5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时）题型专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时） （培优提高） 题型专项训练 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第二册 题型一、利用导数求最值的方法处理函数的切线问题 题型二、导函数与原函数的奇偶周期性 题型三、利用导函数构造原函数 题型四、利用导数研究恒成立（能成立）问题 题型五、极值点偏移问题 题型六、导数的切线放缩问题 题型七、导数的同构问题 题型八、导数中的隐零点问题 题型一、利用导数求最值的方法处理函数的切线问题 函数切线问题,关键点在于将问题转化为方程的解的问题,“存在”即方程有解,“不存在”即方程无解,也可构造函数,转化为函数的零点与最值问题. 【切线的条数问题】1．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【切线方程的存在性问题】1．若曲线不存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______．   2．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为___________. 【公切线问题】1．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______ 题型二、导函数与原函数的奇偶周期性 【1】若原函数为奇函数,其导函数为偶函数;原函数为偶函数,其导函数为奇函数. 【2】若导函数为偶函数,则原函数为（奇函数+常数）型函数;若导函数为奇函数,则原函数为偶函数. 【3】若原函数为周期为的周期函数,其导函数也为周期为的周期函数. 【4】若原函数关于对称,其导函数关于点对称. 【5】若原函数关于点对称,其导函数关于对称. 1．（多选）已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（    ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 2．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 3．已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则______. 题型三、利用导函数构造原函数 【利用函数求导法则构造函数】模型1:对于不等式（或）构造函数 模型2:对于不等式（或）构造函数 模型3:对于不等式（或）构造函数 模型4:对于不等式（或）构造函数 模型5:对于不等式（或）构造函数 1．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数的导函数都存在，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在R上的函数为其导函数，满足①，②当时，，若不等式有实数解，则其解集为（    ） A． B． C． D． 【构造之幂函数模型】模型6:对于不等式（或）构造函数 模型7:对于不等式（或）构造函数 模型8:对于不等式（或）构造函数 模型9:对于不等式（或）构造函数 模型10:对于不等式（或）构造函数 模型11:对于不等式（或）构造函数 1．设函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的减函数，其导数满足，则下列结论中正确的是（    ） A．当且仅当时， B．当且仅当时， C．恒成立 D．恒成立 4．已知函数是偶函数，且当时满足，则 A． B． C． D． 【构造之指数函数模型】模型12:对于不等式（或）构造函数 模型13:对于不等式（或）构造函数 模型14:对于不等式（或）构造函数 模型15:对于不等式（或）构造函数 模型16:对于不等式（或）构造函数 模型17:对于不等式（或）构造函数 1．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且， 则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数的导函数为，对任意，都有，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四、利用导数研究恒成立（能成立）问题 【参变分离】（1）涉及不等式恒成立、能成立的问题时,一般需转化为函数最值来解决.若不等式中含参数, 则可考虑分离参数, 从而避免分类讨论. （2）不等式恒成立、能成立常见的转化策略 ①恒成立恒成立; ②恒成立; ③恒成立; ④能成立能成立. 注意:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两个原则: ①已知不等式中的参数是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于参变的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.例如:. ②要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则无法用参变分离法解决问题. 1．已知函数．若，求的取值范围； 2．已知函数.若对任意恒成立，求实数的取值范围. 3．已知，． (1)若曲线在点处的切线与垂直，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围． 4．已知函数．当时，恒成立，求的取值范围； 【等价转化法（分类讨论法）】在不等式恒成立问题中, 如果不能分离参数或分离参数后的函数䍩的最值比较难求,可以把含参不等式整理成或的形式.然后从研究函数的性质入手, 通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范图. 1．已知函数.若，求实数的取值范围. 2．记函数．若不等式对于任意恒成立，求的取值范围； 3．已知函数.已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 4．已知函数.设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 5．已知，函数，．是否存在实数，使恒成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由． 【双变量的恒成立与有解问题】 1．设为实数，函数，．对于，，都有，试求实数的取值范围． 2．已知函数，其中参数．设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 3．已知函数.对任意的、，当时都有，求实数的取值范围. 题型五、极值点偏移问题 对称化构造函数 （1）明确的取值范围,假定的大小关系; （2）将待证不等式变形,结合原函数单调性及进行等价转化; （3）构造关于（或）的一元函数,应用导数研究其单调性达到证明不等式目的. 说明：①对型,构造. ②对型,构造函数 , 通过研究的单调性获得不等式 1．已知函数．若，且，求证：． 2．已知函数．若存在正数，，满足，证明：． 3．已知函数．若且，求证：． 3．已知函数．求证：函数存在两个零点（记为），且． 题型六、导数的切线放缩问题 由图像可以分析得到: ①（当时,等号成立） ②（当时,等号成立） ③（当时,等号成立） ④（当时,等号成立） 【利用放缩】1．已知函数．当时，证明． 【利用放缩】2．设函数．令．，，证明：． 【利用放缩】3．已知函数．，证明：． 【利用放缩】4．已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：. 题型七、导数的同构问题 （1）当,形如可等价变换为： 构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大. （2）积型: （同左）; （同右）; （取对数）. 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. （3）和差型: （同左）; （同右）. 【型】1．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为___________ 2．已知若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数，，对区间上任意不等的实数，都有恒成立，则正数的取值范围为__________． 【积型:】 1．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 2．设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为______ 【和差型:】1．若正实数是关于的方程的根，则__________. 2．已知实数 ，满足 ， ，则 ________. 题型八、导数中的隐零点问题 （1）依据函数式的结构特征和函数单调性,大胆“试根”,再由单调性说明“此根”的唯一性; （2）先“虚设零点,设而不求”,通过形式化的“变量代换”或推理,达到化简并求解的目的; （3）“多次求导”,合理变形,直至能够求解. 1．已知函数，，若对区间上任意x均有恒成立，求k的最大值． 2．已知函数.证明：. 3．已知函数的图象在处的切线与直线垂直. (1)求的值 (2)已知函数.求证 4．设函数．当时，证明：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时） 题型专项训练 2025-2026学年第二学期高二数学人教A版选择性必修第二册 题型一、利用导数求最值的方法处理函数的切线问题 1．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 故选：C 2．若曲线不存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】的导数为， 由不存在垂直于轴的切线，可得无实数解， 显然，故无实根， 设，可得， 当时，，在单调递增； 当或时，，在，单调递减． 即有在处取得极小值，且为， 由于直线与图象无交点， 可得， 故答案为：．    3．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【详解】，依题意知有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，所以有两个不同的实数解， 所以与的图象有两个交点. ， 因为，所以，又，故, 故实数的取值范围是. 故答案为： 4．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______ 【答案】 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数的最大值为， 故答案为：. 题型二、导函数与原函数的奇偶周期性 【1】若原函数为奇函数,其导函数为偶函数;原函数为偶函数,其导函数为奇函数. 【2】若导函数为偶函数,则原函数为（奇函数+常数）型函数;若导函数为奇函数,则原函数为偶函数. 【3】若原函数为周期为的周期函数,其导函数也为周期为的周期函数. 【4】若原函数关于对称,其导函数关于点对称. 【5】若原函数关于点对称,其导函数关于对称. 1．（多选）已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（    ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【详解】A选项，关于点对称，故， 令得，A正确； B选项，是偶函数，故，两边求导得， 又函数与导函数的定义域均为， 故为奇函数，B正确； C选项，两边求导得，即， 故关于直线对称，无法得到为偶函数，C错误； D选项，由C选项知，，故，D正确. 故选：ABD 2．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 【答案】BC 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，则， 又为偶函数，所以，即， 两边求导得，，即，关于对称， 则关于原点对称，为奇函数，故C正确， ，， 由以上分析得，即， 所以是周期为4的函数， 故，故A错误； 对于B，由于，则， 由于，故 所以，因此以4为周期的周期函数，B正确， 对于D，由于,则，故关于对称， 由于不一定为0，故D错误， 故选：BC． 3．已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则______. 【答案】678 【详解】因的图象关于点中心对称，则 . 因为偶函数，根据函数的伸缩变化可知也是偶函数， 所以. 则，即的一个周期为3.令，由可得. 注意到，则. 故答案为：678 题型三、利用导函数构造原函数 【利用函数求导法则构造函数】模型1:对于不等式（或）构造函数 模型2:对于不等式（或）构造函数 模型3:对于不等式（或）构造函数 模型4:对于不等式（或）构造函数 模型5:对于不等式（或）构造函数 1．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造新函数，通过已知条件，判断新函数的单调性，再由单调性解出不等式. 【详解】构造函数，因为，所以， 可知函数在上单调递增，， 不等式化为，即， 由单调递增可得，即. 故选: C. 2．已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则在上递减，由单调性进行求解． 【详解】根据题意，由，得． 令，则在上递减，由单调性知， 当时，必有， 即，移项整理，得． 故选：B 3．定义在上的函数的导函数都存在，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意求得则，得到在上单调递减，再由把不等式转化为，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意知，可得． 设函数，则， 所以在上单调递减． 因为，所以， 所以，即为，则， 所以不等式的解集为． 故选：D. 4．已知定义在R上的函数为其导函数，满足①，②当时，，若不等式有实数解，则其解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由得到其单调性，再由，得到其奇偶性求解. 【详解】解：令， 则， 所以在上递增， 因为， 所以，即， 所以是偶函数， 不等式等价于： ， 即，即， 所以， 解得或， 故选：D 【构造之幂函数模型】模型6:对于不等式（或）构造函数 模型7:对于不等式（或）构造函数 模型8:对于不等式（或）构造函数 模型9:对于不等式（或）构造函数 模型10:对于不等式（或）构造函数 模型11:对于不等式（或）构造函数 1．设函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题设得到函数在上是增函数，又由在定义上的奇函数，所以是上的偶函数，进而得到函数的单调性，结合函数的性质，即可求解. 【详解】设，当时，恒成立， 所以函数在上是增函数， 因为在定义上的奇函数，所以是上的偶函数， 所以函数在上是减函数， 因为，所以，即 当时，不等式等价于，即，即 ， 当时，不等式等价于，即，即 ， 故所求不等式的解集为 ， 故选：D． 2．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，考虑设，证明函数在上单调递减，再证明为偶函数，当时，不等式可化为，结合函数性质解不等式，再结合条件检验是否为的解，由此可得结论. 【详解】设， 则， 又当时，， 所以当时，， 即函数在上单调递减， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 又函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增， 所以当时，不等式， 可化为，即， 所以，故，且， 因为当时，，所以，即， 当时，， 所以为不等式的解， 所以不等式的解集为， 故选：B. 3．已知函数是定义在上的减函数，其导数满足，则下列结论中正确的是（    ） A．当且仅当时， B．当且仅当时， C．恒成立 D．恒成立 【答案】C 【分析】由已知可推得.构造，求导即可得出在R上单调递增.又，即可得出当时，，，进而根据的单调性，即可得出答案. 【详解】由已知可得， 又因为，所以， 即. 令，在R上恒成立， 所以在R上单调递增. 因为， 所以，当时，， 又，所以， 又是定义在上的减函数，所以. 所以时，也恒成立，故当时，. 而当时，，结合可得， 综上，在上恒成立. 故选：C. 4．已知函数是偶函数，且当时满足，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合函数的特征构造新函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性整理计算即可确定正确选项. 【详解】f(x+2)是偶函数，则的对称轴为x=2， 构造函数，则关于（2，0）对称， 当x>2时，由， 得， 则g（x)在上单调递增，g(x)在上也单调递增， 故，. 本题选择A选项. 5．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围. 【详解】设，， 所以函数在上为增函数． 由的定义域为可知，得， 将不等式整理得，即， 可得在上恒成立，即在上恒成立； 令，其中，所以 ，令，得． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，即 故选：B． 【构造之指数函数模型】模型12:对于不等式（或）构造函数 模型13:对于不等式（或）构造函数 模型14:对于不等式（或）构造函数 模型15:对于不等式（或）构造函数 模型16:对于不等式（或）构造函数 模型17:对于不等式（或）构造函数 1．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且， 则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：设，则， ∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为故选C. 考点：利用导数研究函数的单调性. 【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的以及所求结论可知应构造函数，利用导数研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解. 2．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令是定义在上的单调递减函数，且所以选A. 【点睛】构造新函数结合已知判断的单调性. 3．已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 4．定义在上的函数的导函数为，对任意，都有，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造并利用导数研究其单调性，将题干不等式恒成立转化为恒成立，即恒成立，分离参数，进而构造函数，利用导数求解其最值即可得解. 【详解】令，则，即在R上单调递增， 不等式恒成立等价于不等式恒成立， 则不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立， 设，则，，令得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在单调递减， 故，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 题型四、利用导数研究恒成立（能成立）问题 【参变分离】（1）涉及不等式恒成立、能成立的问题时,一般需转化为函数最值来解决.若不等式中含参数, 则可考虑分离参数, 从而避免分类讨论. （2）不等式恒成立、能成立常见的转化策略 ①恒成立恒成立; ②恒成立; ③恒成立; ④能成立能成立. 注意:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两个原则: ①已知不等式中的参数是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于参变的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.例如:. ②要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则无法用参变分离法解决问题. 1．已知函数．若，求的取值范围； 【详解】由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. 2．已知函数.若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】当时，满足要求，所以， 原题意等价于对恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可得， 综上，实数的取值范围是. 3．已知，． (1)若曲线在点处的切线与垂直，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直关系构造等式求解即可； （2）通过参变分离，构造函数，通过求导，确定最值即可求解. 【详解】（1），， 则， 又∵， 又∵切线与垂直， ∴， 即； （2）原式恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 设，则， 所以h(x)在上单调递增， 且，， 所以h(x)有唯一零点，且，即． 两边同时取对数得 易知是增函数，所以，即， 由知，在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴， ∴， 故的取值范围是． 4．已知函数．当时，恒成立，求的取值范围； 【详解】当时，恒成立，故， 所以，即， 由得， 令（）， 则， 令，则，在单调递增， 则，即在恒成立，故在单调递增． 所以，故在恒成立． 由在单调递增，而，，故． 【等价转化法（分类讨论法）】在不等式恒成立问题中, 如果不能分离参数或分离参数后的函数䍩的最值比较难求,可以把含参不等式整理成或的形式.然后从研究函数的性质入手, 通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范图. 1．已知函数.若，求实数的取值范围. 【详解】等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 2．记函数．若不等式对于任意恒成立，求的取值范围； 【详解】令，则且. 令，则. 显然函数在上为增函数，且， 若，即，由可得， 即函数在上单调递减，所以， 故函数在上单调递减，所以，不合题意，所以. 当时，对于任意，. 所以在上单调递增，即对于任意，， 所以在上单调递增，所以对于任意，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 3．已知函数.已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 【详解】，由对于任意，，所以， 令，则， 求导可得， 当时，，显然不满足题意， 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得， 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 4．已知函数.设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【详解】因为 ， 由题意知，存在，使得成立. 即存在，使得成立； 令， ， ①当时，对任意，都有， ∴函数在上单调递减， 成立，解得，； ②当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，解得无解； ③当时，对任意的，都有， ∴函数在上单调递增， ，不符合题意，舍去； 综上所述，的取值范围为. 5．已知，函数，．是否存在实数，使恒成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由． 【详解】令，其定义域为，求导得， 函数在上单调递增，又，即在有一个根， 当时，，当时，，因此函数有唯一极值点，且为极小值点， 显然，又恒成立，则是的极小值点，必有，解得， 此时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，从而，符合题意， 所以存在实数满足条件，实数的取值集合为． 【双变量的恒成立与有解问题】 1．设为实数，函数，．对于，，都有，试求实数的取值范围． 【详解】解：对于，，都有，则. 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因为，且，则且不恒为零， 故函数在上单调递增，故， 由题意可得，故. 2．已知函数，其中参数．设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【详解】，，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 3．已知函数.对任意的、，当时都有，求实数的取值范围. 【详解】解：由，即. 令， 因为，则，所以，函数在上单调递增， 所以，在上恒成立，即在上恒成立， 只需， 设，，在单调递增，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 题型五、极值点偏移问题 对称化构造函数 （1）明确的取值范围,假定的大小关系; （2）将待证不等式变形,结合原函数单调性及进行等价转化; （3）构造关于（或）的一元函数,应用导数研究其单调性达到证明不等式目的. 说明：①对型,构造. ②对型,构造函数 , 通过研究的单调性获得不等式 1．已知函数．若，且，求证：． 【详解】构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 2．已知函数．若存在正数，，满足，证明：． 【详解】的定义域为，． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 因此由的单调性知，． 构造函数，． 则， 当时，，，即， 所以在区间上单调递减． 因为，所以，即． 由题意，所以． 因为在，且单调递增，，， 所以，即． 3．已知函数．若且，求证：． 【详解】，则 由得，由得， 即减区间为，增区间为， 不妨设且，则，，， 令，则 ， 则当时，单调递增；当时，单调递减 由，得 则 令，则 令，则 即为增函数， 又，则在上恒成立. 则恒成立，则， 又时单调递减，， 则，故 3．已知函数．求证：函数存在两个零点（记为），且． 【详解】由 设， 因此当时，函数单调递增，， 当时，，因此，所以单调递增； 当时，，因此，所以单调递减， 因此在时，单调递减，在时，单调递增， ，因为，， 所以函数在内有且只有一个零点，不妨设，在内有且只有一个零点，设为，即，即函数有两个零点， 即 构造函数 ，当时，单调递减， 因此有，即， 因为，所以， 而，因此， 因为，所以，因为在时，单调递减， 所以由. 题型六、导数的切线放缩问题 由图像可以分析得到: ①（当时,等号成立） ②（当时,等号成立） ③（当时,等号成立） ④（当时,等号成立） 【利用放缩】1．已知函数．当时，证明． 【详解】．，，，故， 令，易证时“”成立）， 故， “”不同时成立）， 故，成立． 【利用放缩】2．设函数．令．，，证明：． 【详解】令， ，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，得， 当时，，，即， 令，得， 则叠加得：， 即. 【利用放缩】3．已知函数．，证明：． 【详解】设，则， 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即①， 当且仅当时，等号成立． 要证，即，只需证． 因为，，所以，所以②， 当且仅当时，等号成立． 因为①②取得等号的条件不同，所以当时，． 【利用放缩】4．已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：. 【详解】（1）当时，, 所以，∴，， ∴函数在处的切线方程为，即. （2）∵，∴， 令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴， 故恒成立，所以只需证，即证， 令，则， 令，则，当时，，单调递减；当时， ，单调递增， ∴，∴恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴恒成立. 题型七、导数的同构问题 （1）当,形如可等价变换为： 构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大. （2）积型: （同左）; （同右）; （取对数）. 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. （3）和差型: （同左）; （同右）. 【型】1．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】根据题意先确定g（x）＝f（x）﹣4x在（0，+∞）上单增，再利用导数转化，可得恒成立，令求得max，即可求出实数a的取值范围． 【详解】令，因为，所以， 即在上单调递增，故在上恒成立， 即，令. 则，max，即的取值范围为. 2．已知若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把原不等式变形为，构造函数，求导分析单调性，再令为其单调减区间的子区间求出即可. 【详解】由可得， 即， 因为若对任意的正实数，满足当时，， 设，则在上为减函数， 因为在恒成立， 所以在恒成立， 所以，即实数的取值范围为， 故选：D. 3．函数，，对区间上任意不等的实数，都有恒成立，则正数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由题意，根据函数的单调性，去分母化简不等式，整理不等式，构造函数，利用函数单调性，可得答案. 【详解】设任意，，在上单调递增， ，， 等价于， 即， 设， 则在（1，2）上单调递增，在（1，2）上恒成立， ，，，又a为正实数， 【积型:】 1．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即， 又，则恒成立， 令，可得， 当，，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，则实数m的最小值为． 故选：C． 2．设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为______ 【答案】 【分析】利用同构法整理不等式，构造函数并研究单调性，可化简不等式，利用分离参数，再构造新函数，利用单调性，可得答案. 【详解】由于在时恒成立， 则在时恒成立. 令，，则， 所以在上单调递增， 当时，由，则； 当时，由，则显然成立； 综上所述：，可得，即. 令，，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以，则的最大值为. 故答案为：. 【和差型:】1．若正实数是关于的方程的根，则__________. 【答案】0 【分析】设，同构变形得到，即，从而得到，即，从而结果. 【详解】令，则在上单调递增， ，即，故， ∵正实数是方程的根， ，则，得，即. 故答案为：0 2．已知实数 ，满足 ， ，则 ________. 【答案】 【分析】把给定的两个等式利用对数定义变形，再根据其结构特征构造函数，讨论单调性即可作答. 【详解】由知， ，即， 由 知，，即 ， 设，则， 显然函数在上单调递增， 则有，又，即， 从而得，所以. 故答案为： 题型八、导数中的隐零点问题 （1）依据函数式的结构特征和函数单调性,大胆“试根”,再由单调性说明“此根”的唯一性; （2）先“虚设零点,设而不求”,通过形式化的“变量代换”或推理,达到化简并求解的目的; （3）“多次求导”,合理变形,直至能够求解. 1．已知函数，，若对区间上任意x均有恒成立，求k的最大值． 【分析】运用常变量分离法，构造函数，利用导数的性质、二次求导法进行求解即可. 【详解】由题设条件知：在上恒成立 在上恒成立 令，， 则，设， 当时，，所以为减函数，， ，∴在上有唯一的零点，且， 当时，单调递增，当时，单调递减． 设表示中最小的数， ∴    又     ∴，     ∴， 即． 2．已知函数.证明：. 【详解】. 令函数，则，所以是增函数. ，， 所以存在，使得，即. 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. . 因为，所以， 所以. 故. 3．已知函数的图象在处的切线与直线垂直. (1)求的值 (2)已知函数.求证 【答案】(1) (2)证明见解答 【分析】（1）求导，由导数的几何意义可得，从而可得出； （2）令，利用导数研究函数单调性，可得函数最值，从而可证明结论． 【详解】（1），又函数的图象在处的切线与直线垂直 所以，解得 （2）证明：构造函数，则 令，则， 因此在单调递增. 又因为， 故在有唯一实根，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 从而当时，取得最小值， 由得，，即， 故 因此. 4．设函数．当时，证明：． 【分析】由得，令，，通过求导判断函数的单调性即可求得函数的最小值大于，由此不等式得证. 【详解】因为，所以， 所以， 令，， 所以， 令，，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，， 所以使得①， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由①得：，所以， 所以， 因为，所以， 所以，故， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用隐零点法得到，从而计算出. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $