专题 3.1 同底数幂的乘法（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.1 同底数幂的乘法（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点一】同底数幂相乘 1 【题型 1】同底数幂的乘法运算 2 【题型 2】同底数幂的乘法逆运算运算 4 【知识点二】幂的乘方 6 【题型 3】幂的乘方运算 6 【题型 4】幂的乘方逆运算 8 【知识点三】积的乘方 9 【题型 5】积乘方运算 10 【题型 6】积的乘方逆运算 11 二.题型精析（培优篇） 14 【题型 7】同底数幂乘法运算辨析 14 【题型 8】同底数幂乘法混合运算 17 【题型 9】同底数幂乘法混合运算逆运算 19 【题型 10】同底数幂乘法的应用 22 二.中考模拟真题 24 （一）单选题（6题） 24 （二）填空题（6题） 26 （三）解答题（4题） 28 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点一】同底数幂相乘 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 （都是正整数）。 【题型 1】同底数幂的乘法运算 【例题1】（根据浙教版78页作业题第3题改编）（24-25七年级·上海·假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握底数不变，指数相加是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）以下运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法、合并同类项法则，直接利用同底数幂乘法、合并同类项分别化简判断即可． 解：A. ，运算正确，不符合题意； B. ，运算正确，不符合题意； C. ，运算正确，不符合题意； D. ，原运算错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】（1）；（2）0；（3）；（4） 【分析】本题考查了同底数幂的运算，需熟练掌握同底数幂的相关运算法则是解题的关键．每题均需根据幂的运算法则分别计算各项，再合并同类项得出结果． （1）解：． 故答案为：． （2）解：原式， ． 故答案为：0． （3）解：原式， ． 故答案为：． （4）解：原式， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级·上海·假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可； （3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可。 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点拨】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正． 【题型 2】同底数幂的乘法逆运算运算 【例题2】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 解：（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，需根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”逐一验证选项的变形是否正确． 解：A、，则，变形正确，不符合题意； B、，则，变形不正确，符合题意； C、，则，变形正确，不符合题意； D、，，变形正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若，则_______ ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，即可得到，最后根据，可得的值，代入上式计算得出结果． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）已知满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的计算应用，熟练使用其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得． 【知识点二】幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （都是正整数）。 【题型 3】幂的乘方运算 【例题3】（根据浙教版80页作业题第5题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法“底数不变指数相加”及幂的乘方“底数不变，指数相乘”可进行求解； （2）同理（1）可进行求解． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需根据幂的乘方的定义，解题的关键是掌握幂的乘方的定义． 判断各选项是否符合（为整式，为正整数）的形式，进而找出不属于幂的乘方的选项． 解：A选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； B选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； C选项是底数为、指数为的单一幂，不符合幂的乘方的形式，不属于幂的乘方； D选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为____________． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查幂的乘方，有理数的乘方，同底数幂相乘． 按照幂的乘方，有理数的乘方，同底数幂相乘的运算法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型 4】幂的乘方逆运算 【例题4】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 解：（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·月考）若，则____． 【答案】3 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： （1）比较与的大小； （2）比较、、的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法． （1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较． 解：（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，， ∵， ∴， ∴． 【知识点三】积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （为正整数）。 【题型 5】积乘方运算 【例题5】（根据浙教版82页课内练习第2题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 【变式3】（根据浙教版82页作业题第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）不正确，正确应为；（2）不正确，正确应为；（3）不正确，正确应为；（4）不正确，正确应为 【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此可根据积的乘方“每个因式都乘方，然后把结果相乘”进行求解（1）（2）（3）（4）． 解：（1）解：计算不正确，正确过程如下： ； （2）解：计算不正确，正确过程如下： ； （3）解：计算不正确，正确过程如下： ； （4）解：计算不正确，正确过程如下： ． 【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，将合并为， 将变为，然后逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）已知，，用含，的式子表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 解：（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 二.题型精析（培优篇） 【题型 7】同底数幂乘法运算辨析 【例题7】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）错误，正确为；（2）错误，正确为；（3）错误，正确为 【分析】本题考查的是幂的乘方，积的乘方运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）幂的乘方：底数不变，指数相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （2）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （3）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可． 解：（1）解：，计算错误， 正确计算为：； （2）解：，计算错误， 正确计算为：； （3）解：，计算错误， 正确计算为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知x，y满足方程组．给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②若方程组的解满足，则；③无论k为何值，；④若，则或．正确的是________． 【答案】②③④ 【分析】先求出方程组的解为，再依次判断即可． 解：， ①得，③， ③②，得， 将代入①得，， 方程组的解为， 当时，方程组的解为， ， 方程组的解不是的解； 方程组的解满足， ， ； ， 无论为何值，； ， ， 或； 故答案为：②③④． 【点拨】本题考查二元一次方程组的解、绝对值、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法，同底数幂的运算，绝对值运算． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）（是正整数）． 【答案】（1）不正确，应为；（2）不正确，应为；（3）不正确，应为；（4）正确 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键； （1）根据幂的乘方“底数不变，指数相乘”可进行求解； （2）根据同底数幂的乘法“底数不变，指数相加”可进行求解； （3）根据合并同类项可进行求解； （4）根据幂的乘方可进行求解． 解：（1）解：计算不正确，正确过程如下： ； （2）解：计算不正确，正确过程如下： ； （3）解：计算不正确，正确过程如下： ； （4）解：∵，， ∴（是正整数）；计算正确． 【题型 8】同底数幂乘法混合运算 【例题8】（根据浙教版82页作业题B组第5题改编）（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； （2）根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； （3）根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； （4）根据积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（2024·湖南郴州·模拟预测）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断即可． 解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，本选项正确． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为____________． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先计算幂的乘方，再合并同类项； （3）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型 9】同底数幂乘法混合运算逆运算 【例题9】（2026七年级下·全国·专题练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）[理解]根据上述规定，填空： ； （2）[说理]记．试说明； （3）[应用]若，求t的值． 【答案】（1）2；（2）见分析；（3）64． 【分析】本题考查了新定义运算与幂的运算性质，解题的关键是理解新定义等价于，并将其转化为熟悉的幂运算问题． （1）根据新定义，找到满足的值； （2）根据新定义将a，b，c转化为幂的形式，利用同底数幂乘法法则证明； （3）根据新定义将等式转化为幂的形式，利用幂的乘方与同底数幂乘法法则求解． 解：（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，，， 则，，． ∵， ∴． ∵， 又， ∴． 答：的值为64． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（为大于1的整数）的结果是________． 【答案】0 【分析】此题考查了同底数幂的乘法逆运算法则，利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，即可得出结果． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． （1）已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）200 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可． 解：（1）解：∵， ， ， ∴； （2）解：， ∵， ∴原式． 【题型 10】同底数幂乘法的应用 【例题10】（24-25八年级上·江西南昌·月考）公园准备修建一条石板路，已知铺设石板的路面总长为，路面宽为，若工程队铺设石板路的人工费用为元． （1）求铺设石板路面的人工总费用（结果用含的代数式表示） （2）已知计划投入铺设石板路的人工费用为元，若，那么计划投入的费用够支付这支工程队来铺设石板路吗？ 【答案】（1）铺设石板路面的人工总费用为元；；（2）计划投入的费用够支付． 【分析】本题考查幂的运算的实际应用．本题通过指数运算求解总费用，并通过数值比较判断费用是否充足．需注意同底数幂的乘法法则（如）及准确计算大数幂值． （1）由题意需要计算铺设石板路的人工总费用，需先求出路面面积，再乘以单位人工费用； （2）代入，比较计划投入费用与实际费用的大小，判断是否足够支付． 解：（1）解：路面总长为，宽为， 面积为：， 铺设石板路的人工费用为元， 总费用为：元． （2）解：当时，实际费用为：， 计划投入费用为元， ， 计划投入的费用足够支付． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 解：， 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 解：（m）， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·浙江温州·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解． 解：， 故选：D． 【点拨】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 2．（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（    ） A．y B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可． 解：∵， ∴， 故选D 【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键． 3．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 解：． 故选：D． 4．（2025·吉林长春·中考真题）下列计算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．（2023·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、 和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、 ，故该选项正确，符合题意； C、 ，故该选项不正确，不符合题意；     D、 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 6．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． （二）填空题（6题） 7．（2023·天津·中考真题）计算的结果为________． 【答案】 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案． 解： 故答案为：． 【点拨】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 8．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可． 解：， 故答案为：． 9．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是__________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 解： 故答案为：． 10．（2024·上海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 解：， 故答案为：． 11．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则，_______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． （3） 解答题（4题） 13．（2018·福建厦门·模拟预测）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用同底数幂乘法的运算法则计算，然后再合并同类项即可； （2）先运用幂的乘方、积的乘方计算，然后再合并同类项即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 14．（2018·福建厦门·模拟预测）（1）计算：     （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）200 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，幂的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则，进行计算即可． 解：（1） ； （2）∵，， ∴ ． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． （1）求的值； （2）若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 解：（1）解：由题意，得； （2）解： ． 16．（2025·安徽滁州·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_______________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，积的乘方运算，了解等式的特点，是解题关键． （1）根据题目中等式的特点，写出第7个等式即可； （2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再分别计算等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想． 解：（1）解：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； ∴第7个等式：. （2）解：猜想：； 证明如下：左边， 右边， ∴左边右边， ∴成立. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 同底数幂的乘法（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 1 【知识点一】同底数幂相乘 1 【题型 1】同底数幂的乘法运算 2 【题型 2】同底数幂的乘法逆运算运算 2 【知识点二】幂的乘方 3 【题型 3】幂的乘方运算 3 【题型 4】幂的乘方逆运算 3 【知识点三】积的乘方 4 【题型 5】积乘方运算 4 【题型 6】积的乘方逆运算 4 二.题型精析（培优篇） 5 【题型 7】同底数幂乘法运算辨析 5 【题型 8】同底数幂乘法混合运算 5 【题型 9】同底数幂乘法混合运算逆运算 6 【题型 10】同底数幂乘法的应用 7 二.中考模拟真题 7 （一）单选题（6题） 7 （二）填空题（6题） 8 （三）解答题（4题） 8 一.知识梳理与题型精析（基础篇） 【知识点一】同底数幂相乘 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 （都是正整数）。 【题型 1】同底数幂的乘法运算 【例题1】（根据浙教版78页作业题第3题改编）（24-25七年级·上海·假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）以下运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式3】（24-25七年级·上海·假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； （3）． 【题型 2】同底数幂的乘法逆运算运算 【例题2】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若，则_______ ． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）已知满足，求的值． 【知识点二】幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （都是正整数）。 【题型 3】幂的乘方运算 【例题3】（根据浙教版80页作业题第5题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为____________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型 4】幂的乘方逆运算 【例题4】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）直接写出，，之间的数量关系． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·月考）若，则____． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： （1）比较与的大小； （2）比较、、的大小． 【知识点三】积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （为正整数）。 【题型 5】积乘方运算 【例题5】（根据浙教版82页课内练习第2题改编）（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为____________． 【变式3】（根据浙教版82页作业题第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（24-25七年级下·全国·课后作业）简便计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）___________． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）已知，，用含，的式子表示． 二.题型精析（培优篇） 【题型 7】同底数幂乘法运算辨析 【例题7】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知x，y满足方程组．给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②若方程组的解满足，则；③无论k为何值，；④若，则或．正确的是________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）（是正整数）． 【题型 8】同底数幂乘法混合运算 【例题8】（根据浙教版82页作业题B组第5题改编）（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2024·湖南郴州·模拟预测）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为____________． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 9】同底数幂乘法混合运算逆运算 【例题9】（2026七年级下·全国·专题练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）[理解]根据上述规定，填空： ； （2）[说理]记．试说明； （3）[应用]若，求t的值． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（为大于1的整数）的结果是________． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． （1）已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； （2）若，求的值． 【题型 10】同底数幂乘法的应用 【例题10】（24-25八年级上·江西南昌·月考）公园准备修建一条石板路，已知铺设石板的路面总长为，路面宽为，若工程队铺设石板路的人工费用为元． （1）求铺设石板路面的人工总费用（结果用含的代数式表示） （2）已知计划投入铺设石板路的人工费用为元，若，那么计划投入的费用够支付这支工程队来铺设石板路吗？ 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．（结果用科学记数法表示） 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·浙江温州·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（    ） A．y B． C． D． 3．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·中考真题）下列计算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2023·天津·中考真题）计算的结果为________． 8．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：______． 9．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是__________． 10．（2024·上海·中考真题）计算：___________． 11．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则，_______． 12．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． （三）解答题（4题） 13．（2024·福建厦门·模拟预测）计算： （1） （2） 14．（2024·福建厦门·模拟预测） （1）计算：     （2）若，，求的值． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． （1）求的值； （2）若，求的值（结果用科学记数法表示）． 16．（2025·安徽滁州·二模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：_______________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $