河北张家口市第一中学2025-2026学年高三上学期数学收官考试试卷

张家口市第一中学2025-2026学年高三第一学期（数学学科） 课本核心知识、核心原题“反扫”收官考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.己知全集U=R,集合A={x2>4,B={x|logx≤0}，则(Cu)∩(CuB)=() A.☑B.{x|x<1或x≥2}C.{x1≤x<2D.{x1<x≤2或x≤0) 2若0是第象限角，且c心号-m号=-m0,剥号为《） 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D.是第一或第二象限角 3.已知函数f(x)=x3+x-1,g(x)=2+x-1,h(x)=log2x+x-1零点分别为a,b,c,则a,b, c的大小顺序为() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 4.如图，直线1和圆P,当1从1。开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过90°） 时，它扫过的圆内阴影部分的面积$是时间t的函数，这个函数的图象大致是() D 5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一 部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点乃上，片门位于另一个焦 点F,上.由椭圆的一个焦点耳发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F,.已知 B上R,F4=},R=4.若透明窗DB所在的直线与裁口BAC所在的椭圆交于一点P, 且∠FPE=60°，则△PFF,的面积为() 第1页， A.2 B.2√2 C.53 D.3 3 6.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD-AB,CD内灌进一些水，固定容器一边BC于地面 上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是() A D A A G D G ① ③ A. 水面EFGH所在四边形的面积为定值 B.随着容器倾斜度的不同，AC,始终与水面所在平面平行 C.没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形 D.当容器倾斜如图③所示时，BE·BF为定值 7.如图，己知直线∥，A是4,12之间的一定点，并且点A到，1的距离分别为h,h,B是 直线I2上一动点，作AC⊥AB,且使AC与直线l交于点C.设∠ABD=.△ABC面积S关于角C 的函数解析式为S(),则() A.S(a)= 2hh_(oza< E C sin2a 2 B.S)oa sin2a 2 h C.S(a)=hh,tana 0<a< hh A 21 D.S(a)= 0<< 2tana 8.已知函数f(x)=1+x x,对任意的，X≠士1且为1≠x2,给 D B 出下列说法： ①若x1+x2=0,则f(x1)-f（x2)=0:②若x1x2=1,则f(x)+f(x2)=0; 共6页 ®若1<x<x,则fx,)<fx)<0:④若（分）-f().且0<x<x<1.则gx) 8+X2), tg(x2)=g(1+x8, 其中说法正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知∈ Be0.cosz=3cose-a , 2 则() A.tana=- B.sm(p-a四-725c.+B= 10 D.cosacosp= 10 10.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率 为p(0<p<1),且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有() A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是p2(3-2p) B.若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是5p(1-p) C.若p=0.6,甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大 D.若p=0.6,采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3 11.设抛物线E:y2=2px(p>O)的焦点为F,从点F发出的光线经过E上的点（不同于E的顶点） 反射，可证明反射光线平行于E的对称轴，这种特点称为抛物线的光学性质.过E上的动点A向 准线I作垂线，垂足为B,过点A的直线m与E相切，设m交I于点C,连接CF,FB,FB交AC 于点D,则以下结论正确的是() A.平分∠FAB B.CF⊥AF C.△FBC与△FBA的面积之比为定值D.点D在定直线上 12.在工程技术等应用问题中，经常会遇到由指数函数y=e*和y=e(e=2.71828)构成的函数， 其中函数fw)=e-e, 2'8)=e十e(其中©=271828…是自然对数的底数)就是其中的亚 2 数学上分别称为双曲正弦函数和双曲余弦函数.下列关系式正确的有() A.[f(x)]-[g(x)]=-1 B.g(2x)=[g(x)]+[f(x)] 第2页， C.f(x)8(-x)=f(-x)8(x) D.g(0)<f(2)<f(3)<g(3) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.观察以下等式： sin225r+c0s25°+sin25°cos5°=4， 3 sn230+c0s260°+sin30°c0s60°=3。 41 sin240°+c0s270+sin40°cos70°=4， 3 分析上述各式的共同特点，写出一个反映一般规律的恒等式是 14.如果函数y=f(x)满足条件：对于定义域内的任意两个xx2(x1≠x2),都有 f+)<f)+f)成立，那么称函数f为G函数下列函数：①f)=r+b: 2 2 ②f(x)=x+ar+b;③fw)=x;④f()=2.其中是“G函数”的是一（写出所有符合条 件的序号)· 示+方=1如>b~0与双商线号芳1的离心率分别为，一，双酯线的新近拔的斜 15.设椭圆+y2 案的绝对值小子，则%+的取值范围是 16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行 上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹 猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”).现给 出冰雹猜想的递推关系如下：己知数列{a}满足：a=m(m为正整数)，a+1= ,当a,为偶数时 3a+1,当a,为奇数时 当m=17时，使得a=1需要步雹程；若，=1，则m所有可能的取值集合M为。 四、解答题：本题共6小题，共0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(10分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且c(acosB-bsi4)=a2-b2. (1)求A: (2)若=2，求△ABC面积的最大值. 共6页 18.(12分)如图，正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，且边长都是1，M,N,G分别为线段 4C,BF,AB上的动点，且1-Y元，2∈(O1),MG1平面ABF. AC FB D B E F (1)证明：AF/平面MNG; (2)当三棱锥A-BMN体积最大时，求二面角A-MN-B的余弦值. 19.(12分)如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2…，7的球槽内. ①②③④⑤⑥⑦ (1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率； (2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次 游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为Y元，其中Y=20-5 (i)求X的分布列： (ⅱ)很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 20.(12分)己知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2S.+2(n∈N (1)求数列{a}的通项公式： 第3页， (2)在a.与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列. )求数列}的通项公式及之之； (ⅱ)在数列{dn}中是否存在3项dm,d,d,(其中，k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求 出这样的3项：若不存在，请说明理由. 21.(12分)已知双曲线-二=1. 416 (1)过点W(1,1)的直线与双曲线交于S,T两点，点N能否是线段ST的中点，为什么？ (2)直线1：y=c+(k≠±2)与双曲线有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y 轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线 22.(12分)己知函数f(x)=(x+1)e. (1)求()的极值，并画出函数f()的大致图象： (2)求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数： ③)若e-e[b+1+血(+]≥0恒成立，求实数b的取值范围 共6页 张家口市第一中学2025-2026学年第一学期（数学学科收官考试) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D D D B D BD AC 题号 11 12 答案 ABD ABD 13.sina+cos(+30)+sinacos(a+30)sin'(-30)+cos'a+sin(a-30)cosa3 4 14.②④ 4v5 15 16.12{2,3,16,20,21,128} 17.【详解】(1)因为c(acosB-bsinA)=a2-b2,由余弦定理得c =a-b2 2ac 整理得sinA= b2+c2-a2 =cos4, 2bc 因为A∈(0，)，所以sinA>0,所以cosA>0,则tanA=1,所以A= 4 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,即4=b2+c2-√bc≥(2-V2)bc, 则bcs4 2-2 =4+2W2,当且仅当b=c=√4+2时，等号成立， 所以三角形8C的面积最大值为4+2)x-5+1. 18.【详解】(1)证明：，面ABCD L面ABEF,且BC⊥AB,面ABCD∩面ABEF=AB,BCC面 ABCD,BCL面ABEF,又：MG⊥面ABEr,MG/BC,AG-M AB AC 又：0折4sw, 又.'AFa面NG,GNC面NG,∴.AF∥面MNG. (2)解：依题意得MG=AG=2,GN=BG=1-, :”m-e-号6NG-名20-刘=款-+刘， 6 ∴.当入=。时，三棱锥A-BMN体积最大，即M,N,G为线段中点. 2 第4页， 以B为坐标原点，分别以BA,BE,BC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐 标系B-yz, D 则40ao,@ao,M店时0所以丽-（-（兮 设面AN的法向量为m=(x1,y1,z), m.AM=-+名=0 所以 22 ,取=1，得m=(1,1,1). m.瓜=4-=0 22 设平面BMN的法向量为n=(x2,y2,z2), 因为BM 3w-(2 元.BM=+2=0 22 取4=1，得元=(11山).所以os(m,风 2-n1 所以 .Mm=业-三=0 网网3 22 又二面角A-MN-B为钝二面角，所以二面角A-MN-B的余弦值为- 3 19.【详解】(1)根据题意可知要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右 5次.所以小球落入6号楷的概率为P=C××) 3 2(2 32 (2)(i)由题意得X的所有取值为1,2,3,4,5,6,7，则 P(X=1)=P(X= 7 共6页 P0x-》PK--cax-cG 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 6 个 1 3 15 5 15 3 1 P 64 32 64 16 64 32 64 (i)因为小球掉入X号球槽得到的奖金为金为Y元，其中Y=|20-5,所以Y有所有取值为0， 5,10,15,则 Pr-0-PX到Gm-列=mx=+PX- 32 Pg=10=PX=2+x-0GPW-1)=Px=+X-) 所以B0=0x5+5×15+10×3+15x1-75 1632163216 因为瓷8，所以小明同学能盈利 20.【详解】(1)(1)方法一：当n≥2时，4=2S-1+1, ..a-a =28,-281=2a,a=3a, .{a}为等比数列，.等比数列{an}的公比为3，当n=1时，4=2S1+1=2a+1,.3a=2a+2, 解得：4=2，.an=2×3(n∈N). 方法二：设{a}公比为q,∵{a}为等比数列 a=49=2a+2 (a=49=2a1+)+2解得g=0或3 q≠0，q=3,4=2,4。=2×3m (2)(2)(1)d=81-a=2x3-2x34x3 n+2-1 n+1 n+1 a，上=k+1×32-)-gx飞+1 d.2 29 第5页， 9 9”9H 两式相减得 9211 ,1n+1 9”9+1 11 92 8n+17 9 方法二： a,立=k+1x32-)=k+ x9"-t d42 2 设7=4上=2 3 9-1+ 90 台d2 ×9-2++x9++1 2 2 2 2 3 97=x9”+X91+x92+…+ n+1 2 2 两式相减得8江=9+ x91+×9++ 1x9_n+lxg 2 09++9+9-a99ng9n） 17x9n17 .T= 12816128 (ⅱ)假设存在满足题意的3项， ad,4成等比数列，d=d4,即432323三43 k+1)2+1p+1(+10(p+1) 4.3m*p-24.3m+p-2 mk,p成等差数列，.2k=m+p, k+1)20m+10(p+1) ∴.(k+1)2=(0+1)(p+1)=p+m+p+1=mp+2k+1 4 即(-p)2=0,解得：m=P,则m=p=k,与题设矛盾。 假设错误，即不存在满足题意的3项. 21.【详解】(1)解：点N不能是线段ST的中点，理由如下： 共6页 设S(x,4),T(x2,2),线段ST的中点为Q(xo,y), 显然，直线ST的斜率存在，设直线ST的方程为y-1=n(x-1),即y=x-n+1. 因为双曲线的渐近线的斜率为士2，所以n≠±2. y=nx-n+1 联立方程组-岁-1得(4r)r+21-1r-0-)-16=0①， .416 所以x+X2= .则=9令用-1，解得n4 4-n2 4-z2 当n=4时，方程①变为12x2-24x+25=0,因为△<0， 所以方程①没有实数根， 所以不能作一条直线与双曲线交于s,T两点，使点N是线段ST的中点. x (2)解：联立方程组 4161得(4-k2)x2-2x-(㎡2+16)0， y=x+m 因为k≠±2，且M是双曲线与直线I唯一的公共点， 所以△=(-2km2+4(4-k2)(2+16)=0,得m2=4(k2-4), 所以点M的坐标为 其中a≠0. 因为过点M且与直线I直的直线为y++)， 令y=0,得x-20,令=0，得y=-20 所以F-40_40g4-10160-104v. m2m24 即P的轨迹方程为y 100251,其中y≠0， P的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点). 22.【详解】(1)由题意得'(x)=(x+2)e,由f'(x)>0,得x>-2;由f'(x)<0,得x< 所以函数f(x)在(-o,-2)上单调递减，f(x)在（一2，+∞）上单调递增， 故f(y)在x=-2处取得极小值-e2,无极大值. 因为x<-1时，f(x)<0,f(x)m=-e2，f(-1)=0,f(0)=1, 且x→-”，∫(x)→0，x→+∞，f(x)→+o,所以f(x)的大致图象如下： (2)方程f(x)=a解的个数即为函数f(x)的图象与直线y=a的交点个数. 由(1)中函数图象可得， 当a<- e三时，方程f(x)=a的解个数为0个： 当a=吉或a20时，方程f=a的解个致为1个 1 当。<a<0时，方程∫)=a的解个数为2个 (3)由e-e[b+1+ln(x+1)]≥0，可得e*≥e[b+1+h(x+1], 即e-b≥b+1+n(x+1),进一步变形为e-b+x-b≥x+1+n(x+)=(xw+lnx+), 令8(t)=e'+t,则g(x-b)28(n(x+1), 因为g(t)在R上单调递增，所以x-b≥n(x+1)在(-1，+o)上恒成立， 即b≤x-h(x+1)在(-1，+o)上恒成立.令h(x)=x-n(x+1),x∈(-1，+o), 则)11言令=0，得=0 当-1<x<0时，h'(x)<0,h(x)在(-1,0)上单调递减， 当x>0时，H(x)>0,h(x)在(0，+o)单调递增， -2, 所以h(x)an=h(0)=0-hl=0，故b≤0， 所以实数b的取值范围是（仁0,0] 第6页，共6页