微专题：对平面向量的理解之“向量的投影及其应用”讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

【原卷版】 【对平面向量的理解】之“向量的投影及其应用” 《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确了“向量的投影是从高维空间到低维子空间的一种线性变换”,将平面向量投影的结果由“数量”变为“向量”,并引入了“向量投影”的概念;沪教版2020数学必修第二册新增了“8.2.1 向量的投影”,就:向量投影(简称为投影)与数量投影进行了详解与比较; 1、向量投影的定义 如图:如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和, 那么向量叫做向量在直线上的向量投影(简称为:投影); 理解:一个向量在一个非零向量的方向的投影,就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影,因为这些直线都是平行的,所以,向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的; 特殊地,如图,若两个向量共起点; 即:,过点作直线的垂线,垂足为, 则就是向量在向量上的向量投影; 2、向量投影的计算公式 以一点为起点,; 作:,把射线、的夹角称为向量、向量的夹角,记作:; ; ; ,又称向量垂直,记作; (1) (2) (3) 当为锐角(如图(1))时,与方向相同, ,所以; 当为直角(如图(2))时,,所以; 当为钝角(如图(3))时,与方向相反, 所以 所以; 当时,,所以; 当时,,所以; 综上可知,对于任意的,都有; 3、数量投影的定义与求法 据图:如果令为向量的单位向量,那么 向量在向量方向上的向量投影为:; 其中,实数(*)称为向量在向量方向上的数量投影; 理解:(1)当时;实数(*)大于0; (2)当时;实数(*)等于0; (3)当时;实数(*)小于0; 特别的:零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量;而相应的数量投影的绝对值是该投影的模,因此,这个数量投影等于0; 题型1 求向量的向量投影 例1、已知向量|,为单位向量,当它们的夹角为时,在方向上的向量投影为( ) A. B. C. D. 【提示】; 【答案】; 【解析】; 【说明】; 例2、若向量,满足,为单位向量,且与夹角为 =,则在上的向量投影为 题型2 求向量的数量投影 例3、已知||=2,||=4,向量与向量的夹角为120 ,则向量在向量方向上的数量投影等于( ) A.-3 B.-2 C.2 D.-1 例4、已知向量,满足,,则在上的数量投影为( ) A. B. C. D.2 题型3 向量投影与数量投影的辨析 例5、已知向量与的夹角为,且,,则在方向上的向量投影与数量投影分别是( ) A. , B. , C. , D. , 例6、在中,已知,求: (1); (2)在方向上的向量投影; (3)在方向上的数量投影; 题型4 向量投影与向量运算的交汇 例7、已知是非零向量,,且; (1)求在方向上的向量投影; (2)求. 例8、已知平面向量与满足:在方向上的向量投影为在方向上的向量投影为,且,则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型5 向量的数量投影与取值范围的交汇 例9、已知菱形ABCD的边长为1,设,若恒成立,则向量在方向上数量投影的取值范围为_. 例10、若平面向量、满足,则在方向上数量投影的长度的最小值是( ) A. B. C. D. 题型6 根据向量投影与数量投影求参数 例11、已知中,,且为的外心.若在上的向量投影为, 且,求的取值范围; 例12、对任意平面向量,将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到 向量,叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点, 已知平面内两点; (1)若将点绕点沿逆时针方向旋转后得到点,求点的坐标; (2)已知向量,向量是向量在向量方向上的向量投影,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 题型7向量投影与数量投影与其他知识的交汇 例13、已知非零向量与满足,且,则向量在向量上的向量投影为( ) A. B. C. D. 例14、如图,设是平面内相交成角的两条数轴,分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量,则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标; (1)若,,求:在上的向量投影斜坐标. (2)若,,,求的最小值. 求向量投影时,根据定义由向量投影与投影所在的向量共线,问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积;特别注意:向量投影与数量投影的本质区别与联系; 【特别注意】向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积,注意在方向上的向量投影为,其实质为投影数量与单位向量的数乘,在考查中我们常常搞混两者,解题是要注意谁在谁上的投影,而不能颠倒顺序. 1.已知为单位向量,,,则在上的投影向量的长度为( ) A. B. C.1 D.2 2.已知向量,则向量在向量上的数量投影为( ) A. B. C.10 D.20 3.已知平面向量,满足,,则在方向上的投影向量的模的最小值为( ) A. B. C. D. 4.已知向量满足,若为在上的投影向量,则向量夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5.已知,,,则向量在向量上的向量投影是 ; 向量在向量上的数量投影是 ; 6.已知向量,,若向量在方向上的投影向量为,则 7.已知,则在上的向量投影为 8.已知向量、的夹角为,,,则在上的数量投影为_ 9.已知向量是单位向量,向量在上的投影向量为,向量在上的投影向量为,则的最小值为_. 10.已知点为的外心,且向量,,若向量在向量上的投影向量为,则的值为_. 11.已知向量满足,且和的夹角为. (1)求; (2)求向量在向量方向上的投影向量的长度. 12.已知单位向量,,夹角为,向量,,且与的夹角为. (1)求及; (2)求在上的投影向量; (3)若与所成的角是锐角,求实数的取值范围. 【解析版】 【对平面向量的理解】之“向量的投影及其应用” 《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确了“向量的投影是从高维空间到低维子空间的一种线性变换”,将平面向量投影的结果由“数量”变为“向量”,并引入了“向量投影”的概念;沪教版2020数学必修第二册新增了“8.2.1 向量的投影”,就:向量投影(简称为投影)与数量投影进行了详解与比较; 1、向量投影的定义 如图:如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和, 那么向量叫做向量在直线上的向量投影(简称为:投影); 理解:一个向量在一个非零向量的方向的投影,就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影,因为这些直线都是平行的,所以,向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的; 特殊地,如图,若两个向量共起点; 即:,过点作直线的垂线,垂足为, 则就是向量在向量上的向量投影; 2、向量投影的计算公式 以一点为起点,; 作:,把射线、的夹角称为向量、向量的夹角,记作:; ; ; ,又称向量垂直,记作; (1) (2) (3) 当为锐角(如图(1))时,与方向相同, ,所以; 当为直角(如图(2))时,,所以; 当为钝角(如图(3))时,与方向相反, 所以 所以; 当时,,所以; 当时,,所以; 综上可知,对于任意的,都有; 3、数量投影的定义与求法 据图:如果令为向量的单位向量,那么 向量在向量方向上的向量投影为:; 其中,实数(*)称为向量在向量方向上的数量投影; 理解:(1)当时;实数(*)大于0; (2)当时;实数(*)等于0; (3)当时;实数(*)小于0; 特别的:零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量;而相应的数量投影的绝对值是该投影的模,因此,这个数量投影等于0; 题型1 求向量的向量投影 例1、已知向量|,为单位向量,当它们的夹角为时,在方向上的向量投影为( ) A. B. C. D. 【提示】注意;题设中“在方向上的向量投影”; 【答案】B; 【解析】由向量,为单位向量,当它们的夹角为, 在方向上的向量投影为,故选B; 【说明】本题考查了向量投影; 例2、若向量,满足,为单位向量,且与夹角为 =,则在上的向量投影为 【提示】注意:求“在上的向量投影”,其中“为单位向量” 【答案】; 【解析】由,即在上的向量投影为; 【说明】本题考查了向量投影; 题型2 求向量的数量投影 例3、已知||=2,||=4,向量与向量的夹角为120 ,则向量在向量方向上的数量投影等于( ) A.-3 B.-2 C.2 D.-1 【提示】注意:题设“向量在向量方向上” 【答案】D; 【解析】向量在向量方向上的数量投影为;故选D; 【说明】本题考查了向量的数量投影; 例4、已知向量,满足,,则在上的数量投影为( ) A. B. C. D.2 【提示】利用投影数量的定义来求解即可; 【答案】B; 【解析】由题向量得在向量上的数量投影的为; 故选:B; 【说明】本题考查了求数量投影的方法; 题型3 向量投影与数量投影的辨析 例5、已知向量与的夹角为,且,,则在方向上的向量投影与数量投影分别是( ) A. , B. , C. , D. , 【提示】理解概念“向量投影”、“数量投影”; 【答案】D; 【解析】由题意,在方向上的向量投影为:, 故在方向上的向量投影为,(或直接套结论) 在方向上的数量投影为. 【说明】本题考查了向量在向量上的“向量投影”、“数量投影”; 例6、在中,已知,求: (1); (2)在方向上的向量投影; (3)在方向上的数量投影; 【提示】(1)由条件可得,进而得到,然后根据向量数量积的定义求解即可; (2)根据向量投影的定义求解即可; (3)根据数量投影的定义求解即可; 【答案】(1);(2);(3); 【解析】(1)因为,,, 所以,即, 所以, 所以. (2)由(1)知,, 所以, 所以在方向上的投影为. (3)由(1)知,, 所以在方向上的数量投影为; 【说明】本题考查了用定义求向量的数量积、求向量投影与数量投影; 题型4 向量投影与向量运算的交汇 例7、已知是非零向量,,且; (1)求在方向上的向量投影; (2)求. 【提示】(1)根据条件得到,再利用向量投影的定义,即可求出结果; (2)利用(1)结果及数量积的运算律,即可求出结果; 【答案】(1);(2); 【解析】(1)因为,所以,又,得到, 又,所以在方向上的向量投影为. (2)由(1), 所以, 得到. 例8、已知平面向量与满足:在方向上的向量投影为在方向上的向量投影为,且,则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【提示】根据向量投影的定义,先由在方向上的向量投影为,可得,再根据在方向上的向量投影为运算求解即可. 【答案】D; 【解析】因为在方向上的向量投影为,且, 可得,即, 又因为在方向上的向量投影为, 可得,即. 故选:D. 题型5 向量的数量投影与取值范围的交汇 例9、已知菱形ABCD的边长为1,设,若恒成立,则向量在方向上数量投影的取值范围为_. 【提示】由,结合二次函数的性质可得,由, 可得,向量在方向上数量投影为,即得; 【答案】; 【解析】由题意, 设,则, , 由二次函数的性质可知,当,取得最小值, 由得,得, 向量在方向上数量投影为, 故向量在方向上数量投影的取值范围为, 故答案为:; 【说明】本题考查了向量的数量投影与向量夹角的计算; 例10、若平面向量、满足,则在方向上数量投影的长度的最小值是( ) A. B. C. D. 【提示】由平面向量数量积的运算性质可得出,利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上数量投影的长度的最小值; 【答案】B; 【解析】因为平面向量、满足, 所以,故, 故在方向上的投影向量为, 故在方向上数量投影的长度为 , 当且仅当时,即当时,等号成立, 故在方向上数量投影的长度的最小值是. 故选:B. 【说明】本题考查平面向量数量积的应用与向量投影、数量投影的定义,基本不等式求和的最小值; 题型6 根据向量投影与数量投影求参数 例11、已知中,,且为的外心.若在上的向量投影为, 且,求的取值范围; 【提示】根据题意B,O,C三点共线.因为为的外心,即有,所以为直角三角形,利用向量得投影结合图形即可得解; 【答案】 【解析】因为, 则,所以,即B,O,C三点共线. 因为为的外心,即有, 所以为直角三角形,因此,为斜边的中点.因为, 所以为锐角. 如图,过点作,垂足为. 因为在上的向量投影为,所以, 所以在上的向量投影为. 又因为,所以. 因为,所以, 故的取值范围为. 【说明】本题考查了根据已知向量投影与数量投影及其相关表示与计算方法,构建等式或不等式求相关待定的参数; 例12、对任意平面向量,将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到 向量,叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点, 已知平面内两点; (1)若将点绕点沿逆时针方向旋转后得到点,求点的坐标; (2)已知向量,向量是向量在向量方向上的向量投影,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【提示】(1)根据题中的概念,可得到,进而得到的坐标, (2)根据向量投影的公式,先得到,根据不等式恒成立,分离参数,可以得到的取值范围; 【答案】(1);(2); 【解析】(1)(1)因为,所以, 所以,依据题设定义得, 所以, 设点的坐标为,则有, 从而,解得, 所以点; (2)因为, 所以, ,即; 即 即,即 又因为,所以, 又因为,当时,, 所以,; 题型7向量投影与数量投影与其他知识的交汇 例13、已知非零向量与满足,且,则向量在向量上的向量投影为( ) A. B. C. D. 【提示】根据给定条件,确定的形状,再利用向量投影的意义求解作答; 【答案】B; 【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量, 由,可得的角平分线与垂直, 所以为等腰三角形,且, 又,得,所以, 又,所以, 所以为等边三角形, 所以向量在向量上的向量投影为:, 故选:B; 【说明】本题整合了向量投影的概念与计算和平面几何性质的交汇; 例14、如图,设是平面内相交成角的两条数轴,分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量,则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标; (1)若,,求:在上的向量投影斜坐标. (2)若,,,求的最小值. 【提示】(1)根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质,结合向量投影的定义进行求解即可; (2)根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质,结合平面向量夹角公式、函数的单调性进行求解即可; 【答案】(1);(2); 【解析】(1)因为,若,, 所以, 又因为,,,所以 , , ∴在上的向量投影为 即在上的向量投影斜坐标为; (2)因为, 所以,,, 则, 又,, ,, , 令,则,, 又,在上严格单调递增, 所以,,即的最小值为; 【说明】解答本题关键是利用平面向量数量积的运算性质,结合分式型函数的单调性是解题的关键; 求向量投影时,根据定义由向量投影与投影所在的向量共线,问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积;特别注意:向量投影与数量投影的本质区别与联系; 【特别注意】向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积,注意在方向上的向量投影为,其实质为投影数量与单位向量的数乘,在考查中我们常常搞混两者,解题是要注意谁在谁上的投影,而不能颠倒顺序. 1.已知为单位向量,,,则在上的投影向量的长度为( ) A. B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】由,可得, 因,代入解得, 于是在上的投影向量的长度为. 故选:A. 2.已知向量,则向量在向量上的数量投影为( ) A. B. C.10 D.20 【答案】B 【解析】由题可知,, 则在上的投影向量的长度为. 故选:B 3.已知平面向量,满足,,则在方向上的投影向量的模的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由,可得, 化简得,,又因为, 所以, 所以, 当且仅当,即时,等号成立, 在方向上的投影向量的模为, 其最小值为. 故选:C 4.已知向量满足,若为在上的投影向量,则向量夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由为在上的投影向量, 则, 所以, 所以. 5.已知,,,则向量在向量上的向量投影是 ; 向量在向量上的数量投影是 ; 【答案】; 【解析】由,所以,, 所以,向量在向量上的向量投影为:; 向量在向量上的数量投影为:; 6.已知向量,,若向量在方向上的投影向量为,则 【答案】3; 【解析】(方法一)由题意,, , 向量在方向上的投影向量为, ,,, ,,. (方法二)由题意,向量在方向上的投影向量为, ,,,,,. 7.已知,则在上的向量投影为 【答案】 【解析】因为,所以 所以在上的向量投影为 8.已知向量、的夹角为,,,则在上的数量投影为_ 【答案】; 【解析】在上的数量投影为. 故答案为:. 9.已知向量是单位向量,向量在上的投影向量为,向量在上的投影向量为,则的最小值为_. 【答案】1 【解析】令,过作的垂线,在上任取一点,则,过作的垂线,在上任取一点,则,则. 故答案为:1 10.已知点为的外心,且向量,,若向量在向量上的投影向量为,则的值为_. 【答案】 【解析】因为, 所以,即, 所以在上, 又因为点为的外心, 所以的外接圆以为圆心,为直径, 所以为直角三角形,且,为中点, 因为向量在向量上的投影向量为, 所以,即, 又,所以 由于为锐角,所以 故答案为: 11.已知向量满足,且和的夹角为. (1)求; (2)求向量在向量方向上的投影向量的长度. 【答案】(1);(2) 【解析】(1),且和的夹角为 = 即 (2),且和的夹角为 ∴ ∴向量在向量方向上的投影向量的长度为 12.已知单位向量,,夹角为,向量,,且与的夹角为. (1)求及; (2)求在上的投影向量; (3)若与所成的角是锐角,求实数的取值范围. 【答案】(1),;(2);(3) 【解析】(1)已知单位向量,夹角为,则, ,, 将上述结果代入可得: ,两边平方可得, 即,解得(舍去). 将代入得,则. . (2)由(1)知,,. 根据向量投影向量公式,在上的投影向量为. (3)已知,, 则,. 因为与所成的角是锐角, 则且与不共线. 解得. 若与共线,则存在实数,使得, 即,可得,解得, 所以且. 综上,实数的取值范围是. 第21页,共25页 学科网(北京)股份有限公司 $