2026年 九年级数学中考一轮复习 直角三角形 同步自主达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《直角三角形》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，若，，，且边始终在直线上方，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．如图，在等腰三角形空地上种植某种草皮．已知，，若这种草皮每平方米的售价是n元，则购买这种草皮至少花费（  ）元． A． B． C． D． 5．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A．4 B． C． D．13 6．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知E是的外心，P、Q分别是、的中点，连接、交于点F、D，若，，，则的面积为（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 8．如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（   ） A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里 二、填空题（满分24分） 9．若一个直角三角形的周长为，面积为，则这个直角三角形的斜边长为 ． 10．如图，矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数为，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 ． 11．将一副三角尺（和）按如图位置摆放，点在边上，延长交的延长线于点，，，，则的度数为 ． 12．如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于 ． 13．如图，有一块四边形的绿地，其中米，米，米，米，且，那么这块绿地的面积是 平方米． 14．如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． （1）若，，则 ． （2）若，则 ． 15．如图所示的是一张直角三角形纸片，，，．将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ． 16．如图，升旗的绳子自由下垂到地面还多出一段，小霞在绳子与地面接触处打了一个结，然后将绳子拉直使其末端接触地面，此时绳子末端距离旗杆底端，并测得绳子末端距离打结处，则旗杆的高度为 三、解答题（满分72分） 17．如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求中转站O离C地的距离． 18．如图，在中，，点D是外一点，连接，且，． (1)求的长； (2)求证：是直角三角形． 19．如图，在中，，E是上一点，且，连接并延长交于点F，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并证明． 20．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，为等边三角形，点B的横坐标为，过点B作交y轴于点C. (1)如图（1），求线段的长； (2)如图（2），点P为x轴正半轴上一点，点Q在上，连接、，使，设点P的横坐标为，线段的长为n，用含t的式子表示n. 22．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 23．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 24．【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，准确分析判断是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，分别计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等． 【详解】解：由已知可得，，，最长边是， ，， ，是直角三角形，故符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 故选． 2．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，高的性质，直角三角形两锐角互余；解题的关键点是利用高和角平分线的定义，易错点在于角度关系找错；先利用高线，求出，从而求出，利用角平分线，求出，即可求出. 【详解】∵，， ∴， ． 又∵平分， ∴． ∵在中，，， ∴． 故选C． 3．D 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质等知识，根据直角三角形两锐角互余，平行线的性质逐项求解判断即可． 【详解】A．∵ ∴ ∴，故A正确； B． ，故B正确； C．∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故C正确； D． ∵， ∴故D错误； 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质等腰三角形的性质，三角形外角定理，解决问题的关键是正确作出辅助线． 作边的高，设与的延长线交于点D，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理求得，根据含度角的直角三角形的性质求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积，最后根据每平方米的售价求出结果即可． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点D， ，， ， ，， ， ， 草皮每平方米的售价是n元， 购买这种草皮至少花费元． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理及三角形面积公式．先根据三角形外心性质及中点条件，得到，，，，从而得到，的长度，由的已知长度可知，三边符合勾股定理的逆定理，从而得到，进而求得的长，最终求得的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵E是的外心，P、Q分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/小时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：D 9．13 【分析】设直角三角形的两条直角边长为和，斜边长为，根据勾股定理、周长和面积条件，建立关系式并求解即可． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握并运用勾股定理是解决此题的关键． 【详解】解：由题意，，， 因此， 又由勾股定理， 由 两边平方得， 即 代入和， 得 化简得， 即， 解得 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示， 点所表示的数为：. 故答案为：. 11． 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，直角三角形的性质，三角形外角性质等知识，由题意可得，，，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），直角三角形的两个锐角互余，求其他不规则图形的面积等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，由此可以证明≌，所以，；同理证得≌，，，从而可求得，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】解：且，， ， ， ， ，， ， 同理可证， ，， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先理解题意，求出米，再运用米，米，，故代入数值得，然后计算，故平方米，即可作答． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵，米，米， 则（米）， ∴（平方米） ∵米，米，， ∴ 则 ∴ 解得， 则， ∴（平方米）， ∴（平方米）， 那么这块绿地的面积是平方米． 故答案为：． 14． /45度 【分析】（1）先证明，过作于，然后证明，则； （2）取中点，连接，由直角三角形斜边中线可得，，然后导角证明，则，再得到，则，求出，即可求解的度数． 【详解】解：（1）， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 15． 【分析】此题考查勾股定理，以及翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口． 根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【详解】解：在中，． 根据折叠的性质可知，． ， ， 即的长为． 设，则． 在中，根据勾股定理得， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为：． 16．9 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，设出未知数，由勾股定理列出方程是关键；设旗杆的高度为，则可表示出绳子的长度，由勾股定理即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理得：， 解得：， 所以旗杆的高度为； 故答案为：9． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作的垂直平分线与交于点O，即； （2）设，则，在中，，在中，，可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图；作的垂直平分线与交于点O，即； （2）解：由题可知：， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴中转站O离C地的距离为. 18．(1)5； (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 19．(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和全等三角形的判定，证明全等三角形是解题的关键． （1）首先根据得到两个直角三角形，再结合两个边相等即可得到两个直角三角形全等； （2）在（1）的基础上，利用全等三角形得到对应角相等，再结合三角形内角和定理，即可得到，即为与的位置关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)证明见解析 (2)的面积为 【分析】本题主要考查直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； （2）由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 【详解】（1）证明：连接、，如下图所示： ∵，点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点为中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴. 22．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 24．（1）7；（2）；（3） 【分析】（1）由，得，可证明，即得，，再根据求解； （2）过D作交延长线于E，由，，得，即得，可证明，得，，则，再由勾股定理求即可； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，，则，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）过D作交延长线于E，如图： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $