利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究极值点偏移问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 例1．（24-25高二下·山西运城·月考）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值． 因为当时，，当时，， 且函数恰有两个零点， 所以,所以的取值范围为． （2）由（1）知，为的极小值点， 所以可设，则， 构建函数，， 所以当时， ， 函数单调递增，所以当时，， 所以， 因为，所以， 所以， 又函数在上单调递增，所以， 所以． 例2．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），设，则， 当时，；当时，； 故在上为减函数，在上为增函数，故， 因存在两个不同的零点，故即. 此时且， 故在有且只有一个零点. 令，则， 当时，；当时，； 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故， 故当时，有， 故此时在有且只有一个零点. 综上，. （2）由（1）分析可得， 要证：，即证：， 因即，故即证， 即证：，其中， 设，， 则， 故（因为，等号不可取）， 所以在上为增函数，故即， 故成立即. 例3．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由已知，得， 当时，对任意的，有，所以在上单调递增； 当时，由于当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）函数有两个零点，当且仅当方程有两个解，即方程有两个解. 设，则，这表明当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 设，则，所以当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增，从而对任意的都有，即对任意的都有. 而对任意实数，在中取，就有. 这表明当时，有. 原命题等价于方程有两个解，分情况讨论： 当时，对任意，有，这表明方程至多有一个解，不符合条件； 当时，由于，，，且，故方程有两个解，且满足，再结合的单调性，知方程的所有解即为，满足条件. 综上，的取值范围是. （ii）设，则， 故当且时，从而在和上单调递增，故在上单调递增. 这就意味着当时，有，即. 由于在上单调递减，在上单调递增，故由， 知存在， 使得，即. 从而有， ， 这意味着 ，最后一步利用了和. 故，但，而在上单调递增，所以. 又因为在上单调递增，所以， 故，即. 例4．（24-25高二下·湖南株洲·月考）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明. 【答案】(1)在上单调递增 (2)，证明见解析 【详解】（1）时，， 故， 在上单调递增. （2）关于的方程有两个不同实根,， 即有两不同实根，，得， 令，， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，得图象如图：.   ，则， 即当时，有两个不同实根，， 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得， 上述两式相除得， 不妨设，要证：， 只需证：,即证， 设，令， 则， 函数在上单调递增，且, ，即， . 变式1．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 变式2．（24-25高二下·安徽宿州·月考）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【详解】（1）， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为. （2）证明：将两边同时除以得，即， 所以， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 令， 则， 由得，所以，， 所以，在上单调递增， 又，所以， 当时，，即，即， 又，所以， 又，，在上单调递减， 所以，即. 变式3．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 变式4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·月考）已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的定义域为， ， 函数是减函数，故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且， 故，解得， 故的取值范围是； （2）若有两个零点，则， 得． ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ，即， 故. 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）因为，则，所以，又 所以在处的切线方程为，即. （2）令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 例2．（24-25高二下·广东江门·月考）已知函数，，设. (1)若，求的最大值； (2)求在上的最小值； (3)若有两个不同的零点，求证：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，函数，其定义域为， 当时，，求导得， 当时，，；当时，，， 函数在上单调递增，在上单调递增减， 所以的最大值为. （2）函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，又， 所以当时，；当时，. （3）依题意，不妨令，，即， 两式相减得， 不等式， 令，则， 令函数，，函数在上单调递增， 因此，即，则， 所以. 例3．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线． (1)当时，求曲线在点处的曲率； (2)已知曲线在不同的两点，处的曲率均为0． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）解：当时，，， 所以，， 故曲线在点处的曲率． （2），由题意可知，， 则方程有两个根，， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又时，，，且， ①由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以， 故实数的取值范围为． ②证明：由上可知，，不妨设． 下面证明：当，， 设，则， 令，则，所以在上单调递减， 则，所以在上单调递增，且， 即，故，． 设点在直线上，则，即， 所以， 即， 要证，需证， 需证， 又，只需证，即证． 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以成立， 故． 例4．（24-25高三上·江苏南通·月考）已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任意不同的三点.若点的横坐标依次成等差数列，且在点处的切线的斜率大于直线的斜率，则称在上为“中值偏移”函数. (1)设. ①讨论的单调性； ②若是上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (2)证明：在上为“中值偏移”函数. 【答案】(1)①答案见解析； ② (2)证明见解析 【详解】（1）①由题意，， 当时，，则在R上单调递减； 当时，令， 所以在上单调递减，在上单调递增. ②因为函数为＂中值偏移＂函数，设， 则，对任意，不妨设． 因为，所以以为切点的切线斜率， 因为直线的斜率， 所以． 设． 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围为． （2）不妨设，因为， 所以以为切点的切线的斜率． 因为直线的斜率 ， 所以． 设，则 . 设． 因为， 设，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以， 所以是＂中值偏移＂函数． 变式1．（24-25高二下·河北唐山·月考）设函数，的最小值； (1)求； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 变式2．（24-25高二下·河南鹤壁·月考）已知． (1)不等式对任意恒成立，求的取值范围； (2)当有两个极值点时，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，不等式两边同除以得． 记，则． ①当，即时，，则， 所以在上递增，满足要求； ②当时，，则， 在上递增，满足要求； ③当时，，即，则， 令，得， 所以在上递减，与题设不符，舍去． 综上，的取值范围为． （2）证明：定义域为，， 令，得．由题意，是方程的两个不等实根， 记， 则，令，得．令， 故在上递增，在上递减． 因为，又， 且当时，恒成立， 所以，则． 由（1）取，则时，，． 又代入，并整理得． 同理， 所以，得证. 变式3．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 变式4．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性; (2)若关于的方程有两个不相等的实数根， （i）求实数的取值范围; （ii）求证:． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，其中 ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得． 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）（ⅰ）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则． 作出函数和的图象如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是． （ⅱ）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证 ， 由（i）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得 所以只需证，即只需证． 令，只需证 ， 令，其中， 则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究极值点偏移问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 例1.(24-25高二下山西运城月考)已知函数f(x)=xe-a恰有两个零点x1,x2. (1)求a的取值范围； (2)证明：x+x2<-2。 例2.(24-25高二下广东东莞·月考)己知函数f(x=x2+ar-xnx的导函数为f'(x),若f'(x存在两个不同的零 点，x2 (1)求实数a的取值范围： (2)证明：x+为2>1. 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 例3.(24-25高二下.四川成都月考)已知函数f(x=e-ax,x∈(0，+o). (1)讨论(x的单调性； (2)若函数gx=∫(x-xlnx-1有两个零点x,x2x<x2): (i)求a的取值范围； （①蛋明1. 例4.2425商二下潮南味洲月考)已知函数f)=nx+m-a+x(aeR) (I)当a=1时，判断函数y=f(x)的单调性； ②若关于x的方程四三)公看两个不回实根，，求实数☑的取值范围，并班明工x,> 2 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 变式1.(2425高二下-江西宜春月考)已知函数f=X+1-血x-a有两个零点，x<小. (I)求实数a的取值范围； (2)求证：f(x)>f (3)求证：x2-x<Va2-4<x号-x. 变式2.(24-25高二下·安徽宿州月考)已知函数fx=(x-2)e(其中e=2.71828…为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若a,b为两个不相等的实数，且满足ae-be“=2e-e),求证：a+b>6 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 变式3.(24-25高二下福建厦门月考)已知函数fx)=x+m (1)讨论f(x)的单调性； (2)若x1≠x2,且fx)=f(x2)=2,证明：0<m<e,且x1+2<2. 变式4.(24-25高二下·重庆沙坪坝·月考)已知函数f(x=xlnx-ax2+x,aeR. (1)若函数f(x)是减函数，求a的取值范围； 8 (2)若f(x)有两个零点x,x2,且x3>2x,证明：x2> 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 考点二 利用导数研究双变量问题 例1.(24-25高二下·山东淄博·期中)己知函数f(x)=xe (I)求f(x)在(1，e处的切线方程； (2)若xe(0,+o）,f(x)≥a(e-1),求a的取值范围； (3)若x、x,(0,,讨论f(x)-f(x2与x-x,的大小关系，并说明理由 例2.(2425高二下广东江门-月考)已知函数f(x=x，gx)=ax+b,设F(x)=fx-g(x. (1)若a=1,求F(x)的最大值； (2)求f(x)在[2，m(m>2)上的最小值： (3)若F(x)有两个不同的零点x,x2,求证：(：+x)g(:+x)>2. 5 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 例3.(24-25高二下·安微阜阳月考)在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线 f(x) C:y=f(x,定义K= 3 为曲线C在点Ax,f(x)处的曲率，其中f'(x为∫(x)的导函数，∫”(x)为 [1+(x f八国的导函数.已知曲线C:f到=3-列e-受r(meR, (1)当m=0时，求曲线C在点A0,f(0)处的曲率； (2)已知曲线C在不同的两点Mx,f(x),N(x2,f(x,)月处的曲率均为0. ①求实数m的取值范围； ②证：+<-》 例4.(24-25高三上·江苏南通·月考)已知函数f(x)及其导函数'(x定义域都为区间L,A,B,C是曲线 W:y=∫(x),x∈I上任意不同的三点若点A,B,C的横坐标依次成等差数列，且W在点B处的切线的斜率大于直线 AC的斜率，则称f(x)在I上为“中值偏移”函数 (I)设fx=ae-x, ①讨论f(x)的单调性； ②若f(x)是R上的“中值偏移”函数，求实数a的取值范围； (2)证明：gx=-x2+xlnx在0，+0）上为“中值偏移”函数 6 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 变式1.(24-25高二下…河北唐山月考)设函数∫(x=2+22x+1-1x∈R,1>0),f(x的最小值h(t); (1)求h(t); (2)若h(t)<-21+m对任意t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，42∈(0,2)，都有h)<-22+n,求实数n的取值范围. 变式2.2425商二下河南鹤壁月考)已知)=2-kx-l8=ar2-nx+, (1)不等式fx)20对任意x≥1恒成立，求k的取值范围； (2)当gx有两个极值点x,x,(x,<x2)时，求证：2ae-1)(x1+x)<2e. 利用导数研究极值点偏移问题、双变量问题专项训练 变式3.(2425高二下-广东佛山月考)已知f(x)=-e2+4e-ax-5 2 (1)当a=3时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个极值点x,x2,证明：∫(x)+f(x,)+,1+x2<0. 变式4.(2425高二下·福建福州月考)已知函数f)=ar+(a-1血x+a∈R. (I)讨论函数f(x)的单调性， (2)若关于x的方程xf(x)=x2e-xlnx+1有两个不相等的实数根x1,x2, (i)求实数a的取值范围： )求证e+、2a X2 x1 XX2