第01讲 同底数幂的乘法（3个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第01讲 同底数幂的乘法 （3个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①同底数幂的乘法； ②幂的乘方； ③积的乘方； 1.掌握同底数幂的乘法； 2.掌握幂的乘方； 3.掌握积的乘方； 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【即学即练1】 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．已知，，则值为（    ） A．9 B．20 C． D． 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【即学即练3】 3．已知，，则的值（    ） A．200 B．60 C．150 D．80 【即学即练4】 4．已知，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【即学即练5】 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】 6．的值为(    ) A． B． C． D． 题型01 同底数幂相乘 1．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若、均为正整数，且，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 3．计算： ． 4．计算： ； 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 同底数幂乘法的逆用 6．可以改写成（    ） A． B． C． D． 7．如果，，则的值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．25 8．已知，则的值为 ． 9．已知，则 ． 10．（1）已知，求的值； （2）已知，试用含的式子表示． 题型03 用科学记数法表示数的乘法 11．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 12．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 13．世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 14．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 15．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 题型04 幂的乘方运算 16．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 17．下列算式可以用“幂的乘方法则”运算的是（   ） A． B． C． D． 18．如果，则等于 ． 19．已知，则的值为 ． 20．已知，求的值 题型05 幂的乘方运算逆用 21．若，， (1)求代数式的值； (2)求的值． 22．若，，用含的代数式表示． 23．分别求出下列式子的值 (1)已知：，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 24．已知，，求的值． 25．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型06 积的乘方运算 26．用简便方法计算． (1)； (2)． 27．若，，求的值． 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．计算： (1)； (2)． 30．已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型07 积的乘方运算逆用 31．已知，，求的值． 32．计算 (1)若，求的值． (2)若，求x的值． 33．（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 34．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 35．（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 题型08 利用幂的运算比较大小 36．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 37．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 38．在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 39．阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 40．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 题型09 幂的混合运算 41．计算； (1)； (2)； (3)； (4)． 42．计算 (1)； (2)． 43．计算： (1)； (2)． 44．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 45．计算： (1)； (2)． 题型10 由幂的运算确定字母的关系 46．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 47．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 48．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ． 49．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 50．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 题型11 幂的运算实际应用 51．已知一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（   ） A． B． C． D． 52．一个棱长为的正方体，在某种物体的作用下，其棱长以每秒扩大到原来的倍的速度增长，则后该正方体的棱长为 ． 53．《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与宽之比为，有五种通用尺度（尺寸规格）．若一种尺度的国旗的宽为，则这种尺度的国旗旗面的面积为 ． 54．一个正方体的棱长为，求它的体积． 55．已知木星的半径大约是，将它近似看成一个球，求出它的体积．（取） 题型12 同底数幂乘法的新定义运算 56．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 57．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 58．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 59．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． (1)若，则 ；若，则 ； (2)若且，求x、y的值． 60．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 1．已知，，，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知，则a，b，c的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 3．计算的值是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中罗斯248星离太阳系的距离约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，表示光在一年中所通过的距离，已知1光年约为千米，则罗斯248星距离太阳系约为（   ）千米． A． B． C． D． 6． ． 7．若，，则的值为 ． 8．若，则 ；若，则 ． 9．我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，例如：时，则； 如果，那么＝ ，＝ ． 10．按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 11．计算： (1)； (2)． 12．（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 13．若，， (1)求代数式的值； (2)求的值． 14．已知，，试用含，的代数式表示，． 15．规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 同底数幂的乘法 （3个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①同底数幂的乘法； ②幂的乘方； ③积的乘方； 1.掌握同底数幂的乘法； 2.掌握幂的乘方； 3.掌握积的乘方； 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【即学即练1】 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可，此题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【即学即练2】 2．已知，，则值为（    ） A．9 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则把变形，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆用，熟练掌握法则是解答本题的关键． 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【即学即练3】 3．已知，，则的值（    ） A．200 B．60 C．150 D．80 【答案】A 【分析】先根据幂的乘方求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知是解题的关键． 【即学即练4】 4．已知，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的111次方的形式，比较底数得结论． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键． 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【即学即练5】 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由积的乘方法则与幂的乘方法则即可完成计算． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方的混合运算，掌握这两种运算的法则是关键． 【即学即练6】 6．的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先逆用积的乘方公式，再计算有理数的乘方． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方,同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算是解题的关键． 题型01 同底数幂相乘 1．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相乘法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．若、均为正整数，且，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相除法则，根据同底数幂相乘由可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 4．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，先进行同底数幂的乘法运算，再化简结果，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法． （2）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法． （3）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加减． （4）先变形，再根据同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）解决此题． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 题型02 同底数幂乘法的逆用 6．可以改写成（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 7．如果，，则的值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．25 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算．根据同底数幂乘法法则的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 8．已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，根据题意，把变形为，即可得出答案． 【详解】解：解：∵， ∴=6×2 =12． 故答案为：12． 9．已知，则 ． 【答案】54 【分析】本题考查了幂的乘法的逆用，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：54． 10．（1）已知，求的值； （2）已知，试用含的式子表示． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用； （1）根据，再代入计算即可； （2）根据，再代入计算即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴． 题型03 用科学记数法表示数的乘法 11．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【答案】A 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 12．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：万． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 13．世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可． 【详解】解：． 故答案为： 14．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 15．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：米； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型04 幂的乘方运算 16．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 17．下列算式可以用“幂的乘方法则”运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方进行判定即可． 【详解】解：A、，运用同底数幂的乘法计算，不符合题意； B、，运用幂的乘方计算，符合题意； C、，运用积的乘方计算，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意； 故选：B ． 18．如果，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则计算已知等式的左边，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．已知，则的值为 ． 【答案】225 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： = =225． 故答案为：225． 20．已知，求的值 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方．根据幂的乘方结合同底数幂的乘法法则得到，再整体代入求解即可， 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型05 幂的乘方运算逆用 21．若，， (1)求代数式的值； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)72 【分析】本题主要考查了整式的有关运算． （1）根据已知条件，利用同底数幂相乘法则，把幂写成两个底数是2的幂相乘，再进行计算即可； （2）根据已知条件，逆用幂的乘方法则，把所求的幂写成底数是2的幂，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 22．若，，用含的代数式表示． 【答案】． 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算法则是解此题的关键．由题意可得，然后利用幂的乘方的逆运算变形，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 23．分别求出下列式子的值 (1)已知：，求： ①； ②． (2)如果，求x的值． 【答案】(1)①50；② (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则． （1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2） 24．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方公式是解答本题的关键． 根据幂的乘方的逆运算，可把变形为，再代入求值即可． 【详解】解：，， 原式， ， ， ． 25．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法的运算： （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴. 题型06 积的乘方运算 26．用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方运算法则进行简便计算； （2）根据积的乘方运算法则进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 27．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握积的乘方和幂的乘方逆用是解题的关键； 根据积的乘方和幂的乘方的逆用变形得，然后代入即可解答． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可得； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得； （3）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算整式的加减法即可得； （4）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的法则分别计算即可； （2）根据积的乘方、整式的加减的法则分别计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 30．已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)216 (2)3 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用积的乘方，逆用同底数幂的乘法进行计算即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， ∴． 题型07 积的乘方运算逆用 31．已知，，求的值． 【答案】25 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算幂的乘方，再计算积的乘方的逆用，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ． 32．计算 (1)若，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，积的乘方运算． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 33．（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可． （3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答． 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴解得． （3） ． 34．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 35．（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 题型08 利用幂的运算比较大小 36．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 37．请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，，则，由此即可得． 【详解】（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C． （2）解：∵，， ∴，，且， ∴， ∴． 38．在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【详解】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 39．阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 40．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ； （2）解： ． 题型09 幂的混合运算 41．计算； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可； （3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可； （4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 42．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可； （）根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可； 本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 44．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1 ）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2 ）先算幂的乘方，再合并同类项； （3 ）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4 ）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是： （1）先计算幂的乘法、再计算同底数幂相乘即可； （2）先计算幂的乘法、再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型10 由幂的运算确定字母的关系 46．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的应用，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此对已知进行恒等变换即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 47．已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； D、由B可得，，故D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 48．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论． 【详解】解：， ∴、、之间满足的等量关系是； 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键． 49．已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答． 【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即． 50．（1）已知，，求的值． （2）已知，，，则、、之间有什么等量关系，说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析 【分析】本题考查幂的运算： （1）逆用同底数幂的乘法，进行计算即可； （2）逆用积的乘方，幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），理由如下： ∵，且，，， ∴． 题型11 幂的运算实际应用 51．已知一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方，科学记数法，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．正方体的体积等于棱长的立方，据此进行运算，再把结果用科学记数法的形式表示即可． 【详解】解：正方体的体积为： ． 故选：D． 52．一个棱长为的正方体，在某种物体的作用下，其棱长以每秒扩大到原来的倍的速度增长，则后该正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的应用，根据题意列出式子，计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：后该正方体的棱长为， 故答案为：． 53．《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与宽之比为，有五种通用尺度（尺寸规格）．若一种尺度的国旗的宽为，则这种尺度的国旗旗面的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查长方形面积和按比例分配，解答此题的关键是根据长与宽之比为，分别求出长和宽． 【详解】解：∵长与宽之比为， ∴长是宽的， 又∵国旗的宽为， ∴长为， ∴这种尺度的国旗旗面的面积为， 故答案为：． 54．一个正方体的棱长为，求它的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方、积的乘方，正方体的体积． 根据正方体的体积公式求出即可． 【详解】解：正方体的棱长为， 它的体积为． 55．已知木星的半径大约是，将它近似看成一个球，求出它的体积．（取） 【答案】立方千米 【分析】本题考查的是积的乘方与幂的乘方运算，科学记数法的含义，直接根据体积公式计算即可. 【详解】解：（立方千米）， 答：木星的体积大约是立方千米． 题型12 同底数幂乘法的新定义运算 56．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 57．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)72 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （3）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：， ， 原式； （3）解： ． 58．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 【答案】(1)2 (2)3 (3)1 (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数的运算、同底数幂相乘，理解题意的新运算是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由结合题意计算即可得解； （3）根据计算即可得解； （4）根据题干所给公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解： ． 59．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． (1)若，则 ；若，则 ； (2)若且，求x、y的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了新定义下幂的运算性质，运算律的混合运算和解二元一次方程组， （1）利用新运算的规定列式运算即可； （2）利用新运算的规定列式，再利用幂的运算性质列出关于x，y的方程组，解方程组解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：6；； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 60．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 【答案】(1)2，4，6 (2)， (3)见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算、有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，即可确定出关系式． （1）根据对数的定义进行计算即可； （2），、、之间的关系根据结果得出：，则； （3）设，那么有，又设，那么有，根据对数的定义可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2，4，6； （2）解：， ； （3）解：设，那么有，又设，那么有， 故而， 根据对数的定义化成对数式为， ． 1．已知，，，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法与乘法以及幂的乘方，掌握同底数幂的乘法与乘法以及幂的乘方是解题的关键．根据同底数幂的乘法与乘法以及幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 2．已知，则a，b，c的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 3．计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是将两个因数的指数变为相同．根据积的乘方的逆用可以简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 由可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：． 5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中罗斯248星离太阳系的距离约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，表示光在一年中所通过的距离，已知1光年约为千米，则罗斯248星距离太阳系约为（   ）千米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算，涉及幂的乘方运算，熟记幂的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．若，，则的值为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算法则进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：45． 8．若，则 ；若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用法则是解题关键．根据同底数幂乘法的逆用法则计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：，3． 9．我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，例如：时，则； 如果，那么＝ ，＝ ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据（8）解答；根据新的运算定义，将原式化成个（2）的积乘以1010个（2）的积，再代值进行计算便可． 【详解】解：（2）， （8）； ． 故答案为：，． 10．按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数据的排列规律的探究，同底数幂的乘法公式，根据数据的排列特点找到变化的规律是解题的关键． 分析这组数的排列规律：底数都是2，前两个数的指数相加是下一个数的指数，由此根据同底数幂的乘法列式计算即可． 【详解】解：观察数列可发现：， ∴前两个数的积等于第三个数， ∵x、y、z表示这列数中的连续三个数， ∴x、y、z满足的关系式是． 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则． （1）利用幂的乘方和积的乘方计算； （2）利用幂的乘方和积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ． 12．（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘的运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂相乘的运算法则化简即可解答； （2）根据同底数幂相乘的运算法则化简即可解答；． 【详解】解：（1）因为， 所以， 解得； （2）因为， 所以， 由，得， 所以， 所以， 所以． 13．若，， (1)求代数式的值； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)72 【分析】本题主要考查了整式的有关运算． （1）根据已知条件，利用同底数幂相乘法则，把幂写成两个底数是2的幂相乘，再进行计算即可； （2）根据已知条件，逆用幂的乘方法则，把所求的幂写成底数是2的幂，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 14．已知，，试用含，的代数式表示，． 【答案】；． 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，熟练掌握幂的乘方，积的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方和积的乘方法则变形即可． 【详解】解：∵，， ∴； ． 15．规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$