精品解析：四川绵阳市江油市长城实验学校等五校2025-2026学年九年级下学期数学学情自测

2025-2026学年九年级下学期开学 （九年级数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故D正确． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，反面向上 B. 从只有黄球的袋子中摸出红球 C. 任意画一个圆，它是中心对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件的定义． 根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：投掷一枚硬币，反面向上可能发生，是随机事件； 选项B：袋子中只有黄球，摸出红球必然不会发生，是不可能事件； 选项C：圆总是中心对称图形，是必然事件； 选项D：射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，是随机事件； 只有选项B是不可能事件． 故选：B． 3. 用配方法解方程，配方后所得方程为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较得出和的值，再计算． 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握基本概念解题关键． 【详解】对方程 配方： ∵ ∴ 即 与 比较，得 a = 3, b = 1 ∴ 故选：D． 4. 抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称轴公式和交点坐标代入方程，推导出关系式． 本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【详解】∵ 对称轴为直线 ， ∴ ， 即 . ∵ 抛物线与 轴的一个交点坐标为 ， ∴ ，即 . 将 代入： ∴ ， ∴. ∴ 结论 C 一定正确. 对于选项 A，，代入 得 ，其符号取决于 ，不一定小于 0； 选项 B，； 选项 D，由于对称轴 和交点 ，可得另一交点为 ，故判别式 ，不成立． 故选：C． 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数在限定定义域内的性质，根据反比例函数的图象和性质，结合的条件进行判断． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第一象限，且y随x增大而减小；图象与坐标轴无交点． 对于A：当时，，该项错误； 对于B：由于，图象仅位于第一象限，不涉及第三象限，该项错误； 对于C：在第一象限内，y随x增大而减小，该项正确； 对于D：反比例函数图象不与坐标轴相交，该项错误． 故选：C． 6. 如图，在矩形中，，，点E在上，且，连接，，将绕点E逆时针旋转至，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，，，可得，如图，过点作直线于，证明，可得，，，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：∵矩形，，，点E在上，且， ∴，，，，， ∴， 如图，过点作直线于， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ∴， ∴，，故A，B错误， ∵，，，，， ∴， ∴，故D正确， 连接，若， ∵， ∴， ∴， ∴，与矛盾，故C错误， 故选：D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可直接求解． 【详解】解：由图可知是所对的圆心角，是所对的圆周角， ， 故选：C． 8. 如图，正五边形内接于，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 9. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2025年投入3000万元，预计2027年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及年平均增长率问题． 设年平均增长率为x，则一年后投入为万元，两年后投入为万元，据此列方程即可． 【详解】解：∵从2025年到2027年经过2年，且年平均增长率为x， ∴2026年投入为万元， 2027年投入为万元， 又∵预计2027年投入5000万元， ∴． 故选：B． 10. 新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则的值为（ ） A 或 B. 1 C. D. 1或9 【答案】A 【解析】 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键． 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵方程的根为,, 又∵该方程是“倍根方程”，即一个根是另一个根的3倍， 故有两种情况： 情况一：, 情况二：，解得, ∴的值为或, 故选项A. 11. 某物理兴趣小组对一款烧水壶的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图2，且该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 把代入得， 解得， ∴， ∵， ∴当，即时，P有最大值，最大值为240， ∴变阻器消耗的电功率最大为， 故选：C． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数的性质是解题的关键．先求出反比例函数的解析式，根据函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入解析式得，， ， ，选项正确，不符合题意； 当时，，选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，选项不正确，符合题意； ， 在第一象限随的增大而减少，选项正确，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 已知，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数之间的关系公式是解题的关键． 一元二次方程的根与系数的关系为，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：对于方程 ，其中 , , ， 根据根与系数的关系，两根之积 ， 故答案为：． 14. 已知和关于原点对称，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是． 【详解】解：和关于原点对称， ，， 则． 故答案为：1． 15. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据顶点坐标得到平移规律即可求解． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的． 的坐标右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为，即． 故答案为：． 17. 如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 18. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．已知抛物线的解析式为，若点到轴的距离是，则、两点之间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．将代入求出，再计算、两点之间的距离． 【详解】解：根据题意可知， 当时，， 解得：， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共90分） 19. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解分式方程： （1）利用因式分解法求解； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得，； （2）， ， 化为整式方程，得， 整理得， 解得， 经检验：时，， 因此是原分式方程的解． 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1）①；；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的比例即可得出圆心角度数；②求出类的人数，再补全条形统计图即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； ②类的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 21. 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）k=3；（2）k＜1；（3）不在；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k-1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【详解】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1=1×2， 解得k=3； （2）∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）∵k=13，有k﹣1=12， ∴反比例函数的解析式为． 将点B的坐标代入，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数的图象上， 将点C的坐标代入，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数的图象上． 22. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明； （2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得​． 【小问1详解】 证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知， ∵，， ∴在中，． 23. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接，是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）求达到警戒线位置时水面的宽度． 【答案】（1）； （2）达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）将代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 【小问2详解】 解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； （3）设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （）由（）得抛物线的解析式为，所以，然后通过二次函数的平移即可求解； （）作直线轴于点，交抛物线于点，由（）得抛物线解析式为，令，则，则，求出直线解析式为，设，则，则，最后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得抛物线的解析式为， ∴， ∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的解析式恰好经过点， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点， 由（）得抛物线的解析式为， 令，则； ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期开学 （九年级数学） 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，反面向上 B. 从只有黄球的袋子中摸出红球 C. 任意画一个圆，它中心对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 用配方法解方程，配方后所得方程为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 抛物线（a、b、c为常数，且）对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（） A 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 6. 如图，在矩形中，，，点E在上，且，连接，，将绕点E逆时针旋转至，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形内接于，连接，，则（ ） A. B. C. D. 9. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2025年投入3000万元，预计2027年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则的值为（ ） A. 或 B. 1 C. D. 1或9 11. 某物理兴趣小组对一款烧水壶的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图2，且该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 该蓄电池的电压是 B. 当时， C. 当时， D. 当电阻越大时，蓄电池的电流越小 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 已知，是方程的两根，则______． 14. 已知和关于原点对称，则________． 15. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 16. 如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为______． 17. 如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为________． 18. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示，由此发现数学知识抛物线．如图②，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．已知抛物线的解析式为，若点到轴的距离是，则、两点之间的距离是__________． 三．解答题（共90分） 19. （1）解方程： （2）解方程： 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21. 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 22. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 23. 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 24. 有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）求达到警戒线位置时水面的宽度． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则值为 ； （3）设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $