精品解析：辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年度下学期高二期初考试数学试卷

海城高中2025-2026学年度下学期高二期初考试 数学试卷 命题人：高二数学组 审校人：闻静 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A B. 3 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 3.5 D. 2.5 4. 已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（ ） A. B. 或9 C. 1或9 D. 9 5. 若曲线与直线有两个交点，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. -56 B. -28 C. 28 D. 56 7. 已知抛物线焦点为，直线与交于A，B两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 的展开式中的系数为 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 11. 已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（） A. 直线与平面所成角的正弦值范围为 B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D. 已知为中点，当的和最小时，为的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 13. 设，且，若能被13整除，则等于______． 14. 已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线与双曲线渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ （2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形ABCD为等腰梯形， （1）求证：平面 （2）若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城高中2025-2026学年度下学期高二期初考试 数学试卷 命题人：高二数学组 审校人：闻静 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】由截距概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，利用向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 3.5 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对应的物理成绩的预测值，再根据残差的定义计算即可. 【详解】将代入得， 则样本点的残差为. 故选：D 4. 已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（ ） A. B. 或9 C. 1或9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】应用圆心到直线距离结合圆上到直线的距离为1的点恰有3个得出列式计算求解参数. 【详解】由题意可知，圆的圆心，圆的半径， ∵圆上到直线的距离为1的点恰有3个，如图所示， ∴圆心到直线的距离为1，即解得或. 故选：B. 5. 若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【详解】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D 6. 若，则（ ） A. -56 B. -28 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数. 【详解】令，则原等式化为， 所以. 故选：C 7. 已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，.设直线的斜率为，其倾斜角为，先得到直线的方程，联立直线与抛物线组成的方程组，得到①，由得到②，解①②组成的方程组，求出点坐标及即的值，再根据同角三角函数的关系即可求出的值. 【详解】设，. 由抛物线方程可知其焦点坐标为. 由可知三点共线，即直线过抛物线的焦点， 且直线的斜率必存在，设直线的斜率为，其倾斜角为，则. 则直线方程为，将其代入抛物线方程， 消去，可得，则有. 又由，可得，即， 联立，因为，所以解得，或（舍去），所以， 所以直线的斜率. 所以，解得. 因为，所以. 所以直线的倾斜角的正弦值为. 故选：D 8. 已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据求解. 【详解】设，则双曲线的渐近线方程为， 因此， 故， 由于在双曲线上，故，即， 因此， 由于， 由可得，故，故离心率的最小值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 的展开式中的系数为 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 【答案】ABC 【解析】 【分析】由组合数的性质和二项式定理，计数原理及排列组合可得. 【详解】对于A，由题意得或，解得或；故A正确 对于B，由， 所以，故B正确； 对于C，的展开式中的系数为，故C正确； 对于D，将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，故D错误. 11. 已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（） A. 直线与平面所成角正弦值范围为 B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D. 已知为中点，当的和最小时，为的中点 【答案】AC 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点， 平面，则为平面的一个法向量，且，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确； 对于B选项，当与重合时，连接、、、， 在正方体中，平面，平面，， 四边形是正方形，则，，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为. 设、、、、、分别为棱、、、、、的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误； 对于C选项，设平面交棱于点，点，， 平面，平面，，即，得，， 所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，， 而，，且， 由空间中两点间的距离公式可得，，， 所以，四边形为等腰梯形，C选项正确； 对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示： 若最短，则、、三点共线， ，， ，所以，点不是棱的中点，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，由，可得， 所以， 所以， 故答案为： 13. 设，且，若能被13整除，则等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二项式定理的应用，整除问题的处理方法，掌握将数表示为与除数相关的形式并利用二项式定理展开是解题的关键． 将51表示为，利用二项式定理展开，因52是13的倍数，展开式中除末项外均可被13整除，故只需末项与的和能被13整除，结合求． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴． 故答案为：12． 14. 已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程和双曲线方程的定义可得，进而由得，设，由，可得，，由可得. 【详解】 设椭圆和双曲线的方程分别为，， 所以，可得， 设椭圆的半焦距为，因为， 所以，即， 化简得，即，即， 令，则，取， 因为，，所以，， 所以，故， 则， 时，， 因为， 所以，所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【小问1详解】 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ （2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 【答案】（1）不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关 （2）分布列见解析；数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设：喜爱古典音乐与青年的性别无关， 由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据拒绝零假设， 即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关. 【小问2详解】 抽取的5人中，喜爱古典音乐的男青年有人，喜爱古典音乐的女青年有人， 故的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形ABCD为等腰梯形， （1）求证：平面 （2）若二面角的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面几何性质可得，结合余弦定理与勾股定理可证，结合，可证结论. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【小问1详解】 过作，由题意可得是平行四边形，所以， 又因为，所以， 又因为四边形ABCD为等腰梯形，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由勾股定理逆定理得， 平面，平面，， 平面，平面， 平面 【小问2详解】 以A为坐标原点，过A作AE垂直于AD，以AE，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立坐标系， 则，，， 设，则， ，，， 设面PBC的一个法向量为 令，则，，于是 设平面PCD的一个法向量为，则 令，则，，所以平面PCD的一个法向量为， 于是，解得. 所以，, 所以. 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. （1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； （2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）适宜作为与之间回归方程模型， （2）答案见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【小问1详解】 根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. 【小问2详解】 由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）直线过定点,证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程； （2）利用韦达定理运算求解即可； （3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解. 【小问1详解】 因为点和点在双曲线上， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为， 设， 联立，整理得， 若，即，直线的斜率为，与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以， 所以 ， ， 因为,所以 ，所以 【小问3详解】 （i）当轴时，且， 所以，则， 联立，整理得， 即，解得或， 当时，，所以， 由于对称性，，此时直线过定点； （ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为， 因为，所以联立， 即，所以， 解得或， 当时，， 所以, 同理，将上述过程中替换为可得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点， 综上直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $