5.3.2函数的极值与最大（小）值同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用极值的定义得到，从而求得，再代回检验即可得解. 【详解】因为，所以， 又在处有极值， 所以，所以，得， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 函数在处有极小值，满足题意. 故选：A. 2．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 3．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对求导，得到，令，得到或，再根据条件及极值的定义，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 令，得到或， 又因为函数在处取得极值，所以，得到， 故选：C. 4．已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数有极值，则有变号零点，进而求的取值范围可得结果. 【详解】， 函数的图象关于直线对称， 则有极值的充要条件是，解得. 于是“”是“有极值”的充分不必要条件. 故选：A 5．已知函数在，上单调递增，在（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导得到，然后根据在，上单调递增，在（1，2）上单调递减，由求解即得. 【详解】由，得， ∵在，上单调递增；上单调递减, ∴两根分别位于和中， 得，即，解得. 故选：B 6．（2023高考·全国乙）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．，使得在上单调递增 C．若存在极值，则 D．若有三个零点，则 【答案】ACD 【分析】求出即可判断A；利用导数分和两种情况讨论求出函数的单调区间及极值，即可判断BCD. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于BCD，，当时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，得， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以不存在，使在上单调递增， ， 要使有三个零点，必有极小值，解得，故B错误，CD正确. 故选：ACD. 8．（2023高考·新课标Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， ，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题 9．若函数在上存在最小值，则实数的取值可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，函数的极小值在内，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当，有极小值， 因为函数在上存在最小值，又， 所以，解得， 故答案为：内任一值均可. 10（2025高考·全国二卷）若是函数的极值点，则 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【详解】（1）依题意，，，则切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 12．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，， 故切线方程为； （2）令， 求导得， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减，又 故在处取极小值0，无极大值． 13．已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 【分析】（1）结合切线的点与斜率，联立函数值与导数值的方程求解； （2）求导分析函数单调性，计算区间内关键点的函数值，确定值域. 【详解】（1）由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. （2）由（1）得，求导得. 令， 即,解得或（舍） ，，. 故在上的值域为. 14．已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可求解极值， （2）就的符号分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知的定义域为R，且，令时，， 则的关系为 0 ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取到极大值为1，没有极小值． （2）若，即恒成立， 设，则， ①当时，则恒成立，符合题意； ②当时，则，可知在上单调递增， 因为，所以不恒成立； 当 时，的关系为 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 可知的最小值为，则， 因为，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2函数的极值与最大（小）值 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 3．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数在，上单调递增，在（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023高考·全国乙）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．，使得在上单调递增 C．若存在极值，则 D．若有三个零点，则 8．（2023高考·新课标Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 9．若函数在上存在最小值，则实数的取值可以是 . 10（2025高考·全国二卷）若是函数的极值点，则 四、解答题 11．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的最值. 12．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若为的导函数，求的极值． 13．已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 14．已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $