专题08多边形《知识解读+题型专练》2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题08多边形《知识解读+题型专练》 【题型1 多边形的概念与分类】 3 【题型2 多边形截角后的边数问题】 5 【题型3 多边形的周长】 6 【题型4 多边形对角线的条数问题】 8 【题型5 对角线分成的三角形个数问题】 9 【题型6 多边形内角和问题】 12 【题型7 多（少）算一个角问题】 14 【题型8 多边形截角后的内角和问题】 17 【题型9 多边形外角和的实际应用】 19 【题型10 多边形内角和与外角和综合】 22 【解答题5题】 23 一、基础知识点 1. 多边形的概念 定义：在同一平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。按边数可分为三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3，n为正整数）。 相关概念：组成多边形的线段叫做多边形的边；相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点；相邻两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 分类：凸多边形（所有内角都小于180°）、凹多边形，初中阶段主要研究**凸多边形**。 2. 多边形的对角线 定义：连接多边形**不相邻**的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 n边形对角线公式：从n边形的一个顶点可引出(n-3)条对角线；n边形对角线总条数为（n≥3）。 3. 多边形内角和定理 n边形内角和公式：(n-2)×180°（n≥3，n为正整数），内角和随边数n的变化而变化，边数每增加1，内角和增加180°。 4. 多边形外角和定理 结论：任意多边形的外角和都为360°，与边数n无关，是恒定不变的数值。 5. 多边形截角规律 一个n边形截去一个角后，边数可能增加1、不变、减少1，对应内角和也会随之变化。 二、4.1多边形 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型1 多边形的概念与分类 紧扣多边形定义，判断是否为同一平面、首尾顺次相接、封闭图形；区分凸/凹多边形，明确初中研究凸多边形，熟记n≥3的前提条件。 题型2 多边形截角后的边数问题 分三种情况：过两个顶点截角→边数减1；过一个顶点和一条边截角→边数不变；过两条边截角→边数加1，结合图形判断更直观。 题型3 多边形的周长 周长为多边形所有边长的总和，规则多边形直接边长×边数，不规则多边形将各边长度依次相加，注意单位统一。 题型4 多边形对角线的条数问题 套用公式：单顶点对角线(n-3)条，总对角线条；已知对角线条数，列方程求边数n，检验n≥3且为整数。 题型5 对角线分成的三角形个数问题 从n边形一个顶点引对角线，可将n边形分成(n-2)个三角形，此结论是推导内角和公式的核心依据，直接套用即可。 题型6 多边形内角和问题 直接用内角和公式(n-2)×180°；已知内角和求边数，列方程(n-2)×180°=内角和，求解n并验证为正整数。 题型7 多（少）算一个角问题 设漏加/多加角的度数为x（0°<x<180°），根据内角和为180°的整数倍，判断(n-2)的取值，进而求出边数n和未知角度x。 题型8 多边形截角后的内角和问题 先确定截角后的边数（加1、不变、减1），再代入内角和公式计算，结合截角边数变化规律分步求解。 题型9 复杂图形的内角和 将复杂图形分割为多个三角形或规则多边形，利用三角形内角和180°、多边形内角和公式，拆分计算后求和。 题型10 多边形外角和的实际应用 利用外角和恒为360°的特性，解决角度计算、方位旋转、正多边形外角等问题，无需考虑边数，直接套用360°计算。 题型11 多边形内角和与外角和综合 结合内角和公式、外角和360°，联立方程求解边数、内角度数；正多边形可通过外角求内角，或通过内角求边数。 三、易错提醒与核心总结 易错点：1. 忽略多边形n≥3的前提，计算对角线、内角和时出现无效解；2. 截角问题漏分三种情况，导致边数、内角和计算错误；3. 混淆对角线单顶点条数和总条数公式；4. 忘记外角和为定值360°，盲目套用边数计算。 核心总结：多边形核心抓两个公式（内角和、对角线）+一个定值（外角和360°），截角问题分情况讨论，复杂图形拆分转化，即可解决所有基础题型。 模块三 题型◎汇总 【题型1 多边形的概念与分类】 【典例1】．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可得： A是七边形；B是八边形；C是九边形；D是五边形． 【跟踪训练1】．在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由3条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练2】．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 【跟踪训练3】．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 【题型2 多边形截角后的边数问题】 【典例2】．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 【跟踪训练1】．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 【跟踪训练2】．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【跟踪训练3】．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 【题型3 多边形的周长】 【典例3】．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 【跟踪训练1】．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 【跟踪训练2】．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 【跟踪训练3】．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 【题型4 多边形对角线的条数问题】 【典例4】．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点出发作对角线，可将此边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作对角线，则最多可将该边形分成个三角形， 由题意可得，则． 【跟踪训练1】．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 【跟踪训练2】．过四边形的一个顶点可以画___________条对角线，它们将四边形分成___________个三角形；四边形共有___________条对角线． 【答案】 1 2 2 【分析】依据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可将边形分成个三角形，边形对角线的总条数为的规律进行求解 【详解】解：对于四边形，，从一个顶点出发可画的对角线条数为条，将四边形分成的三角形个数为个，四边形的总对角线条数为条． 【跟踪训练3】．一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为， 又∵该多边形为七边形，即， ∴代入得． 故选：C． 【题型5 对角线分成的三角形个数问题】 【典例5】．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 【跟踪训练1】．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 【跟踪训练2】．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数， 根据多边形对角线性质，从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形． 【详解】解： ∵从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，且题目中分成5个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是七边形. 故选：B． 【跟踪训练3】．如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的对角线分割成三角形的规律，熟练掌握从n边形一个顶点出发作对角线可将n边形分成个三角形是解题的关键． 先观察四边形、五边形、六边形被分割成三角形的数量，找出规律，再推导出n边形的一般结论． 【详解】解：四边形：（个）， 五边形：（个）， 六边形：（个）， ， ∴n边形：（个）， 故选：A． 【题型6 多边形内角和问题】 【典例6】．若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，先根据公式求出五边形的内角和，再除以多边形的内角个数得到每个内角的度数． 【详解】解：∵n边形内角和公式为，五边形边数， ∴五边形内角和为， ∵五边形每个内角都是，且共有5个内角， ∴， 故选：A． 【跟踪训练1】．“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和公式为(为多边形的边数，且是大于等于3的整数)是解题的关键，本题据此求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可知， 五边形的内角和为， 故选：C． 【跟踪训练2】．一个八边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接套用多边形内角和公式（为多边形边数）计算即可． 【详解】解：八边形内角和为． 【跟踪训练3】．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 【题型7 多（少）算一个角问题】 【典例7】．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 【跟踪训练1】．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 【跟踪训练2】．看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 【详解】（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 【跟踪训练3】．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 【题型8 多边形截角后的内角和问题】 【典例8】．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 【跟踪训练2】．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 【跟踪训练3】．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【题型9 多边形外角和的实际应用】 【典例9】．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质．根据多边形的外角和定理，可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点K， ∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【跟踪训练2】．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形外角和为是解题的关键． 先根据总路程与每段路程的长度求出正多边形的边数，再利用正多边形外角和为的性质求出每次右转的角度． 【详解】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数 ，这是一个正六边形． 角度是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为 ． 故选：D． 【跟踪训练3】．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________ 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形， 由于多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个十八边形，且每条边都相等， 因此所走的路程为， 故答案为：． 【题型10 多边形内角和与外角和综合】 【典例10】．若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，利用正多边形的外角和为360°，先求出外角，再计算边数 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴外角是， ∵， 则该多边形的边数为8， 故答案为：8． 【跟踪训练1】．如图，五边形的一个内角，则等于_________． 【答案】 【分析】本题考查多边形外角和定理，内角与外角的关系，掌握多边形外角和定理是解题关键． 先求出的外角，再用减去该外角，即可得到． 【详解】解：， 的外角为， ． 故答案为：． 【跟踪训练2】．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，利用正多边形的外角和为360°，每个外角相等，计算边数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为：， 故答案为：． 【跟踪训练3】．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 【解答题5题】 1．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 2．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 3．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1)三角形的个数分别是4个，5个，6个，见解析 (2)第一种分割法把边形分割成了个小三角形；第二种分割法把边形分割成了个小三角形；第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； （2）解：结合两个特殊图形，可以发现： 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 4．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 5．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08多边形《知识解读+题型专练》 【题型1 多边形的概念与分类】 3 【题型2 多边形截角后的边数问题】 4 【题型3 多边形的周长】 4 【题型4 多边形对角线的条数问题】 5 【题型5 对角线分成的三角形个数问题】 5 【题型6 多边形内角和问题】 6 【题型7 多（少）算一个角问题】 6 【题型8 多边形截角后的内角和问题】 7 【题型9 多边形外角和的实际应用】 8 【题型10 多边形内角和与外角和综合】 9 【解答题5题】 9 一、基础知识点 1. 多边形的概念 定义：在同一平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。按边数可分为三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3，n为正整数）。 相关概念：组成多边形的线段叫做多边形的边；相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点；相邻两边组成的角叫做多边形的内角；多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 分类：凸多边形（所有内角都小于180°）、凹多边形，初中阶段主要研究**凸多边形**。 2. 多边形的对角线 定义：连接多边形**不相邻**的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 n边形对角线公式：从n边形的一个顶点可引出(n-3)条对角线；n边形对角线总条数为（n≥3）。 3. 多边形内角和定理 n边形内角和公式：(n-2)×180°（n≥3，n为正整数），内角和随边数n的变化而变化，边数每增加1，内角和增加180°。 4. 多边形外角和定理 结论：任意多边形的外角和都为360°，与边数n无关，是恒定不变的数值。 5. 多边形截角规律 一个n边形截去一个角后，边数可能增加1、不变、减少1，对应内角和也会随之变化。 二、4.1多边形 专项题型 题型序号 题型名称 核心方法/思路 题型1 多边形的概念与分类 紧扣多边形定义，判断是否为同一平面、首尾顺次相接、封闭图形；区分凸/凹多边形，明确初中研究凸多边形，熟记n≥3的前提条件。 题型2 多边形截角后的边数问题 分三种情况：过两个顶点截角→边数减1；过一个顶点和一条边截角→边数不变；过两条边截角→边数加1，结合图形判断更直观。 题型3 多边形的周长 周长为多边形所有边长的总和，规则多边形直接边长×边数，不规则多边形将各边长度依次相加，注意单位统一。 题型4 多边形对角线的条数问题 套用公式：单顶点对角线(n-3)条，总对角线条；已知对角线条数，列方程求边数n，检验n≥3且为整数。 题型5 对角线分成的三角形个数问题 从n边形一个顶点引对角线，可将n边形分成(n-2)个三角形，此结论是推导内角和公式的核心依据，直接套用即可。 题型6 多边形内角和问题 直接用内角和公式(n-2)×180°；已知内角和求边数，列方程(n-2)×180°=内角和，求解n并验证为正整数。 题型7 多（少）算一个角问题 设漏加/多加角的度数为x（0°<x<180°），根据内角和为180°的整数倍，判断(n-2)的取值，进而求出边数n和未知角度x。 题型8 多边形截角后的内角和问题 先确定截角后的边数（加1、不变、减1），再代入内角和公式计算，结合截角边数变化规律分步求解。 题型9 复杂图形的内角和 将复杂图形分割为多个三角形或规则多边形，利用三角形内角和180°、多边形内角和公式，拆分计算后求和。 题型10 多边形外角和的实际应用 利用外角和恒为360°的特性，解决角度计算、方位旋转、正多边形外角等问题，无需考虑边数，直接套用360°计算。 题型11 多边形内角和与外角和综合 结合内角和公式、外角和360°，联立方程求解边数、内角度数；正多边形可通过外角求内角，或通过内角求边数。 三、易错提醒与核心总结 易错点：1. 忽略多边形n≥3的前提，计算对角线、内角和时出现无效解；2. 截角问题漏分三种情况，导致边数、内角和计算错误；3. 混淆对角线单顶点条数和总条数公式；4. 忘记外角和为定值360°，盲目套用边数计算。 核心总结：多边形核心抓两个公式（内角和、对角线）+一个定值（外角和360°），截角问题分情况讨论，复杂图形拆分转化，即可解决所有基础题型。 模块三 题型◎汇总 【题型1 多边形的概念与分类】 【典例1】．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【跟踪训练3】．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【题型2 多边形截角后的边数问题】 【典例2】．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【跟踪训练1】．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练2】．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【跟踪训练3】．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【题型3 多边形的周长】 【典例3】．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【跟踪训练1】．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【跟踪训练2】．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【跟踪训练3】．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【题型4 多边形对角线的条数问题】 【典例4】．从边形的一个顶点出发作对角线，最多可将此边形分成个三角形，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【跟踪训练1】．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【跟踪训练2】．过四边形的一个顶点可以画___________条对角线，它们将四边形分成___________个三角形；四边形共有___________条对角线． 【跟踪训练3】．一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型5 对角线分成的三角形个数问题】 【典例5】．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【跟踪训练1】．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【跟踪训练2】．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【跟踪训练3】．如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（  ） A．个 B．个 C．n个 D．2n个 【题型6 多边形内角和问题】 【典例6】．若一个五边形的每个内角都是，则x的值是（   ） A．108 B．90 C．72 D．60 【跟踪训练1】．“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．一个八边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 多（少）算一个角问题】 【典例7】．如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【跟踪训练1】．小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【跟踪训练2】．看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【跟踪训练3】．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【题型8 多边形截角后的内角和问题】 【典例8】．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【跟踪训练1】．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【跟踪训练2】．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【跟踪训练3】．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【题型9 多边形外角和的实际应用】 【典例9】．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________ 【题型10 多边形内角和与外角和综合】 【典例10】．若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 【跟踪训练1】．如图，五边形的一个内角，则等于_________． 【跟踪训练2】．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为______． 【跟踪训练3】．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【解答题5题】 1．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 2．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 3．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 4．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 5．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $