精品解析：湖南长沙市第二十六中学等校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

2025-2026年下学期高三开学考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷分为4页，共19题，考查范围：高考全部内容. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 6. 一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为和，母线长为，则该水桶的容积（忽略桶壁厚度）为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 成绩落在区间的频率为0.3 B. 这100名学生成绩中位数为75 C. 这100名学生成绩的平均数为76 D. 成绩低于60分的学生人数为10人 10. 已知函数，下列关于该函数的说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，下列说法正确的有（ ） A 直线平面 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角余弦值 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则________. 13. 二项式的展开式中的常数项为________． 14. 已知点是椭圆：上的动点，点是直线：上的动点，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 （1）求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 18. 已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，点在轴上，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年下学期高三开学考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷分为4页，共19题，考查范围：高考全部内容. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 所以. 2. 已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】易知复数， 所以共轭复数，其虚部为. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由指数函数的单调性可知，， 由对数函数的单调性可知， 所以，，，所以. 4. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出平移后函数解析式，由函数图象关于轴对称知函数为偶函数，结合诱导公式可得的表达式，然后可得最小正值． 【详解】将函数的图像向右平移个单位， 所得图象对应的解析式为， 因为所得图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数， 因此， 解得，故的最小正值是． 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，若，则，结合等差数列求和公式求解． 【详解】解：在等差数列中，， ． 6. 一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为和，母线长为，则该水桶的容积（忽略桶壁厚度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出圆台示意图，计算出圆台的高，代入圆台体积公式计算即可. 【详解】如图，过作垂线于，由题知 由勾股定理可得， 设圆台上底面半径为，下底面半径为，高 代入圆台体积公式有. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义及焦点弦公式计算求解. 详解】设， 抛物线的焦点为，准线， 由抛物线定义可知，则，，则， 不妨取，则，， 直线的斜率为，则直线的方程为， 直线与抛物线联立方程， 得，解得（为点），， 所以. 8. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况进行讨论，结合导数分析单调性，根据单调性确定最值处理恒成立性问题即可． 【详解】即在时恒成立， 令，， 令，， 在单调递增，， ①当时，，即在单调递增， ，即， 在单调递增， ， 故时，在时恒成立； ②时，，解得, 在单调递增， 时，，单调递减， 此时，即， 在上单调递减，此时， 即时，，，不符合题意； 综上，． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 成绩落在区间的频率为0.3 B. 这100名学生成绩的中位数为75 C. 这100名学生成绩的平均数为76 D. 成绩低于60分的学生人数为10人 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，由频率分布直方图可得区间频率为，A正确； B选项，设中位数为，则，解得，B错误； C选项，平均数为，C正确； D选项，成绩低于60分的学生人数为，D错误. 10. 已知函数，下列关于该函数的说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确， 对于B，令，解得，令得， 故图象关于直线对称，故B正确， 对于C，令，解得， 令得，故在区间上单调递增，故C正确， 对于D，的图象向左平移个单位得到，故D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，下列说法正确的有（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的余弦值 D. 三棱锥的体积为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的性质和已知条件求出相应点和向量的坐标，利用线面平行，则直线与平面法向量垂直判断选项A；利用线面垂直则直线与平面法向量平行判断选项B；利用异面直线夹角的余弦公式计算判断选项C；利用等体积法结合三棱锥体积公式计算求出三棱锥体积判断选项D． 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，则 ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， ， 直线与平面不平行，故A错误； ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 若直线平面，则，即， 显然不存在唯一解，故B错误； ， 设异面直线与所成角为，则，故C正确； ， ， ，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则________. 【答案】 【解析】 【详解】，，， ，， ，. 13. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 14. 已知点是椭圆：上的动点，点是直线：上的动点，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，利用辅助角公式和余弦函数的图像和性质求出的最小值. 【详解】点是椭圆：上的动点，设， 到直线的距离， ，， ，， ， 最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式计算求解； （2）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； 小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 （1）求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 18. 已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，点在轴上，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解； （2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设直线方程，点坐标，根据韦达定理得到，利用，可得，再代入计算求解即可． 【小问1详解】 ，解得， 椭圆的标准方程； 【小问2详解】 存在， 椭圆：，则， ①当直线斜率不存在时，， 此时关于轴对称，轴上除点外的任意一点都能使得恒成立， ②当直线斜率存在时，设，， 联立，整理可得， 显然， 由韦达定理可得， ，， 即，整理得， 即 ， 又直线斜率不恒为零，所以，解得， 综上，存在满足题意． 19. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，根据导数与单调性的关系求解即可. （2）对不等式分离变量，结合导数与最值的关系求解即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由题意得：对时恒成立，即对时恒成立， 所以对时恒成立， 令，即对时恒成立，， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $