23.4.3 设计方案 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

设计方案 R·八年级数学下册 一次函数 23 1 学习目标 灵活运用变量关系建立一次函数模型，并设计最佳方案解决相关实际问题，强化实际运用能力与从问题中获取关键信息，从而抽象出一次函数模型的能力． 新课导入 上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并作出选择，但如果方案不是指定的，需要自己制定，又该怎么做呢？ 探索新知 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案. ①要保证240名师生乘车都有座位； ②要使每辆客车上至少有1名教师. 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题1：影响租车费用的因素有哪些？ 甲、乙两种车所租辆数. 问题2：客车总数又与哪些因素有关？ 与乘车人数有关. 问题3：如何由乘车人数确定客车总数呢？ ①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6． ②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6． 综合起来可知客车总数为6辆． 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题4：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车 x 辆，你能求出租车费用吗？ 解：设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车(6－x)辆． 设租车费用为y元，根据表格可知： y=400x+280(6－x)， 化简，得y=120x+1680． 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题5：如何确定y=120x+1680中x的取值？ 为使240名师生乘车都有座位，则 45x+30(6－x) ≥ 240； 为使租车费用不超过2300元，则 120x+1680 ≤ 2300. 由 45x+30(6－x) ≥ 240， 120x+1680 ≤ 2300， 得 4 ≤ x ≤ . 5 综合起来可知x的取值为4或5. 问题6：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由． 方案一：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆； 方案二：租用甲种客车5辆，乙种客车1辆； 对于y=120x+1680，因为120＞0，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160 (元)． 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 归纳总结▶ 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲品牌酸奶的进价为8元/罐；乙品牌酸奶的进货总金额 y (单位：元) 与进货量 x (单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙品牌酸奶的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 150 ≤ x ≤ 400 （1）根据图象求出 y 与 x 之间的函数关系式； y = kx （50,500） 解：设y与x之间的函数关系式为 y=kx ( k ≠ 0 )， 把 (50，500) 代入 y=kx ( k ≠ 0 )， 得 k=10，所以 y =10x． （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为 w 元，求出 w (单位：元)与乙品牌酸奶的进货量 x 之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 甲：进价_____；售价_____；利润：_______________ 乙：进价_____；售价_____；利润：_______________ 8 12 销量×(12－8) 10 15 销量×(15－10) w = 甲利润+乙利润 = (12－8)(800－x)+(15－10)x = 4(800－x)+5x 解：设乙品牌酸奶的进货量为 x 罐．由题意，可得 150 ≤ x ≤ 400． 由（1）得乙品牌酸奶的进价为10元/罐， 则 w=(12－8)(800－x) + (15－10)x， 即 w=x + 3200． 因为 k=1＞0，所以 w 随 x 的增大而增大， 因为 150 ≤ x ≤ 400，所以当 x=400 时，w 最大， 最大值为 400 + 3200=3600，800－400=400 (罐)， 即当甲品牌酸奶的进货量为 400 罐，乙品牌酸奶的进货量为 400 罐时，该超市获得最大利润． 练 习 某文具店购进 A，B 两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过 2 000 元的资金采购这两种计算器共 100 台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 【选自教材第134页 练习】 解：设购进 A 型号计算器 x 台，利润为 y 元，则购进 B 型号计算器(100－x)台. 由题意，得 y 随 x 的增大而增大. y = (32－22)x + (25－19)(100－x) = 4x + 600. x在取值范围内取最大值时，y有最大值. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 因为采购资金不超过 2000 元， 所以 22x + 19(100－x) ≤ 2000，解得 x ≤ . 又 x 为整数， 所以当 x = 33 时，y 取最大值，最大值为 4×33 + 600 = 732. 答：利润最大的进货方案为购进 A 型号计算器 33 台，B 型号计算器 67 台，最大利润为 732 元. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 课堂小结 实际问题 (多个) 函数模型 设计方案 限制条件 函数增减性 抽象 构造 课后作业 完成本课对应课时作业. $