精品解析：四川成都市武侯区盐外芙蓉学校2025-2026学年八年级上学期阶段学情自测数学检测卷（12月份）

成都市武侯区盐外芙蓉学校2025-2026学年度（上） 八年级第三次月考测评 试卷满分：150分 时间：120分钟 A卷（满分100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是无限不循环小数，是无理数，正确； D．是整数，不符合题意； 故选：C． 2. 已知点在一次函数的图像上，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入一次函数并求解即可． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得． 3. 若点与关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横、纵坐标都护卫相反数，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与关于原点对称， ，， ， 故选：C． 4. 已知点和都在直线（为常数）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质由可得随的增大而减小，即可得到答案. 【详解】解：一次函数（为常数），， 随的增大而减小， 点和都在直线（为常数）上，， ， 故选：A． 5. 一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，分别落在直线，上，若直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点B作，则，根据平行线的性质得出，进而可得出，最后代入数据计算即可． 【详解】解：如图：过点B作，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 某射击队准备挑选运动员参加射击比赛，下表是其中一名运动员10次射击的成绩（单位：环），则该名运动员射击成绩的平均数是（ ） 成绩 8 9 10 频数 3 2 4 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求加权平均数，根据平均数的计算公式可直接进行求解．熟练掌握平均数的求法是解题的关键． 【详解】解：由题意得： （环）； 故选：B． 7. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： A． 8. 关于函数，下列结论正确的（ ） A. 函数图象一定经过点 B. 函数图象经过第一、二、三象限 C. 的值随的值的增大而增大 D. 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵当时，， ∴函数图象不经过点，故此选项结论错误，不符合题意； B、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，故此选项结论错误，不符合题意； C、∵， ∴的值随的值的增大而减小，故此选项结论错误，不符合题意， D、当，， 当，由得， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故此选项结论正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分共20分） 9. 比较大小：7______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先计算 ，，然后进行比较即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 10. 将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为， 故答案为：． 11. 如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键． 由题意可知，在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵以的长为半径画弧，交线段于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），理解函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．先把代入求出，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得到答案． 【详解】解：把代入得：， ∴直线与直线相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线，分别交于点，交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由作图可得垂直平分，得出，由等边对等角可得，由三角形外角的定义及性质可得，推出为等边三角形，即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，48分） 14. 计算与解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂进行计算即可； （2）利用代入消元法进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 将①式变形可得：③， 将③代入②式， ， 解得， 将代入① 得， ． 15. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格上的每个小正方形的边长均为1，请在网格中完成下列操作并解答问题： （1）作关于轴对称的（其中点，分别对应点，）； （2）线段的中点M的坐标为 ； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得，，再根据坐标中点公式计算即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴线段的中点M的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 的面积为． 16. 2025年8月7日至8月17日，第十二届世界运动会将在成都举行．为增加学生对世界运动会相关知识的了解，某学校举办了“运动无限，气象万千”世界运动会知识竞赛活动．学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分10分，共中抽取到的最低分为7分）进行调查分析，将结果分为四个组别：A组、B组、C组、D组，并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，并直接写出本次抽取的学生的竞赛成绩的众数和中位数； （2）本次调查中被抽取到的学生甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分．”你认为甲的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1）8分；9分； 补全的条形统计图如图所示， （2）甲的说法不对， 理由如下： 本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为 (分)， 众数是8分， 甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． (1)根据D组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，继而可得B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，根据众数定义、中位数定义求解即可； (2)计算平均数即可解答． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为∶ (人)， B组(8分)的人数 (人)， 根据条形图可知得8分的人数最多， 故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为9分、9分， 本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是 (分)； 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式为，点A，B的坐标分别为，，直线与直线l相交于点P． （1）求直线的表达式； （2）若直线l上存在一点C，使得的面积是的面积的3倍，求出点C的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图像相交问题、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数综合应用，解题关键是掌握两函数图像相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． （1）利用待定系数法即可得到直线的表达式； （2）通过解方程组即可得到点P的坐标；设点的坐标为，依据的面积是的面积的3倍，即可得出或，进而得到答案． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 联立两直线解析式，可得， 解得， ∴点的坐标为； ∵直线的表达式为， 令，则， ∴直线与轴交于点， 设点的坐标为， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， 解得或， ∴点坐标为或． 18. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． （3）这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】（1），， （2） 由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3） 如图所示：可解释的代数恒等式为． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【小问1详解】 证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 B卷（满分50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分共20分） 19. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 20. 已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 21. 在平面直角坐标系中，点是直线上一点，且到轴与轴的距离相等，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式是解题的关键． 设，根据点到轴与轴的距离相等，可得或，解方程即可． 【详解】解：∵点是直线上一点， ∴设， ∵点到轴与轴的距离相等， ∴或， 解得：， ∴ 点的坐标为， 故答案为：． 22. 已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由得：，再根据，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解及代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键． 23. 如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形是判定和性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作，使，连接，，证明得到，则，当、、三点共线时，的值最小，此时点在与的交点处，根据勾股定理，求出的长度，过点作于点，设，证明，，根据求解a值，进而求可解． 【详解】解：过点作，使，连接，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， 此时点在与的交点处， ，，， ，， 在中， 由勾股定理，得， 过点作于点，设， 则， ， ， ， ∴，即， ， ，， ， ， ∴，即， 解得：， 即，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某商店销售3台A型和5台B型电脑的利润为3000元，销售5台A型和3台B型电脑的利润为3400元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共60台，设购进A型电脑n台，这60台电脑的销售总利润为w元．求w关于n的函数关系式． 【答案】（1）每台A型电脑的销售利润为500元，每台B型电脑的销售利润为300元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据商店销售3台型和5台型电脑的利润为3000元，销售5台型和3台型电脑的利润为3400元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出关于的函数关系式． 【小问1详解】 解：设每台型电脑的销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元， 由题意可得：， 解得， 答：每台型电脑的销售利润为500元，每台型电脑的销售利润为300元； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即关于的函数关系式是． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式． 25. 在中，，为平面上一点，分别连接，，． （1）如图1，当，点在边上时，以为腰在右侧作等腰直角，且，连接． 求证：； （2）如图2，当，点在内部时，，，，求的长； （3）如图3，当在外部，且，，设，，则的值是否发生变化，若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵为等腰直角三角形， 又 在和中， （2） （3）不变， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的综合题，利用旋转构造等腰三角形以及直角三角形是本题解题的关键． （1）利用三角形与三角形全等来证明即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据等腰三角形的性质以及含角的直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 为等腰三角形， 在中， 【小问3详解】 不变， 如图3，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ， ， ， 26. 如图，直线经过点，与直线交于点，与轴交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． （1）求点A的坐标； （2）当时，求的面积； （3）连接，当沿着折叠，使得点的对应点落在直线上，求此时点的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）的面积为 （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用直线过点得，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求解； （2）设的横坐标为，代入直线与直线解析式表示出与的纵坐标，进而表示出的长，根据求出的值进而求出三角形面积即可； （3）分点落在射线和射线上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ，解得， 点， 直线经过点点，， ，解得：， 直线解析式为， 令，则，解得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：， ， 设点的横坐标为，则点坐标为， 轴， 点坐标为， ， 解得：或18， 当时，； 当时，同理可得：， 综上，的面积为； 【小问3详解】 解：过作于点， 点的坐标为，， ，，， ， ，， ，， ， ，即， 当沿着折叠，且点落在射线上的时，设交轴于点，如图1所示： 根据折叠的性质可得：，， 又， ， ，， 轴， 当时，， 坐标为； 当沿着折叠，且点落在射线上的时，延长交轴于点，如图2所示： 根据折叠的性质可得：，， 又， ， ，， 轴， 当时，， 点坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市武侯区盐外芙蓉学校2025-2026学年度（上） 八年级第三次月考测评 试卷满分：150分 时间：120分钟 A卷（满分100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在一次函数的图像上，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若点与关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 4. 已知点和都在直线（为常数）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，分别落在直线，上，若直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某射击队准备挑选运动员参加射击比赛，下表是其中一名运动员10次射击的成绩（单位：环），则该名运动员射击成绩的平均数是（ ） 成绩 8 9 10 频数 3 2 4 1 A. B. C. D. 7. 《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，下列结论正确的（ ） A. 函数图象一定经过点 B. 函数图象经过第一、二、三象限 C. 的值随的值的增大而增大 D. 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 二、填空题（共5小题，每小题4分共20分） 9. 比较大小：7______．（填“”“”或“”） 10. 将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为______． 11. 如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为______． 12. 已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为______． 13. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线，分别交于点，交于点，则的长为___________． 三、解答题（共5小题，48分） 14. 计算与解方程： （1） （2） 15. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格上的每个小正方形的边长均为1，请在网格中完成下列操作并解答问题： （1）作关于轴对称的（其中点，分别对应点，）； （2）线段的中点M的坐标为 ； （3）求的面积． 16. 2025年8月7日至8月17日，第十二届世界运动会将在成都举行．为增加学生对世界运动会相关知识的了解，某学校举办了“运动无限，气象万千”世界运动会知识竞赛活动．学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分10分，共中抽取到的最低分为7分）进行调查分析，将结果分为四个组别：A组、B组、C组、D组，并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，并直接写出本次抽取的学生的竞赛成绩的众数和中位数； （2）本次调查中被抽取到的学生甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分．”你认为甲的说法对吗？请说明理由． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式为，点A，B的坐标分别为，，直线与直线l相交于点P． （1）求直线的表达式； （2）若直线l上存在一点C，使得的面积是的面积的3倍，求出点C的坐标． 18. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． （3）这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． B卷（满分50分） 一、填空题（共5小题，每小题4分共20分） 19. 的平方根是____． 20. 已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是______． 21. 在平面直角坐标系中，点是直线上一点，且到轴与轴的距离相等，则点的坐标为______． 22. 已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值为___________． 23. 如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ____________________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某商店销售3台A型和5台B型电脑的利润为3000元，销售5台A型和3台B型电脑的利润为3400元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共60台，设购进A型电脑n台，这60台电脑的销售总利润为w元．求w关于n的函数关系式． 25. 在中，，为平面上一点，分别连接，，． （1）如图1，当，点在边上时，以为腰在右侧作等腰直角，且，连接． 求证：； （2）如图2，当，点在内部时，，，，求的长； （3）如图3，当在外部，且，，设，，则的值是否发生变化，若不变，试求出这个值；若改变，请说明理由． 26. 如图，直线经过点，与直线交于点，与轴交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． （1）求点A的坐标； （2）当时，求的面积； （3）连接，当沿着折叠，使得点的对应点落在直线上，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $