精品解析：浙江杭州市2025-2026学年第二学期高一6月教学质量检测数学试题

2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上. 3．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区内.答案写在试题卷上一律无效. 4．考试结束，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用齐次式化简原式并代入即可求解. 【详解】， 分子分母同时除以得. 3. 在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 4. 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为， 因此新平均数 . 原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和. 添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差. 由于，因此. 5. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 又因为，所以， 所以，所以A、C无法判断， 对于B、D，， 所以，即. 7. 若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由关系两边平方可得，再结合数量积性质求，，，根据向量的夹角公式求结论. 【详解】， 由，可得，两边取平方， 所以，解得，即， 又由，可得， 则，， 所以 ， 又， ， 设向量与的夹角为，， 则， 所以. 8. 已知，点，和分别在函数，和的图象上，平行于轴，，且，则点的横坐标约为（ ） （参考数据：，） A. 8.8 B. 7.8 C. 6.8 D. 5.8 【答案】C 【解析】 【分析】设出点坐标，根据题意得到的坐标根据题意列出方程求出即可. 【详解】  已知轴，，故，即轴. 设点的横坐标为，则，. 由得，化简得 ，两边取常用对数，①. 又，与纵坐标相同，故的横坐标为，即. 由得，所以，两边取常用对数整理得，②. 联立①与②， ​. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 在区间上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. ， D. 函数在区间上有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,结合正弦函数图象特征确定周期，再用公式求解；对于B选项，将已知点代入函数表达式，结合的条件求解，得到的解析式，然后代入求值；对于C选项，先求的对称轴方程，再判断是否为对称轴；对于D选项，令，求解在区间上的解的个数. 【详解】由图象可知，函数最大值为，且，故, 最高点到上升零点的距离为，所以, 由得，A正确； 将，最高点坐标代入：, 结合，得，因此函数为, ，B正确； 说明函数对称轴为, 的对称轴满足，显然不是对称轴，C错误； 的零点即，解得：, 要求，即，得，共个零点，D正确. 11. 在三棱锥中，平面，平面平面，，则（ ）） A. 直线与所成角的最大值为 B. 若，，则 C. 若，，则二面角的正切值为 D. 若的面积为，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】若 ，结合已证的 ，则  平面 ，与  平面  矛盾，可判断A；由已知分别求出  和 ，在Rt 中求 可判断B；过  作  和 ，证明  为二面角的平面角，在直角三角形中计算正切值可判断C；直线与平面所成角为 ，其正切为 ，由面积条件结合均值不等式求  的最小值，可得正切最大值即可判断D． 【详解】如图，作，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 又因平面，所以， 对于A，假若直线与所成角的最大值为，即存在，因平面， 则平面，这与题设平面矛盾，故A错误； 对于B，因为平面，易得，若，，则， 因为，所以，又因平面，可得， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，， ，，所以，所以， 作于，作，交延长线于点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，则平面， 又因平面，所以，是二面角的平面角， 因为，，所以，易得，即，解得， 在中，，所以C正确； 对于D，因平面，则直线与平面所成角为，， 又因三角形面积为 4，即 ，故， 因，故，所以正切最大值，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则的最大值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示，和辅助角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意可得 ， 当，取最大值5 ， 所以的最大值为5. 13. 设随机事件，相互独立，且，，则__________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式结合随机事件的加法公式即可求解. 【详解】由题意得， 则. 14. 用表示数集 中最大的数．若是函数的零点，且，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】因为是函数零点，所以代入二次函数表达式得到的第一个关系式，结合已知的，将三个变量转化为两个变量的关系, 设，将问题转化为求的最小值，根据变量间的关系建立关于的不等式，利用均值不等式求解. 【详解】因为是函数的零点，代入得：  ， 又，三个数和为、乘积为正，说明三个数必为一正两负， 因此最大数就是唯一的正数，设，则，另外两个数均为负数. 设两个负数为（），则由得：， 代入得：  ， 由基本不等式，代入得：  ， 整理得，即， 当时，等号成立， 此时三个数为，满足，，符合条件. 因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示． （1）估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）； （2）采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率． 【答案】（1）62.9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. （2）根据分层随机抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 设第25百分位数为，则，解得， 用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9． 【小问2详解】 按照分层随机抽样，分数位于内有3人，记为，，， 分数位于内有2人，记为，， 则样本空间，共10个样本点， 记两人分数均小于60为事件，则，有3个样本点， 所以． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）设，，且为的平分线，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件化角为边可得，再由余弦定理求结论； （2）由条件结合角平分线性质可得，再结合余弦定理求， 方法一：根据关系结合三角形面积公式求结论. 方法二：证明为直角三角形，解可得结论. 【小问1详解】 由和正弦定理得，即， 由余弦定理，可得． 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由角平分线性质得，所以， 由余弦定理得，解得，， 方法一：由可得， ， 解得． 方法二：因为， 所以，故为直角三角形， 所以为直角三角形，由可得， 所以. 17. 已知函数． （1）设， （i）求的值； （ii）解不等式； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）（i）0；（ii）或； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由解析式即可求解，（ii）结合对数函数单调性即可求解； （2）由对数的运算性质，结合分离参数法得到，再令，结合基本不等式求得范围即可求解. 【小问1详解】 当时， （i），所以； （ii）由题知． 由对数函数的单调性可得： 化简得：，解得或； 【小问2详解】 由， 设，使得且， 即， 所以， 设，所以， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故的取值范围是． 18. 如图，在正三棱台中，，． （1）求证：； （2）求棱台的体积； （3）若棱台内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此正方体棱长的取值范围． 【答案】（1）延长，，交于点， 因为，，所以 所以三棱锥是边长为4的三棱锥， 设下底面的中心分为，中点为，连，， 是正三角形，为中点，故， 是正三角形，为中点，故， 又，且平面，根据线面垂直判定定理，得平面， 因为平面，所以． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接该点与、与正三棱台上下底面中心连线，利用正三角形三线合一性质证明垂直于包含的平面，根据线面垂直的性质即可证明线线垂直； （2）先计算正三棱台上下底面的面积，结合已知侧棱长求出台体的高，再代入棱台体积公式计算体积； （3）正方体能任意转动等价于正方体的外接球完全在棱台内部，先求棱台的内切球半径，再根据正方体外接球直径与棱长的关系，即可得到正方体棱长的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，所以棱台的高， 所以正三棱台的体积为 ． 【小问3详解】 正方体在棱台内能任意转动，问题等价于正方体的外接球能放置在棱台内． 由于正三棱锥的表面积，体积． 所以三棱锥的内切球半径． 又因为棱台的高，而三棱锥的内切球的直径恰为， 因此半径为的三棱锥的内切球，恰好是棱台内切球， 即正方体棱长能取到的最大值为． 所以正方体棱长取值范围为． 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 【答案】（1）在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. （2）（i）， 又定义域为，关于对称， 故曲线关于点对称； （ii）由结合（1）易知在，，上单调递减， 函数有三个零点，则，，， 由，可得， 而，， 所以， 由，则， 则， 又，在上单调递减， 故． 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）（i）结合函数的对称性证明即可. （ii）根据零点存在定理判断，，范围，结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上. 3．回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题区内.答案写在试题卷上一律无效. 4．考试结束，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点，和分别在函数，和的图象上，平行于轴，，且，则点的横坐标约为（ ） （参考数据：，） A. 8.8 B. 7.8 C. 6.8 D. 5.8 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 在区间上单调递减 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. ， D. 函数在区间上有3个零点 11. 在三棱锥中，平面，平面平面，，则（ ）） A. 直线与所成角的最大值为 B. 若，，则 C. 若，，则二面角的正切值为 D. 若的面积为，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则的最大值为__________． 13. 设随机事件，相互独立，且，，则__________． 14. 用表示数集 中最大的数．若是函数的零点，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示． （1）估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）； （2）采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）设，，且为的平分线，求． 17. 已知函数． （1）设， （i）求的值； （ii）解不等式； （2）若，，求的取值范围． 18. 如图，在正三棱台中，，． （1）求证：； （2）求棱台的体积； （3）若棱台内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此正方体棱长的取值范围． 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $