：​_______________ 3.(-m-2)(-m+2)：_______________，a=_______________，b=_______________ 4.(a-b)(b-a)​：​_______________ 5.(5x-4y)(4y+5x)：_______________，a=_______________，b=_______________ 6.(-2x-3y)(2x-3y)：_______________，a=_______________，b=_______________ 题型2：直接应用平方差公式计算（含符号变化） 填空：(p+6)(p-6)=_______________；(-4x+3)(-4x-3)=_______________； (7-2y)(-7-2y)=_______________。 计算： (1)(y-5)(y+5) (2)(7a-2b)(7a+2b) (3)(-x+3z)(-x-3z) (4)(-3x-4)(3x-4) 题型3：平方差公式的逆用 填空：______________；___________；_____________。 逆用平方差公式： (1) (2) (3) (4) 题型4：平方差公式的简便计算 填空：97×103=_____________；59.9×60.1=_____________；1002×998=_____________。 计算： 2、 拓展题型 题型1：含多项式底数的平方差计算 填空： 1.(a+b+1)(a+b-1)=_______________； 2.(3x-2y-4)(3x-2y+4)=_______________； 3.(x-y+z)(x-y-z)=_______________。 4.计算：(2m-n+5)(2m-n-5) 题型2：逆用法则求代数式的值 1.已知a+b=8，a-b=2，求的值； 2.已知，x-y=5，求x+y的值； 3.若(4x-1)(4x+1)=15，求的值； 4.已知，a-b=2，求的值。 题型3：平方差公式的连环应用 计算： 1.​ 2.​ 3.​ 题型4：平方差公式与幂的运算结合 1.； 2.； 3. 题型5：实际应用问题 1.一个长方形菜地，长为(2x+3)米，宽为(2x-3)米，求菜地面积；若x=5，求具体面积。 2.边长为a的正方形，边长减少2后形成新正方形，求新旧正方形的面积差（用平方差公式计算）；若a=10，求面积差的具体值。 四、参考答案 一、知识填空答案 知识点1：和；差；平方差；两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；；互为相反数；0；；； 知识点2：一同一反；相同项；互为相反数的项；-5；-2x和2x； 知识点3：；； 知识点4：(a+b)(a-b)；(x+4)(x-4)；(7x+5y)(7x-5y)；(4x+3y)(4x-3y)；(2a+b+c)(2a+b-c) 知识点5：；； 知识点6：特殊；两项差；； 二、基础题型答案 题型1：公式结构识别 1.√；x；7 2.× 3.√；-m；2 4.× 5.√；5x；4y 6.√；-3y；2x 题型2：直接应用平方差公式 ；； (1)解：原式 (2)解：原式 (3)解：原式 (4)解：原式 题型3：逆用平方差公式 (5x+2)(5x-2)；(9y+1)(9y-1)；(4a+7b)(4a-7b) (1)解：原式 (2)解：原式 (3)解：原式 (4)解：原式 题型4：简便计算 (100-3)(100+3)=9991；(60-0.1)(60+0.1)=3599.99；(1000+2)(1000-2)=999996 解：原式 三、拓展题型答案 题型1：含多项式底数的计算 1.； 2.； 3. 4.解：原式 题型2：逆用法则求值 1.解： 2.解：，x-y=5 3.解：化简得， 4.解：，a-b=2；联立，解得 题型3：连环应用 1.解：原式 2.解：原式 3.解：原式 题型4：与幂的运算结合 1.解：原式 2.解：原式 3.解：原式 题型5：实际应用 1.面积：；代入x=5得（平方米） 2.面积差：；代入a=10得（平方米） 学科网（北京）股份有限公司 $