精品解析：福建莆田第一中学2025-2026学年高一下学期数学：解三角形专题周练

解三角形专题 一、单选题 1. 在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由大边对大角即可求出. 【详解】由正弦定理可得，， 因为，所以，则， 故选：C. 2. 已知的面积为，则边的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【详解】因为，可得， 所以， 故选:D． 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 故选：B 4. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案． 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为． 5. 在中，设命题，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先当成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得判断出△是等边三角形．推断出是的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得，，，三者相等，进而可推断出是的必要条件， 【详解】解：，即①； ②， ①②，得，则， ．同理得， ，则△是等边三角形． 当时，，， 成立， 命题是命题的充分必要条件． 故选：C． 6. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. 16 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理整理等式，再根据正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函数关系式求得角的正弦值，再结合正弦定理，可得答案 【详解】由，则， 即，由，则， 由，则， 因为,所以， 所以. 故选：B. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合正弦定理得：，再利用平方和公式，结合三角函数的符号求的值. 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 8. 在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（ ） A. 不存在最大值 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为，根据的范围即可得解. 【详解】，，，， ，， （其中，，）， ，，， 又，，，， ， ∴最大值为. 故选：. 二、多选题 9. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理可得即可判断；对于B，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，进而判断真假；对于C，由余弦函数的单调性可判断；对于D，举反例判断. 【详解】对于A：在中，若，由正弦定理得，则为等腰三角形，A正确； 对于B，因为，在中，可得或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C，在三角形中，，因为在上单调递减，所以，C正确； 对于D，当为钝角，为锐角时，此时，，D错误； 故选：ABC. 10. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D. 【详解】因为中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合和差公式、诱导公式、倍角公式求出角，再结合余弦定理及三角形面积公式得出边角关系，对选项逐一分析即可判断. 【详解】对于：由， 由，， 得， 结合，化简得， 即， 所以，故正确. 对于：，即， 由余弦定理得，化简得. 所以，，因为， 所以，， 所以，故错误； 对于：，， 所以，故正确； 对于：， 所以， 即，故正确. 故选：. 三、填空题 12. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得. 【详解】由正弦定理，①， 又， 代入式①得：， ∴，∵，∴，， 故，又，∴． 故答案为： 13. 已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则外接圆的面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件化简得，根据正弦定理和余弦定理，求得，得到，再结合正弦定理求得，利用圆的面积公式，即可求解. 【详解】由， 可得， 整理得， 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为，所以， 由正弦定理得外接圆的直径，所以， 所以外接圆的面积. 故答案为： 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略： 对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． 【小问2详解】 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 16. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】（1）两船相距海里. （2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. 【小问2详解】 当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 17. 在中，，BC边上的高等于． （1）求的值； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解； （2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解. 【小问1详解】 设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由题意可得，即， 由正弦定理得，又， 所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以， 所以的周长为． 18. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可. （2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可. （3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围. 【小问1详解】 因为,根据正弦定理, 即, 即,又, 所以,因为,所以． 【小问2详解】 由及余弦定理得,即, 又因为,所以, 所以, 所以,即． 【小问3详解】 因为是的中点,所以, 则, 由正弦定理得, 即, 因为,所以,所以, 所以,所以,所以, 所以,即边上的中线的取值范围为． 19. 已知锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积的取值范围； （3）如图，若为外一点，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）变形得到，由余弦定理求出，得到答案； （2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到，并由锐角三角形得到，求出，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法二：由余弦定理，且，得到不等式，并将代入两不等式，解得，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法三：考查的极端位置情况，当时，，当时，，从而得到，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； （3）解法一：求出，设，表达出其他各边长，在中，由正弦定理得①，在中，由余弦定理可得②，将①式代入②式得到方程，求出，故； 解法二：求出，设，表达出其他各边长，求出，，在中，由正弦定理可得，在中，用含的式子表达出，求出，在中，由勾股定理和可得方程，求出，故． 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 解法一：在中，由正弦定理得， 又， 所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法二：因为是锐角三角形， 所以，且， 所以，且， 又因为，所以， 所以，且，解得， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角， 根据图形变化，考查的极端位置情况， 当时，， 当时，， 可得当且仅当时，是锐角三角形； 因为， 所以的面积的取值范围是； 【小问3详解】 解法一：因为，所以， 因为，设，则， 在中，由正弦定理可得，即①， 在中，由余弦定理可得②， 将①式代入②式得， 化简得，解得，故． 解法二：过点作交的延长线于点， 因为，所以， 因为，设，则， 又因为， 所以在中，由正弦定理可得，即 在中，， 所以， 因为，在中，由勾股定理可得， 化简得，解得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形专题 一、单选题 1. 在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的面积为，则边的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 5. 在中，设命题，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. 16 B. C. D. 4 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（ ） A. 不存在最大值 B. C. D. 二、多选题 9. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______． 13. 已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则外接圆的面积是___________. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 16. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 17. 在中，，BC边上的高等于． （1）求的值； （2）若，求的周长． 18. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上的中线的取值范围． 19. 已知锐角的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积的取值范围； （3）如图，若为外一点，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $