第一章 三角形的证明及其应用题型突破（二十七题型） 2025-2026学年北师大版八年级 数学下册

该初中数学单元复习讲义聚焦北师大版八年级下册“三角形的证明及其应用”，通过27个题型系统构建知识体系，涵盖三角形内外角和、等腰三角形、直角三角形等核心内容，按知识点逻辑分层呈现，清晰梳理重难点及内在联系。 讲义亮点在于题型设计融合跨学科与实际应用，如利用三角形外角解决光学折射问题，培养数学眼光；多结论辨析题（如等腰三角形中角平分线与高线夹角）提升推理思维，分层练习适配不同学生，助力教师实施精准教学，支持自主复习与能力进阶。

第一章三角形的证明及其应用题型突破2025-2026学年北 师大版八年级下册（二十七题型） 题型一：利用三角形内外角和求角 1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　） A．50° B．55° C．45° D．40° 2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　） A．145° B．125° C．65° D．55° 3．已知：如图所示，则∠A等于（　　） A．60° B．70° C．50° D．80° 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 5．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 题型二：三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 2．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（　　） A．20° B．30° C．18° D．15° 3.在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4.如下图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； .其中正确的是 . 5.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数． 题型三：三角形与角平分线综合 2．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 3.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　） A． B．∠D+∠G＝180° C． D． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　． 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝　 °． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点． （1）∠BIC＝　 　°； （2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　 　°； （3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由． 题型四：折叠问题 1.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.如图，把纸片沿折叠，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 5．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .    题型五：三角形中的角度计算 1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．15° D．75° 2.如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 4．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 5．如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点M，如果，则的度数为 ． 题型六：利用三角形的外角解决实际问题、跨学科问题 1.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型七：利用等腰三角形的性质求角度 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 5.如图，在中，，D为中点，，则的度数为 ． 题型八：利用等腰三角形的性质求线段长度 1．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2.一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 3．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 4．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 题型九：等腰三角形中的多结论问题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有(　　) A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4.已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是(　　) A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 题型十：利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数 1．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 4．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（　　） A．4个 B．6个 C．9个 D．10个 5.在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 题型十一：等腰三角形的证明 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 2.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 3.如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 4.如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 5.如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 题型十二：直角三角形两个锐角互余 1．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，已知在中，，于． (1)若，求的度数； (2)若，则 （用的式子表示）． 题型十三：根据已知角度关系判断能否构成直角三角形 1.下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 2．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4.在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型十四：添加条件使三角形全等 1.如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2.如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3.如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 4.如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 5.如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 题型十五：证明直角三角形全等 1.如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 2.如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 3.如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 4.如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 5.如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 题型十六：利用HL及全等的性质证明综合 1.如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 2．如图，已知平分，于E，于F，且．求证： (1)； (2)若，，求的长． 3．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 题型十七：勾股定理 1．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 2．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 3.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 4.现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm．若要钉成一个直角三角形框架，那么所需要最短的木棒长是（　　） A．50cm B．40cm C．30cm D．以上都不对 5.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是 ． 题型十八：勾股定理的逆定理 1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25 2.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3.公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 4.如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 5.一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 题型十九：线段垂直平分线的性质在求线段中的应用 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 2．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长为 ． 3. 如图，在中，点E在的垂直平分线上，且，平分．若，，则____. 4.如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 5.如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 题型二十：线段垂直平分线的性质在求角中的应用 1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° 3.如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4.如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 题型二十一：线段垂直平分线的性质在实际中的应用 1.如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在(　　) A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 2.有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个车站，要求车站到三个居民点的距离相等，车站应建在(　　) A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处 3.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC(　　) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 4.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在(　　) A．∠1的平分线和线段AB的交点处 B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 C．∠2的平分线和线段AB的交点处 D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 题型二十二：线段垂直平分线的性质的综合运用 1.如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD． (1)若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数； (2)若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长． 2.在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F， (1)如图(1)，连接AM、AN，求∠MAN的度数； (2)如图(2)，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC． 3.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． (1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长； (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 题型二十三：线段垂直平分线的作法 1.观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A．   B．   C．   D．   2.如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 4.如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 5.如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 题型二十四：线段垂直平分线的判定与性质的综合 1.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 2.如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 3.如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 4.如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二十五：角平分线的性质的应用 1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　） A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　． 4.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 5.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 题型二十六：角平分线的性质与判定综合 1.如图，，是的中点，平分，求证： (1)是的平分线； (2)； (3)． 2.如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若的面积为，，求的长． 3.如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 4.如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型二十七：角平分线的实际应用 1．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 3.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处 D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 4.如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 5.在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． (1)求证：点E到AC和BD的距离相等； (2)连接ED，求∠CED的度数． 【答案】 第一章三角形的证明及其应用题型突破2025-2026学年北 师大版八年级下册（二十七题型） 题型一：利用三角形内外角和求角 1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　） A．50° B．55° C．45° D．40° 【答案】C． 2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　） A．145° B．125° C．65° D．55° 【答案】D． 3．已知：如图所示，则∠A等于（　　） A．60° B．70° C．50° D．80° 【答案】B． 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 【答案】C． 5．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】C． 题型二：三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 【答案】C． 2．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（　　） A．20° B．30° C．18° D．15° 【答案】A． 3.在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 4.如下图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； .其中正确的是 . 【答案】 5.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数． 【答案】解（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝70°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°； （2）同（1），可得∠ADE＝75°． ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15° 题型三：三角形与角平分线综合 2．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 【答案】C。 3.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　） A． B．∠D+∠G＝180° C． D． 【答案】B． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　． 【答案】120°。 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝　 °． 【答案】42． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点． （1）∠BIC＝　 　°； （2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　 　°； （3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝50°， ∵BI是∠ABC的平分线， ∴∠CBI＝∠ABC， ∵CI是∠ABC的平分线， ∴∠BCI＝∠ACB， ∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣50°）＝65°， 在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°， ∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115． （2）∵∠FBC是△ABC的外角， ∴∠FBC＝∠A+∠ACB， ∵∠MCB是△ABC的外角， ∴∠MCB＝∠A+∠ABC， ∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°． ∵BD是∠FBC的平分线， ∴∠CBD＝∠FBC． ∵CD是∠MCB的平分线， ∴∠BCD＝∠MCB． ∴∠CBD+∠BCD＝（∠FBC+∠MCB）＝×230°＝115°． 在△BCD中， ∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°． 故答案为：65． （3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下： ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE＝∠ABC． ∵∠ACG是△ABC的外角， ∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC． ∵CE是∠ACG的平分线， ∴∠ECG＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC． ∵∠ECG是△BCE的外角， ∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC． ∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠BEC． ∴∠BAC＝2∠BEC． 题型四：折叠问题 1.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，把纸片沿折叠，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 5．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .    【答案】2∠C=∠1+∠2 题型五：三角形中的角度计算 1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．15° D．75° 【答案】D． 2.如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 【答案】C 4．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【答案】/度 5．如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点M，如果，则的度数为 ． 【答案】/88度 题型六：利用三角形的外角解决实际问题、跨学科问题 1.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 2．汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4．图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 5．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 题型七：利用等腰三角形的性质求角度 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 2．如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 【答案】/50度 5.如图，在中，，D为中点，，则的度数为 ． 【答案】 题型八：利用等腰三角形的性质求线段长度 1．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 2.一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 3．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 【答案】 4．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 【答案】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°， ∴∠E＝∠BFP， 又∵∠BFP＝∠AFE， ∴∠E＝∠AFE， ∴AE＝AF＝2， ∴△AEF是等腰三角形． 又∵CE＝7， ∴AB＝AC＝CE﹣AE＝7﹣2＝5， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3． 题型九：等腰三角形中的多结论问题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有(　　) A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 4.已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是(　　) A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A． 题型十：利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数 1．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 2．如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 4．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（　　） A．4个 B．6个 C．9个 D．10个 【答案】C 5.在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 题型十一：等腰三角形的证明 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 【答案】 （1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE． （2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°． 2.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3.如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 4.如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 5.如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型十二：直角三角形两个锐角互余 1．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 5．如图，已知在中，，于． (1)若，求的度数； (2)若，则 （用的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十三：根据已知角度关系判断能否构成直角三角形 1.下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 2．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 3.已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 4.在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 题型十四：添加条件使三角形全等 1.如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4.如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【答案】 5.如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 题型十五：证明直角三角形全等 1.如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 2.如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 3.如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ． 4.如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：、， 在和中， ， 5.如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型十六：利用HL及全等的性质证明综合 1.如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 2．如图，已知平分，于E，于F，且．求证： (1)； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【详解】（1）证明：∵平分，于E，于F， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 则在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， 3．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 4．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型十七：勾股定理 1．若直角三角形的两条边分别为和2，则该三角形第三边的长为（   ） A．1 B． C．5 D．1或 【答案】D 2．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 3.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm．若要钉成一个直角三角形框架，那么所需要最短的木棒长是（　　） A．50cm B．40cm C．30cm D．以上都不对 【答案】C 5.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 6．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是 ． 【答案】/ 题型十八：勾股定理的逆定理 1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25 【答案】C 2.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒． 【答案】 4.如图，在中，∠B=90º，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【详解】解：在中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 5.一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1)(2)北偏西 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 题型十九：线段垂直平分线的性质在求线段中的应用 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 2．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长为 ． 【答案】5 3. 如图，在中，点E在的垂直平分线上，且，平分．若，，则____. 【答案】5 4.如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 【答案】 5.如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 题型二十：线段垂直平分线的性质在求角中的应用 1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 【答案】C 2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° 【答案】B 3.如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 4.如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 5.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 题型二十一：线段垂直平分线的性质在实际中的应用 1.如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在(　　) A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C． 2.有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个车站，要求车站到三个居民点的距离相等，车站应建在(　　) A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处 【答案】B． 3.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC(　　) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 【答案】C． 4.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在(　　) A．∠1的平分线和线段AB的交点处 B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 C．∠2的平分线和线段AB的交点处 D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处 【答案】B． 题型二十二：线段垂直平分线的性质的综合运用 1.如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD． (1)若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数； (2)若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长． 【答案】解：(1)∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°， ∴∠ABC＝(180°﹣40°)÷2＝70°． ∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AD＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． (2)∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AD＝DB，AE＝BE， ∵△BCD的周长为18cm， ∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm． ∵△ABC的周长为30cm， ∴AB＝30﹣(AC+BC)＝30﹣18＝12cm， ∴BE＝12÷2＝6cm． 2.在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F， (1)如图(1)，连接AM、AN，求∠MAN的度数； (2)如图(2)，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC． 【答案】(1)解： ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， 由(1)证得BM＝AM，CN＝AN， ∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM， ∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°， ∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°； (2)证明： ∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F， ∴BM＝AM，CN＝AN， ∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN＝MN， ∴BM＝MN＝NC． 3.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． (1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长； (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【答案】解：(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB＝15cm； (2)∵∠MFN＝70°， ∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°， ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°， ∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°﹣2(∠A+∠B)＝180°﹣2×70°＝40°． 题型二十三：线段垂直平分线的作法 1.观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 2.如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） B． B． C． D． 【答案】C 3．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 4.如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 5.如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型二十四：线段垂直平分线的判定与性质的综合 1.如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 2.如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 3.如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 4.如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 题型二十五：角平分线的性质的应用 1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　） A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2 【答案】A。 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　． 【答案】4 4.如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【答案】6 5.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 题型二十六：角平分线的性质与判定综合 1.如图，，是的中点，平分，求证： (1)是的平分线； (2)； (3)． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：∵平分，平分； ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即； （3）证明：， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 2.如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． (1)求证：平分． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】（1）证明：是的中点， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：， ， ， ，且， ， 由（1）得， ， 解得， 的长为． 3.如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4.如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十七：角平分线的实际应用 1．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 【答案】D 2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D。 3.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处 D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 【答案】C。 4.如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【答案】 解：如图，点P为所作． 5.在△ABC中，∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°． (1)求证：点E到AC和BD的距离相等； (2)连接ED，求∠CED的度数． 【答案】解：(1)延长CB至点M． ∵∠ABM＝180°﹣110°＝70°，∠ABM＝∠ABD， ∴点E到CM和BD得距离相等， 又∵CE平分平分∠ACB， ∴E点到AC和BC的距离相等， ∴点E到AC和BD的距离相等； (2)连接ED． ∵点E到AC和BD的距离相等， ∴∠EDB＝∠EDA设∠EDB＝∠EDA＝α，∠ACE＝∠BCE＝β， 又∵在△BDC中，2α＝2β+40°， ∴α﹣β＝20°， 在△EDC中，α＝β+∠DEC 则∠CED＝α﹣β＝20°． 学科网（北京）股份有限公司 $