精品解析：江西丰城市第九中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题

丰城九中2025-2026学年高二年级下学期开学数学作业 2026 3 4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 6. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 7. 在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B. 若随机变量X满足，，1，2，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 10. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动．下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 点到平面距离的最大值为 D. 当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为______. 13. 的展开式中，的系数为______ 14. 已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 16. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程． （2）若直线与椭圆相交于不同的两点、，点是椭圆上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年高二年级下学期开学数学作业 2026 3 4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】由题可知，可将直线方程化为，可得直线斜率为， 设倾斜角为，则， 由得倾斜角为. 故选：D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化为标准方程,即可得抛物线的准线方程． 【详解】由得，所以，所以， 故抛物线的准线方程为． 故选：C. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故选：B. 6. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 7. 在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与轴交点为，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围. 【详解】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 在中，， 所以， 所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：. 故选：. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B. 若随机变量X满足，，1，2，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两点分布，结合期望及方差的意义求解判断A；利用超几何分布求出期望判断B；利用二项分布求出方差判断C；利用不等式法求解判断D. 【详解】对于A，由随机变量服从两点分布，，得试验成功的概率， 因此，A错误； 对于B，由随机变量满足，， 得服从超几何分布，因此，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，，由， 得，解得， 则，即最大，此人最有可能7次击中目标，D正确． 故选：BCD 10. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动．下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 点到平面距离的最大值为 D. 当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量平行、向量垂直、点到平面的距离、平面的法向量坐标以及三棱锥的体积公式等知识逐项计算判断即可. 【详解】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，令，， 对于A，， 若，则，必有， 此时与不共线，矛盾，A错误； 对于B，， ， 则不成立，即不垂直，B错误； 对于C，设平面的法向量，而， 则，令，得， 点到平面距离，， 当且仅当，即与重合时取等号，C正确； 对于D，当时，，点到平面与平面的距离都为， 而， 则，D错误. 故选：ABD. 11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答. 【详解】依题意，，解得，A不正确； 令，由余弦定理得： ， 当时，，即，因此，B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，C不正确； ， ，于是得， 解得，而，因此，D不正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线列方程，由此来求得点的坐标. 【详解】由于点在坐标平面上，故可设， 由于、、三点共线， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 故答案为： 13. 的展开式中，的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 14. 已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两同色球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率. 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2同色球的概率为. 所求概率为： . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. 【小问2详解】 设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 16. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由于,故建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , 故， 故，因此 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的垂直及可求解， （2）求解平面法向量，即可根据夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 18. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 【小问2详解】 （i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 19. 已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程． （2）若直线与椭圆相交于不同的两点、，点是椭圆上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①是定值，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题干直接列式即可求解； （2）①当，设，则，表示出并利用点都在椭圆上即可证明；②设，的中点为，直线与椭圆联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【小问1详解】 由题知， 平方化简得 所以，椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①（定值）. 证明如下：当时，易得、两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在椭圆上，所以， 从而，证毕； ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $