6.4.3.2 正弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3.2 正弦定理【导学】【解析】 【导学目标】 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题 ； 2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律； 3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美. 【导学重点】正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用； 【导学难点】正弦定理的探索及证明. 【知识要点】 正弦定理 正弦定理的描述 ①文字语言： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言： 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及， 则有 正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为， ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 正弦定理应用解三角形 (1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角； (2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【典型例题】 题型一 正弦定理的理解 【例1-1】判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形 (　　) (2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立 (　　) (3)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积 (　　) (4)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 (　　) 【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√. 【例1-2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列等式正确的是（ ） A. a:b=A:B B. a:b=sinA:sinB C. a:b=sinB:sinA D. asinA=bsinB 【答案】B 【例1-3】在△ABC中，若内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列有关正弦定理及其变形错误的是（ ） A. a:b:c=sinA:sinB:sinC B. a=b⇔sin2A=sin2B C.  D. a=b⇔sinA=sinB 【答案】B 【例1-4】在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(　　) A.　　 B.　　　 　C.　　　　 D．3 【答案】B 题型二 已知两角及一边解三角形 【例2-1】在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B. 【答案】 【例2-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c, 已知A＝105°，C＝45°，c＝，则b= (　　) A．1　　　 B. C. D．2 【答案】A 【例2-3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【例2-4】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【例2-5】在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】C 题型三 已知两边及一边的对角解三角形 【例3-1】在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，求b，B，C. 【答案】 【例3-2】△ABC中，B＝45°，b＝，a＝1，则角A＝________. 【答案】300 【例3-3】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　) A. B．－ C．± D. 【答案】A 题型四 正弦定理在边角互化中的应用 【例4-1】在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________. 【答案】 【例4-2】锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且A>B.下列三个不等式中成立的是________． ①sin A>sin B；②cos A<cos B；③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 【答案】①②③. 【例4-3】在中，若，则角的值为（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 题型五 利用正弦定理判断三角形的形状 【例5-1】在△ABC中，＝＝，试判断△ABC的形状； 【答案】等边三角形 【例5-2】在△ABC中，＝，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【例5-3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【例5-4】在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，试判断△ABC的形状． 【答案】等腰三角形 题型六 与三角形面积有关问题 【例6-1】在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．　 【答案】 【例6-2】在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，求△ABC的面积． 【答案】 ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3.2 正弦定理【导学】 【导学目标】 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题 ； 2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律； 3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美. 【导学重点】正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用； 【导学难点】正弦定理的探索及证明. 【知识要点】 正弦定理 正弦定理的描述 ①文字语言： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言： 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及， 则有 正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为， ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 正弦定理应用解三角形 (1) 已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角； (2)已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 三角形常用面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【典型例题】 题型一 正弦定理的理解 【例1-1】判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形 (　　) (2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立 (　　) (3)公式S＝absin C适合求任意三角形的面积 (　　) (4)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 (　　) 【例1-2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列等式正确的是（ ） A. a:b=A:B B. a:b=sinA:sinB C. a:b=sinB:sinA D. asinA=bsinB 【例1-3】在△ABC中，若内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列有关正弦定理及其变形错误的是（ ） A. a:b:c=sinA:sinB:sinC B. a=b⇔sin2A=sin2B C.  D. a=b⇔sinA=sinB 【例1-4】在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝(　　) A.　　 B.　　　 　C.　　　　 D．3 题型二 已知两角及一边解三角形 【例2-1】在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B. 【例2-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c, 已知A＝105°，C＝45°，c＝，则b (　　) A．1　　　 B. C. D．2 【例2-3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【例2-4】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（　　） A． B． C． D．2 【例2-5】在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 题型三 已知两边及一边的对角解三角形 【例3-1】在△ABC中，A＝45°，c＝，a＝2，求b，B，C. 【例3-2】△ABC中，B＝45°，b＝，a＝1，则角A＝________. 【例3-3】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　) A. B．－ C．± D. 题型四 正弦定理在边角互化中的应用 【例4-1】在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________. 【例4-2】锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且A>B.下列三个不等式中成立的是________． ①sin A>sin B；②cos A<cos B；③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 【例4-3】在中，若，则角的值为（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 题型五 利用正弦定理判断三角形的形状 【例5-1】在△ABC中，＝＝，试判断△ABC的形状； 【例5-2】在△ABC中，＝，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例5-3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例5-4】在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，试判断△ABC的形状． 题型六 与三角形面积有关问题 【例6-1】在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．　 【例6-2】在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，求△ABC的面积． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $