23.4.3 方案设计问题 课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.4 实际问题与一次函数 第3课时 方案设计问题 学习目标 1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题;（难点） 2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，利用一次函数设计最佳方案.（重点） 情境导入 探究 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案. 问题1：租车的方案有哪几种？ 共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车； （3）甲种车和乙种车都租． 新知探究 阅读“探究”中的问题，并进行如下分析： 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆. 单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 新知探究 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题4：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆． 问题5：在问题3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？ 方法1：分类讨论——分3种情况； 方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围. 新知探究 新知探究 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 (6-x)辆 x 辆 问题6：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关，如果租用甲种客车x辆，你能求出租车费用y吗？ (1)为使240名师生有车坐，则 (2)为使租车费用不超过2300元，则 新知探究 问题7：如何确定x的取值范围？ 结合问题的实际意义，综合起来可得x的取值为4或5. 也可以由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时 y 最小. 新知探究 方案一：当x=4时，即租用4辆甲种客车，2辆乙种客车，租车费用为y=120×4+1680=2160 方案二：当x=5时，即租用5辆甲种客车，1辆乙种客车，租车费用为y=120×5+1680=2280. 问题8：在上述问题的基础上，你能有几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中的哪种方案？ ∵2160＜2280，∴选择方案一更省钱. 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 归纳总结 新知探究 例1 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示: 型号 A B 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 新知探究 （1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ （2）该厂如何生产获得最大利润？ （3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本） 分析：可用信息： ①A、B两种型号的挖掘机共100台； ②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元； ③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出. 新知探究 解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意知： （1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ 分析：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意得不等式组 . ∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台， B型60台. 解得 37.5≤x≤40 ∵x取正整数, ∴x为38、39、40 新知探究 ∴当x=38时，W最大=5620 （万元）， 即生产A型38台，B型62台时，获得最大利润. （2）该厂如何生产获得最大利润？ 分析：利润与两种挖掘机的数量有关，因此可建立利润与挖掘机数量的函数关系式. W=50x＋60（100－x） = －10x＋6000 解：设获得利润为W（万元），由题意知： 新知探究 （3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？ ③当m＞10时，取x=40，W最大， 即A型挖掘机生产40台，B型生产60台. 分析：在（2）的基础上，售价改变，则应重新建立利润与挖掘机数量的函数关系式，并注意讨论m的取值范围. 解：由题意知：W=（50＋m）x＋60（100－x） = （m－10）x＋6000 ∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ， 即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台； ②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等； 新知探究 下图 l1, l2 分别是龟兔赛跑中s-t函数图象. （1）这一次是 　 米赛跑. （2）表示兔子的图象是 . 100 l2 练一练 新知探究 s /米 （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米； l1 l2 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t /分 6 8 7 （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米； （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟； -1 12 9 10 11 -3 -2 40 4 -4 40 新知探究 利用一次函数设计最佳方案 根据题目要求列出不等式（方程），确定变量的取值，根据变量的取值范围设计最佳方案 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型 含有多个变量时，要结合实际需求，确定变量的取值 课堂小结 18 1.某毛尖茶叶经销商销售每千克A级茶叶、B级茶叶的利润分别为100元、150元.若该经销商决定购进A,B两种茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶叶x千克，销售总利润为y元. (1)求y与x之间的函数关系式. 解：由题意可得， y=100x+150(200-x)=50x+30000 即y与x的函数关系式为y=一50x+30000. 课堂训练 (2)若其中B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍，请帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大. 解：∵B级茶叶的进货量不超过A级茶叶的4倍， ∴200-x≤4x,解得x≥40. ∵-50<0，∴y随x增大而减小. ∴当x=40时，y取得最大值，此时200-x=160. 答：当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160 千克时，销售总利润最大. 课堂训练 2.为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下. 课堂训练 （1）若要从这两种食品中摄人4600kJ热量和70g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包? 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得： 解得： 答：应选用A种食品4包，B种食品2包. 课堂训练 (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄人量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 解：设选用A种食品m包，则选用B种食品（7一m）包， 根据题意得：10m+15（7－m）≥90,解得：m≤3. 设每份午餐的总热量为wkJ，则w=700m+900（7-m）， 即w=-200m+6300, ∵-200<0, ∴w随m的增大而减小, ∴当m=3时，w取得最小值，此时7-m=7-3=4. 答：应选用A种食品3包，B种食品4包. 课堂训练 $