2026年 九年级数学中考一轮复习 二次根式 同步自主达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《二次根式》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．若与最简二次根式可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 4．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为和，则斜边的长度为（   ） A． B． C． D． 6．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 8．如图，将一个半径为的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为，则矩形的宽是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．比较大小（用“”、“”、“”连接）： ． 10．若是正整数，则满足条件n的最小正整数值为 ． 11．已知，则 ． 12．计算： . 13．不等式：的解集为 ． 14．已知，．则与的大小关系是 ． 15．若最简二次根式与可以合并，则 ． 16．已知，，则 ． 三、解答题（满分24分） 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1) (2) 19．先化简再求值：，其中． 20．已知，求式子的值． 21．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品． (1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）； (2)求用于张贴学生作品的面积． 22．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 23．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 24．小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：∵ 与 可以合并， ∴， 解得：． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 4．A 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除、加减运算法则． 分别根据二次根式的乘除法则、加减法则对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A、可得，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接相加，，显然，计算错误． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，计算后化简即可． 【详解】解：∵ 在直角三角形中，两直角边分别为 和 ， ∴ 斜边， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 7．D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程，然后利用该方程简化表达式并求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据题意得出圆的周长，再根据矩形公式进而求得矩形的宽． 【详解】解：根据题意得：矩形的周长等于圆的周长， ∴矩形的周长为， ∵矩形的长为， ∴矩形的宽是． 故选：B 9． 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，通过比较两个负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小，即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查了二次根式的性质，先化简，再结合是正整数，故是正整数，即可求出满足条件的n的最小正整数值． 【详解】解：依题意，， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴满足条件的n的最小正整数值是， 故答案为：2． 11．5 【分析】根据二次根式的被开方数非负，确定x的取值范围，进而求出x的值，再代入表达式计算y的值． 【详解】解：由题意得且， 解得． 当时，． 故答案为：5． 12． 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，通过移项将不等式化为，由于，除以负数时不等号方向改变，得到，再进行分母有理化即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，除以负数，不等号方向改变， ∴， 化简分母， 有理化分母， 即， 故的解集为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是分母有理化，通过对进行分母有理化，化简后得到，与的值相同，因此与相等． 【详解】解：已知，对分母进行有理化：分子和分母同时乘以， 得， 又， 所以 ． 故答案为：． 15．2 【分析】根据同类二次根式的定义，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．因为本题中的两个二次根式已是最简二次根式且可以合并，所以它们的被开方数必须相等． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并， 得 ， 整理，得 ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，完全平方公式的应用，由已知条件，，可知和均为负数，将表达式通过变量代换化为正数形式，再利用完全平方公式求解，最后整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）直接利用二次根式的性质分别化简，合并同类二次根式即可得出答案； （）根据二次根式的乘除法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． 18．(1)5 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，然后再计算二次根式的加法和除法即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．， 【分析】本题考查因式分解，分式的混合运算，二次根式的化简，对分式的分子、分母进行因式分解是解题关键． 先对原式的分母因式分解、括号内式子通分化简，将除法转化为乘法后，逐步约分得到最简分式，再代入并进行分母有理化，最终求出结果为​​． 【详解】解： ， 当时， ． 20． 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． （1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解； （2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解． 【详解】（1）解：（）． 答：长方形宣传栏的周长为． （2）（）． 答：用于张贴学生作品的面积为． 22．(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 23．(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 24．(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用. （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可； （3）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $