精品解析：四川省绵阳市江油市八校联考2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

四川省江油市2025年春九年级第一次中考模拟试卷暨开学测试 数学试卷 测试时间150分钟，总分150分 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 若一个负数的倒数等于它本身，则这个负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得各选项的倒数即可得出结论． 【详解】解：A、的倒数是，符合题意； B、的倒数是，不符合题意； C、的倒数是，不符合题意； D、的倒数是，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查倒数的定义，熟知乘积等于1的两个数互为倒数，正确求得各数的倒数是解答的关键． 2. 大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：2亿， 故选：B． 3. 下列选项中是空心圆柱（如图）主视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图，根据主视图的定义即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 的主视图是 故选：C． 4. 如图，已知直线被直线AC所截，，E是平面内一点，设，．下列说法：①当点E在之间且在的右侧时，；②当点E在的下方且在的右侧时，；③当点E在的上方且在的右侧时，，④当点E在之间且在的左侧时，，其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，补全图形，根据平行线的性质逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】解：①如图： 过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图： ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图： ∵， ∴， ∴，故③错误； ④如图： 过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上：正确的是①②④； 故选B． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角．解题的关键是正确的画出图形，通过拐点构造平行线． 5. 如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（ ） A. 64° B. 52° C. 42° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=64° ∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′， ∴∠ACC′=∠AC′C=64°， ∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°， ∴旋转角为52°． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 6. 下列算式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法（除法），积的乘方，幂的乘方．根据相关运算法则逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，利用坡比求出的长度，再根据勾股定理即可求解，掌握坡比的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键． 9. （中国古代数学问题）5头牛和2只羊，共值银10两；2头牛和5只羊，共值银8两．问一头牛和一只羊各值银几两？设一头牛值银两，一只羊值银两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【详解】由题意可得， 故选：C． 10. 若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ） A. 1，3，4 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，3 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程求出解，根据方程的解为正数得到4-m>0，由此得到满足条件的正整数m的值． 详解】解： x=2（x-2）+m x=4-m， ∵分式方程的解为正数， ∴4-m>0， ∴m<4， ∴满足条件的正整数m的值为1，2，3， 当x=4-m=2时，x-2=0，分式无意义，故m=2舍去， 故选：C． 【点睛】此题考查了由分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的法则及解不等式是解题的关键． 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，据此可推测的表达式，由此计算等于多少（　　） A. 2272 B. 1136 C. 568 D. 284 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的变化规律，根据题意得出n的二次项系数依次增加，n的一次项系数依次减少，进而得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 三角形数， 正方形数， 五边形数， 六边形数， 观察可知，n的二次项系数依次增加，n的一次项系数依次减少， ∴， ∴， 故选：C． 12. 如图，矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读和、和的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ，，，， ，， ， ，故①正确； 设，，则，， ， 在中，， ， 解得：， ，故②错误； 在中，设，则， ， 解得：， ，， 在中，， ，，故③④正确； 无法证明， 无法判断，故⑤错误； 综上，正确的是①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键． 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 14. 关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是____________. 【答案】8⩽a<13 【解析】 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2， 解不等式5x−a⩽12得：x⩽ ， ∵不等式组有2个整数解， ∴其整数解为3和4， 则4⩽<5， 解得：8⩽a<13， 故答案为8⩽a<13 【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键 15. 如图，和位似，位似比为，位似中心是原点O，B点坐标是，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出对应点坐标． 【详解】解：∵和位似，位似中心是原点O，和的相似比为，B点坐标是， ∴点D的坐标为：即． 故答案为：． 16. 已知关于x的方程有一个根，那么a的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，一元二次方程根的情况．原分式方程可转化为一元二次方程，若只有一个根，则，用含a的代数式表示，即可求出a． 【详解】解：方程两边都乘x得，，即， ∵方程有一个根， ∴①若方程有增根，则，此时， ②若整式方程有相等的根，则，即，解得． 故答案：或． 17. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程的根为．其中正确的是_______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，开口向上，则；反之，．对称轴在轴左侧，则同号；反之，则异号；对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解．根据开口方向和对称轴即可判断①；将代入即可判断②；根据题意可得抛物线的对称轴，即可判断③；利用公式法结合②即可判断④； 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴， ∴； ∴，故①错误； 将代入得：， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点，其中， ∴抛物线的对称轴， ∴当时，y随x的增大而减小；故③正确； 对于一元二次方程，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：②③④ 18. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握“一线三等角”模型的应用是解题的关键． 三．解答题（共90分） 19. 先化简，再求值：，其中x＝tan60°+． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把除法变成乘法，算乘法，算减法，最后代入求出即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝tan60°+＝+4时，原式＝ ＝． 【点睛】此题考查分式的化简与代入求值，考查学生的运算能力． 20. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图． （1）已知这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是________，众数是________； （2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在的总人数； （3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明． 【答案】（1）75，76；（2）人；（3） 【解析】 【分析】（1）由中位数和众数的定义求解即可； （2）由该年级总人数乘以选择A课程学生成绩在80≤x＜90所占的比例即可； （3）画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79， 则这组数据的中位数是75，众数是76， 故答案为：75 76； （2）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在范围内的共有9人，所占比例为， 则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在范围内的总人数为（人）； （3）画树状图如图所示： 由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程的情况共有2种， 所以，小张同时选择课程A和课程的概率是． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图、众数、中位数等知识；树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，． （1）求k的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）6． 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式确定与坐标轴交点坐标，进而确定点C的坐标，代入反比函数解析式，确定k值； （2）联立解析式，确定图象交点坐标，运用组合图形思想，的面积． 【小问1详解】 解：，时，，，，故,, 中，，， ∵， ∴． 设，则，解得， ∴． 点C在上，故； 【小问2详解】 联立，解得或． ∴点． ∴的面积． 【点睛】本题考查函数图象交点与方程组的联系，根据点坐标确定解析式，直角坐标系求三角形面积，理解函数图象与方程的联系是解题的关键． 22. 如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）求证：CD2＝OD•BD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD与H，由角的数量关系可证OA＝OD＝OC，由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，由菱形的判定可得结论； （2）通过证明△CDO∽△BDC，可得 ，可得结论． 【详解】证明：（1）连接AC，交BD与H， ∵OC＝OD， ∴∠DCO＝∠CDO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH， ∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC， ∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO， ∴∠AOB＝2∠ADO， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴OA＝OD， ∴OA＝OC， 又∵AH＝CH， ∴OB⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD， ∴∠BDC＝∠CBD． 由（1）得∠ODC＝∠OCD， ∴∠OCD＝∠DBC． 在△CDO和△BDC中， ∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD ∴△CDO∽△BDC． ∴， 即CD2＝OD•BD． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键． 23. 某校需要购进一批消毒液，经了解，某商场供应A，B两种类型的消毒液．购买2瓶A类型消毒液所需费用和3瓶B类型消毒液所需费用相同；购头3瓶A类型消毒液和1瓶B类型消毒液共需要55元． （1）求A，B两种类型消毒液的单价． （2）若根据需求，需要购买A，B两种类型消毒液共300瓶，其中A类型消毒液的数量不少于B类型消毒液数量的，如何购买才能使得花费最少，最少花费为多少元？ 【答案】（1）A，B两种类型消毒液的单价分别为15元，10元； （2）应购买A种类型消毒液100瓶，B种类型消毒液200瓶才能使花费最小，花费最小为3500元 【解析】 【分析】（1）设A，B两种类型消毒液的单价分别为x元，y元，然后根据购买2瓶A类型消毒液所需费用和3瓶B类型消毒液所需费用相同；购头3瓶A类型消毒液和1瓶B类型消毒液共需要55元列出方程求解即可； （2）设购买A种类型的消毒液m瓶，购买花费为W，则购买B种类型消毒液瓶，由题意得：，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种类型消毒液的单价分别为x元，y元， 由题意得：， 解得， ∴A，B两种类型消毒液的单价分别为15元，10元； 【小问2详解】 解：设购买A种类型的消毒液m瓶，购买花费为W，则购买B种类型消毒液瓶， 由题意得：， ∵A类型消毒液数量不少于B类型消毒液数量的， ∴， ∴， ∵， ∴W随m增大而增大， ∴当m=100时，W有最小值，最小值为5×100+3000=3500， ∴应购买A种类型消毒液100瓶，B种类型消毒液200瓶才能使花费最小，花费最小为3500元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，正确理解题意列出式子是解题的关键． 24. 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点M、N，过点M作，交于点E． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）AE 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）连接，易得，通过证明，结合，得出，即可求证； （2）连接，根据勾股定理得出，则，通过证明，得出M是的中点，根据，即可求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴M是的中点， ∴， ∴3， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．抛物线与y轴交于点，点P是抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的顶点P的坐标； （2）直线与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点； ①当的面积等于面积的4倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请求出的长． 【答案】（1） （2）①或；②的长为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及两点间距离公式等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度． （1）将和代入利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式求顶点坐标； （2）①求出的面积，设利用求得； ②利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ． 【小问2详解】 ①如图1， 作于， ，， 设直线， ∴， 解得：， 直线， ，可设， ， ， ， 或． 或． ②如图2，对于，当， 则，解得：或， ∴ 设， 由得，， 化简，得， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，即与直线l重合， 联立得：， 解得：， ∴， ∴， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省江油市2025年春九年级第一次中考模拟试卷暨开学测试 数学试卷 测试时间150分钟，总分150分 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 若一个负数的倒数等于它本身，则这个负数是（ ） A. B. C. D. 2. 大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中是空心圆柱（如图）主视图的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线被直线AC所截，，E是平面内一点，设，．下列说法：①当点E在之间且在的右侧时，；②当点E在的下方且在的右侧时，；③当点E在的上方且在的右侧时，，④当点E在之间且在的左侧时，，其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 5. 如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（ ） A. 64° B. 52° C. 42° D. 36° 6. 下列算式中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（ ） A B. C. D. 8. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. （中国古代数学问题）5头牛和2只羊，共值银10两；2头牛和5只羊，共值银8两．问一头牛和一只羊各值银几两？设一头牛值银两，一只羊值银两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ） A. 1，3，4 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，3 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，据此可推测的表达式，由此计算等于多少（　　） A. 2272 B. 1136 C. 568 D. 284 12. 如图，矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④⑤ 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 把多项式分解因式的结果是_______． 14. 关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是____________. 15. 如图，和位似，位似比为，位似中心是原点O，B点坐标是，则点D坐标为______． 16. 已知关于x的方程有一个根，那么a的值为______． 17. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程的根为．其中正确的是_______． 18. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则______． 三．解答题（共90分） 19. 先化简，再求值：，其中x＝tan60°+． 20. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图． （1）已知这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是________，众数是________； （2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在的总人数； （3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，． （1）求k的值； （2）求面积． 22. 如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）求证：CD2＝OD•BD． 23. 某校需要购进一批消毒液，经了解，某商场供应A，B两种类型的消毒液．购买2瓶A类型消毒液所需费用和3瓶B类型消毒液所需费用相同；购头3瓶A类型消毒液和1瓶B类型消毒液共需要55元． （1）求A，B两种类型消毒液的单价． （2）若根据需求，需要购买A，B两种类型消毒液共300瓶，其中A类型消毒液的数量不少于B类型消毒液数量的，如何购买才能使得花费最少，最少花费为多少元？ 24. 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点M、N，过点M作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．抛物线与y轴交于点，点P是抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的顶点P的坐标； （2）直线与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点； ①当的面积等于面积的4倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$