2026年九年级数学中考一轮复习《二次函数》同步自主达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《二次函数》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 2．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为(   ) A． B． C． D． 5．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 7．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（满分24分） 9．在二次函数中，当 时，有最小值，此时 ． 10．将抛物线化为的形式为 ． 11．二次函数的图象关于直线对称，则 ． 12．已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为 ． 13．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为 ． 14．二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 15．如图，中，边，高，矩形的四个顶点分别为三边上的点，当 时，矩形的面积最大，且最大面积为 ． 16．位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为 米． 三、解答题（满分72分） 17．已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值． (3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值． 18．海边有一遮阳棚：测得棚口P距地面，棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（）是棚顶距棚口的水平距离，y（）是棚顶距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在棚内距棚口P水平距离处，身高的小红在棚里走动，当她的头顶恰好接触到棚顶时，则此时她与爸爸的水平距离是_________． 19．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当______A时，取得最大值为______W． 20．某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 21．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 22．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 23．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称是解答本题的关键． 二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标均为2， ∴对称轴为直线． ∴该抛物线对称轴为直线． 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与轴的交点坐标的纵坐标为．先求出抛物线与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、两点， 令，即， ，解得，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为 故选：C． 5．B 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据函数的对称性，抛物线和x轴的另一个交点坐标为，再观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知，对称轴为直线， 根据函数的对称性，抛物线和x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时自变量x的取值范围为， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 8．A 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴， ， ， ∴①错误； 当时，由图像知， 把代入解析式得：， ， ∴②错误； ∵，， ， ∴③正确； 由①②知且， ∴，即， ∴，④正确； ∵时，（最大值）， 时，， ∵的实数， ， ， ∴⑤错误． 故正确的是③④，共2个， 故选：A． 9． 3 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据二次函数的顶点坐标（或化为顶点式）进行解答即可． 二次函数开口向上，最小值在顶点处取得，将函数化为顶点式即可得出结论． 【详解】解：， 因为，所以函数有最小值，最小值出现在顶点处． 顶点坐标为， ∴当时，有最小值，此时． 故答案为：3，． 10． 【分析】本题考查了化一般式为顶点式，掌握配方法是关键；利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查了二次函数的对称轴性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的计算公式． 利用二次函数的对称轴公式，代入与对称轴，计算求解的值． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为； 已知，对称轴为，则； 化简得，解得． 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查了的图象与性质，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值为顶点处的函数值，最大值为端点处的函数值． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴为， 在内， 当时，，为最小值． 当时，； 当时，． ∴在范围内，有最大值． ∴的取值范围为． 故答案为：． 13．2 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由二次函数图象与x轴只有一个公共点，可知对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式为零求解，并注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：2 14． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．根据图象得到该二次函数的对称轴，从而得到图象与x轴的另一个交点，即可求得一元二次方程的解． 【详解】解：根据题意可知， 该二次函数的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故答案为：． 15． 10 150 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、用二次函数求最值等知识点，列出矩形的面积函数解析式是解题的关键． 利用矩形的性质和平行线之间的距离相等的性质可得，设，则；利用相似三角形的判定与性质、对应高的比等于相似比求得线段的长度，再利用矩形的面积公式求得用含x的代数式表示的矩形的面积，最后利用配方法和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设交于点P， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∵， ∴当时，内接矩形的最大面积为150， 即当时，矩形的面积最大，且最大面积为150． 故答案为：10；150． 16． 【分析】本题考查了二次函数的应用．以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为，将点代入，求出a的值，可得到抛物线的解析式，再求出当时x的值，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线表达式为， 当时，， 解得， 当水面上升2米后水面宽度为（米）， 故答案为：． 17．(1) (2) (3)6 【分析】（1）将代入，求出a的值，即得函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由得点在对称轴右边，点在对称轴左边．设点，则点，由B、C关于对称轴对称，得，求出s，即可求出t值； （3）根据二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值，得直线与二次函数图象相切，直线与二次函数图象相交，求出b的值，得到另一条直线的解析式，联立解方程即得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴二次函数表达式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 设点，则点， ∵， ∴ ∵ ∴, ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴不合； 当时， 解得， ∴，符合． 综上，的值为． （3）解：∵， ∴二次函数在的图象端点分别位于对称轴的两侧， ∵二次函数图象开口向下，直线在直线的上方， ∴当直线和二次函数图象相切时， 直线和二次函数图象两交点间的水平距离最大， 的值最大， 设直线和这一段图象切点为， ∴， 化简得． ∴， 解得， ∴另一条直线为． ∴当端点在直线上时， 设端点为，， 端点满足， 解得． 又， 故为使最大， 取． 故的最大值为6． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与一次函数图象交点，是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据“棚口P距地面，棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面”求解即可； （2）将代入解析式求解，进而根据“爸爸站在棚内距棚口P水平距离处”作答即可． 【详解】（1）解：∵棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面，并设抛物线的表达式为， ∴， ∵棚口P距地面， ∴， 解得：， 即； （2）解：将代入得， 即， 解得：（舍去）， ∵爸爸站在棚内距棚口P水平距离处， ∴小红与爸爸的水平距离是． 故答案为：． 19．(1) (2) (3)2，220 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时， ； 当时，的值为． （3）解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 20．(1)应多培育个品种的月季 (2)应多培育个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值，最大值为株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的顶点式与最值问题，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为未知数，根据总苗量的等量关系列一元二次方程，结合限制条件求解． （2）设多培育的品种数为未知数，构建总苗量的二次函数，通过化为顶点式，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设应多培育个品种的月季． ， 解得，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育个品种的月季时，幼苗总量为． ， 因为，， 所以抛物线开口向下，当时，取最大值． 答：应多培育25个品种的月季，幼苗总量最大值为5625株． 21．(1)，对称轴为直线 (2)①最大值为，② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标系中三角形面积的求解，掌握二次函数对称轴的计算和坐标系中三角形面积的表示是解题关键． （1）代入点的坐标，得到与的关系，再通过对称轴为直线求解即可； （2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可； ②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． （2）解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 22．(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)是直角，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质、勾股定理的逆定理和两点间的距离，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）根据抛物线的对称轴以及A点的坐标，可得B点的坐标，再根据A、B的坐标和对称轴，可求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，再把B点和C点的坐标代入直线中，求出m、n的值，即可得出一次函数的解析式； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，再把代入直线的解析式中，即可求出点的坐标； （3）先求出点D坐标，再分别求出，进而根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，， ， 将对称轴、点C和点A代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 把、代入直线， 得， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设直线与对称轴的交点为M，连接，如图， A，B两点关于对称轴对称，M在上， ， 则， ∴此时点到点的距离与到点的距离之和最小， 把代入直线得，， ， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）解：是直角，理由如下： 由题意得，当时， ， ∴， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 23．(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)①；②或或或或或． 【分析】（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点，求出抛物线解析式即可； （2）求出直线的解析式为，连接、，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，得，根据二次函数的性质得出结论； （3）①过作轴于，求出，，，求得，由垂直平分可得结论；②根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，连接、，过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）①过作轴于，如图： 在中令得，令得，， ∴，，，且对称轴， ∴，直线解析式为， ∵， ∴， ∵轴，由对称性可得，对称轴， ∴，即横坐标为， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴ ②∵，，， ∴， 当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况： 为直角顶点，如图3： ∵， ∴若时，则可得，同理， 若，则，可得，同理， 为直角顶点，如图： ， 若，则，，同理可得， 若，则，，同理可得， 为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或 学科网（北京）股份有限公司 $