精品解析：甘肃省陇南市武都实验中学等模4校2025-2026学年高三下学期一模模拟考试数学试题

陇南市武都区2025-2026学年武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学高三一模模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解： 或， ， ， 故选：C 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得及. 【详解】由题，故， 故， 所以. 故选：B. 3. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此， 故选：D 4. 已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为， 由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形， 则，，由椭圆定义得， 由余弦定理得，整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 3 B. 6 C. 60 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.  要求的系数，则的次数 ，此时.  同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.  要得到，则令，解得.  当 ，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 6. 已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在 上单调递增， 则对任意的 ，成立，设，则， 由，得 ，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 7. 在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的数量积判断和向量的关系，进而求出的面积，再求出点 到平面的距离，最后根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】，，， ， ，， 根据三角形面积公式， 设平面的法向量为，则，即， 令 ，则，故平面的法向量为， 又，则， 故点 到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 故选：C. 8. 已知函数，若 恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得与周期相同，即，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为函数恒成立，所以与同号或为 ， 则与周期相同，即，可得， 则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 在单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，的定义域是， 正确. 函数的定义域不关于原点对称， 函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，， 在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 10. 已知为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若相互独立，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件概率的加法公式和对立事件概率的公式可判断A；根据独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率的公式可判断B；根据独立事件同时发生的概率公式 和容斥原理可判断C；根据条件概率公式可判断D. 【详解】若，则与互斥，所以，故A正确； 若相互独立，则相互独立，则，故B正确； 若相互独立，则，故C错误； 若，则，故D错误. 故选：AB 11. 已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公差，再逐项判断得解. 【详解】在等差数列中，，解得 ，则公差， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，因此，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系求得，再由模长公式即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以， 所以， 则， 故， 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可. 【详解】如图，的焦点为， 由拋物线的定义，知， 又，所以是等边三角形，所以，， 直线的方程为，设，， 联立方程得， 所以，． 由， 得，解得． 故答案为：3 14. 已知抛物线 的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于 两点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义以及性质得出方程解出即可． 【详解】由题意如图所示： 由抛物线 ，可得，准线方程为 ， 设，， 则，， 故，所以， 所以，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面四边形ABCD中，，， . （1）若△ABC的面积为，求AC； （2）若， ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求； （2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解. 【小问1详解】 在△中， ，， ∴，可得， 在△中，由余弦定理得， . 【小问2详解】 设，则， 在 中，，易知：， 在△中，由正弦定理得，即， ，可得，即. . 16. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，， 的中点． （1）证明： 平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接ME， ， ∵M，E分别为，BC中点， ∴ME为的中位线， ∴且， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以且， 又N为 中点，∴且， ∴，， ∴四边形MNDE为平行四边形， ∴，又 平面， 平面， ∴ 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接ME， ，证明四边形MNDE为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）连接，，设，，以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，设，， 由直四棱柱性质可知： 平面ABCD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴ ， 则以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，， 取AB中点F，连接DF，则， ∵四边形ABCD为菱形且， ∴为等边三角形， ∴， 又平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又平面， ∴ 平面，即DF⊥平面， ∴为平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量为， 又，， ∴，令，则，， ∴平面的一个法向量为 ∴， ∴， ∴二面角的正弦值为． 17. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； （3）证明 附：参考数据：，，（其中，）． 【答案】（1）分布列： 1 2 3 期望为 （2）， （3）证明：由题知，在前轮就成功的概率为 ， 又因为在前轮没有成功的概率为 ， 故． 【解析】 【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望； （2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值； （3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功的概率”小于，从而证得不等式成立. 【小问1详解】 由题知，的取值可能为1，2，3，所以； ；； 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为． 【小问2详解】 令，则， 由题知：， ， 所以， 所以，， 故所求的回归方程为：， 所以，估计时，；估计时，；估计时， ； 预测成功的总人数为． 【小问3详解】 略 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设， ， 则， 当时， ，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时， ，则 ，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 19. 设抛物线 （为常数，且 ）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明： 的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 【答案】（1） （2）证明：（i）设，， ，则， 由题意知， ，， 经过， 两点，且这两个点的纵坐标相同， 由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标． 又 的焦点均在轴上，在轴上，即 ． 设的长半轴长为，则 ． 设的左焦点为，则 ， 则 的周长 ． ，且， ，故 的周长为定值． （ⅱ）设的焦距为 ，离心率为 ，则 ． 由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点， 则． 由在轴正半轴上可知 ，则 ， ． 设的短半轴长为，则 ，将点的坐标代入的方程 ， 并结合，得 ， 整理得，代入与，化简得，解得． 点在第一象限且为的右顶点， ，即． 由 知， ，则． 要证，只需证，即证，即证， 的离心率大于，得证． 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线方程，结合已知几何性质求出点 ，再利用两点间距离公式计算求解； （2）利用抛物线的焦点弦公式结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而证明 的周长为定值；利用椭圆的离心率公式结合点在上且位于第一象限构造不等式，进而证明结论． 【小问1详解】 将点 的坐标代入 ，得 ，解得 ， 抛物线的方程为 ，故 ，准线的方程为 ，则 ， ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇南市武都区2025-2026学年武都实验中学、武都两水中学、武都育才学校、武都扬名中学高三一模模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 4. 已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 3 B. 6 C. 60 D. 30 6. 已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 7. 在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，若 恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 的值域为 D. 在单调递减 10. 已知为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若相互独立，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 11. 已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则__________． 14. 已知抛物线 的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于 两点，且，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面四边形ABCD中，，， . （1）若△ABC的面积为，求AC； （2）若， ，求 . 16. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，， 的中点． （1）证明： 平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记 表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于 的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； （3）证明 附：参考数据：，，（其中，）． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 设抛物线 （为常数，且 ）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明： 的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $