专题8.2 立方根（5大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义系统梳理立方根的概念、表示方法、性质（符号规律、唯一性等）、开立方运算、与平方根的对比及计算器应用，构建从基础概念到实际应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料通过分层题型（基础、培优、压轴）设计，结合几何体体积等实际情境题和小数点移动规律探究题，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

专题8.2 立方根 知识点1：立方根的概念及表示方法 1.定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）。 2.表示方法：一个数的立方根用符号表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 3.特殊数的立方根：0的立方根是0，即；1的立方根是1，即；-1的立方根是-1，即。 知识点2：立方根的性质 1.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0（立方根的符号与被开方数的符号一致）。 2.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即（为任意实数）。 3.立方根的唯一性：任意一个实数都有且只有一个立方根。 4.重要关系式：，（为任意实数）。 知识点3：开立方运算 1.定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 2.开立方的结果：任意一个实数开立方都能得到唯一的实数根，不存在无意义的情况（被开方数可以是任意实数）。 知识点4：立方根与平方根的对比 对比维度 立方根（） 平方根（） 被开方数范围 任意实数（正数、0、负数） 非负数（） 结果个数 唯一（一个） 正数有两个（互为相反数），0有一个，负数无 符号规律 与被开方数符号一致 正数的平方根一正一负，0的平方根为0 根指数 3（不能省略） 2（通常省略） 逆运算 立方运算 平方运算 知识点5：用计算器求立方根 1.操作步骤：不同型号计算器操作略有差异，一般先按“”键（或先按“2ndF”/“SHIFT”键再按对应开方键），输入被开方数，最后按“=”键得出结果。 2.精度要求：根据题目要求保留相应小数位数（如保留两位小数、三位小数等）。 【基础必考题型】 【题型1】求具体数的立方根 1.核心知识点 立方根的概念及表示方法 立方根的性质（符号规律、特殊数的立方根） 2.解题方法技巧 先判断被开方数的符号，确定立方根的符号； 对于整数、分数、小数，直接找出哪个数的立方等于该数，或利用转化为正数的立方根求解； 带分数需先化为假分数再求立方根。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【变式题1-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算_________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）8的立方根是___________. 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【题型2】开立方与立方的逆运算应用 1.核心知识点 开立方与立方的逆运算关系 立方根的唯一性 2.解题方法技巧 已知一个数的立方根，求原数时，用立方运算（如已知，则）； 已知一个数，求其立方根时，用开立方运算，可结合逆运算验证结果。 【例题2】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知的平方根是，b是的立方根，求的平方根． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）_____的立方根是2． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则_______． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【题型3】用计算器求立方根（含近似值） 1.核心知识点 计算器求立方根的操作方法 近似数的保留规则 2.解题方法技巧 按照计算器操作步骤准确输入被开方数，注意负数的输入方式（先输负号再输数值）； 根据题目要求保留小数位数，保留时遵循“四舍五入”原则，保留两位小数需看千分位，保留三位小数需看万分位。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【变式题3-3】.（24-25七年级上·山东淄博·月考）若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为__________． 【培优高频题型】 【题型4】立方根与代数式求值综合 1.核心知识点 立方根的定义及性质 代数式的化简与求值 2.解题方法技巧 由立方根的条件求出未知数的值（如已知，则，解得）； 将求出的未知数的值代入代数式，按照运算顺序计算结果，注意符号和运算优先级。 【例题4】.（25-26八年级上·四川成都·月考）若，则的立方根是__________． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【题型5】含立方根的方程求解 1.核心知识点 立方根的定义 开立方与立方的逆运算 2.解题方法技巧 先将方程变形为或的形式（为常数）； 对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程； 解一元一次方程得出未知数的值，注意检验结果是否符合原方程。 【例题5】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1) (2) 【变式题5-1】.（25-26七年级上·山东威海·期末）求的值： (1)； (2) 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型6】立方根的实际情境应用 1.核心知识点 立方根的定义 正方体、长方体等几何体的体积公式 2.解题方法技巧 分析实际问题，找出体积与棱长的关系（如正方体体积，则棱长）； 提取题目中的体积数据，通过开立方运算求出几何量（棱长、边长等）； 结合实际情境检验结果的合理性（如长度为正数，符合实际尺寸范围）。 【例题6】.（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径___． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个小正方体的棱长是，一个大正方体的体积是小正方体体积的2倍．求大正方体的棱长． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【压轴素养题型】 【题型7】立方根的小数点移动规律应用 1.核心知识点 立方根的小数点移动与被开方数的关系 立方根的性质 2.解题方法技巧 规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 已知一个数的立方根，求相关数的立方根时，根据小数点移动规律直接推导，无需重新计算（如已知，则，）。 【例题7】.（25-26八年级上·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 【变式题7-3】.（20-21七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【题型8】立方根的规律探究题 1.核心知识点 立方根的性质 数字规律的归纳与推导 2.解题方法技巧 观察已知等式或数据，分析被开方数与立方根之间的变化规律； 归纳总结规律，用含字母的式子表示； 利用规律验证或求解未知问题，注意规律的适用范围。 【例题8】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·福建三明·月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【变式题8-3】.（24-25七年级下·吉林白城·月考）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 易错点 1.混淆立方根与平方根的被开方数范围，误认为负数没有立方根（负数有立方根，且为负数）。 2.化简时出错，忽略为负数的情况（实际对任意实数都成立）。 3.用计算器求立方根时，错误输入被开方数的符号或操作步骤，导致结果错误。 4.解含立方根的方程时，忘记对等式两边同时开立方，或开立方后符号处理错误。 5.忽略立方根的小数点移动规律，被开方数的小数点移动位数与立方根的小数点移动位数混淆（被开方数移动三位，立方根移动一位）。 重点 1.立方根的概念、表示方法及性质，能准确求任意实数的立方根。 2.立方根与平方根的区别与联系，避免概念混淆。 3.开立方与立方的逆运算关系，能利用逆运算求解含立方根的方程。 4.立方根的实际应用，能解决与体积相关的实际问题。 5.重要关系式和的灵活运用。 难点 1.立方根性质的灵活运用（如利用化简复杂代数式）。 2.立方根与跨学科、实际情境的结合，能将实际问题转化为数学问题并求解。 3.立方根的规律探究题，能准确归纳数字规律并进行推导验证。 4.含立方根的分类讨论题，能合理分类并综合所有情况得出答案。 5.立方根与几何图形的综合应用，能结合几何性质与立方根运算求解未知量。 【对应练习题】 一、单选题 1．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 3．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 4．在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 5．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 二、填空题 6．的立方根是_____，的平方根是______． 7．若a、b互为相反数，c为27的立方根，则_____ 8．当时，的值是__________________． 9．已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 10．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 13．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 14．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 15．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 立方根 知识点1：立方根的概念及表示方法 1.定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）。 2.表示方法：一个数的立方根用符号表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 3.特殊数的立方根：0的立方根是0，即；1的立方根是1，即；-1的立方根是-1，即。 知识点2：立方根的性质 1.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0（立方根的符号与被开方数的符号一致）。 2.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即（为任意实数）。 3.立方根的唯一性：任意一个实数都有且只有一个立方根。 4.重要关系式：，（为任意实数）。 知识点3：开立方运算 1.定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 2.开立方的结果：任意一个实数开立方都能得到唯一的实数根，不存在无意义的情况（被开方数可以是任意实数）。 知识点4：立方根与平方根的对比 对比维度 立方根（） 平方根（） 被开方数范围 任意实数（正数、0、负数） 非负数（） 结果个数 唯一（一个） 正数有两个（互为相反数），0有一个，负数无 符号规律 与被开方数符号一致 正数的平方根一正一负，0的平方根为0 根指数 3（不能省略） 2（通常省略） 逆运算 立方运算 平方运算 知识点5：用计算器求立方根 1.操作步骤：不同型号计算器操作略有差异，一般先按“”键（或先按“2ndF”/“SHIFT”键再按对应开方键），输入被开方数，最后按“=”键得出结果。 2.精度要求：根据题目要求保留相应小数位数（如保留两位小数、三位小数等）。 【基础必考题型】 【题型1】求具体数的立方根 1.核心知识点 立方根的概念及表示方法 立方根的性质（符号规律、特殊数的立方根） 2.解题方法技巧 先判断被开方数的符号，确定立方根的符号； 对于整数、分数、小数，直接找出哪个数的立方等于该数，或利用转化为正数的立方根求解； 带分数需先化为假分数再求立方根。 【例题1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算_________． 【答案】 4 【分析】本题考查立方根的运算，先依据立方根的定义求出的值，再进行有理数的符号运算即可求解． 【详解】解：根据立方根的定义，由于， 因此， 则． 故答案为：4． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）8的立方根是___________. 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义及求法是解题的关键． 根据立方根的定义，求8的立方根，就是寻找一个数，使得这个数的立方等于8． 【详解】解：∵， ， 故答案为：2． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，求一个数的立方根，化简多重符号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据相反数的定义，即绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数，需分别计算各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：，3和3相等，不是相反数， 故A不符合； ，，两数相等，不是相反数， 故B不符合； ∵，， 与互为相反数， ∴和互为相反数， 故C符合； 和绝对值不相等，不是相反数， 故D不符合， 故选：C． 【题型2】开立方与立方的逆运算应用 1.核心知识点 开立方与立方的逆运算关系 立方根的唯一性 2.解题方法技巧 已知一个数的立方根，求原数时，用立方运算（如已知，则）； 已知一个数，求其立方根时，用开立方运算，可结合逆运算验证结果。 【例题2】.（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知的平方根是，b是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，求一个数的平方根，熟练掌握以上知识点是关键．对于两个实数、，若满足，那么就叫做的平方根，若满足，那么就叫做的立方根，由题意可得，即，再求得，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解： 的平方根是， ，即， b是的立方根， ， ， 的平方根是． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）_____的立方根是2． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根定义，解题关键是要知道如何求一个数的立方根．根据立方根定义解答即可． 根据立方根的定义，一个数的立方根是2，则这个数是2的立方． 【详解】解： ， ∴，即的立方根是2； 故答案为：8． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【答案】或1 【分析】设非零实数为 ，根据立方根的定义列出方程 ，通过立方运算和解方程求解． 本题考查了立方根，熟练掌握立方根的相关计算是解题的关键． 【详解】解：设这个非零实数为 ，则 ． 两边立方得 ，即 ． 因式分解得 ． 由于 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 经检验， 和 都满足题意． 故答案为 1 或 ． 【题型3】用计算器求立方根（含近似值） 1.核心知识点 计算器求立方根的操作方法 近似数的保留规则 2.解题方法技巧 按照计算器操作步骤准确输入被开方数，注意负数的输入方式（先输负号再输数值）； 根据题目要求保留小数位数，保留时遵循“四舍五入”原则，保留两位小数需看千分位，保留三位小数需看万分位。 【例题3】.（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】解：用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·山东淄博·月考）若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查科学计算器进行实数的运算，先开立方，开平方，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【培优高频题型】 【题型4】立方根与代数式求值综合 1.核心知识点 立方根的定义及性质 代数式的化简与求值 2.解题方法技巧 由立方根的条件求出未知数的值（如已知，则，解得）； 将求出的未知数的值代入代数式，按照运算顺序计算结果，注意符号和运算优先级。 【例题4】.（25-26八年级上·四川成都·月考）若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是的立方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的算术平方根是，得，解得，因为的立方根是，得，解得，即可作答． （2）直接把，代入计算，得出平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 【题型5】含立方根的方程求解 1.核心知识点 立方根的定义 开立方与立方的逆运算 2.解题方法技巧 先将方程变形为或的形式（为常数）； 对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程； 解一元一次方程得出未知数的值，注意检验结果是否符合原方程。 【例题5】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程： （1）直接根据平方根的性质解方程即可； （2）直接利用立方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： 解得 【变式题5-1】.（25-26七年级上·山东威海·期末）求的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或； （2）解： ， ， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）利用方程思想，平方根的定义计算即可； （2）利用方程思想，立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ． 【题型6】立方根的实际情境应用 1.核心知识点 立方根的定义 正方体、长方体等几何体的体积公式 2.解题方法技巧 分析实际问题，找出体积与棱长的关系（如正方体体积，则棱长）； 提取题目中的体积数据，通过开立方运算求出几何量（棱长、边长等）； 结合实际情境检验结果的合理性（如长度为正数，符合实际尺寸范围）。 【例题6】.（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径___． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解题的关键； 根据球体的体积代入公式，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴， ∴ 故答案为：6． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个小正方体的棱长是，一个大正方体的体积是小正方体体积的2倍．求大正方体的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查正方体的体积和立方根，掌握立方根的求法是解题的关键． 先求出大正方体的体积，然后根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小正方体的棱长是， ∴小正方体的体积为， ∵大正方体的体积是小正方体体积的2倍， ∴大正方体的体积为：， ∴大正方体的棱长为：， 故大正方体的棱长为． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【答案】（） 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可． 【详解】解：∵立方体的棱长为10， ∴原体积为． 由题意得，体积减小V后，新体积为， 由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即． ∴棱长应减少． 故答案为：（）． 【压轴素养题型】 【题型7】立方根的小数点移动规律应用 1.核心知识点 立方根的小数点移动与被开方数的关系 立方根的性质 2.解题方法技巧 规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 已知一个数的立方根，求相关数的立方根时，根据小数点移动规律直接推导，无需重新计算（如已知，则，）。 【例题7】.（25-26八年级上·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 【答案】，，1 ，10 ，100； ， 【分析】本题考查了立方根，与立方根有关的规律题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格的值，分别求出对应的立方根，即可作答． （2）先根据，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，补充表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 （2）∵， 则，， 【变式题7-3】.（20-21七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 【题型8】立方根的规律探究题 1.核心知识点 立方根的性质 数字规律的归纳与推导 2.解题方法技巧 观察已知等式或数据，分析被开方数与立方根之间的变化规律； 归纳总结规律，用含字母的式子表示； 利用规律验证或求解未知问题，注意规律的适用范围。 【例题8】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·福建三明·月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·吉林白城·月考）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 易错点 1.混淆立方根与平方根的被开方数范围，误认为负数没有立方根（负数有立方根，且为负数）。 2.化简时出错，忽略为负数的情况（实际对任意实数都成立）。 3.用计算器求立方根时，错误输入被开方数的符号或操作步骤，导致结果错误。 4.解含立方根的方程时，忘记对等式两边同时开立方，或开立方后符号处理错误。 5.忽略立方根的小数点移动规律，被开方数的小数点移动位数与立方根的小数点移动位数混淆（被开方数移动三位，立方根移动一位）。 重点 1.立方根的概念、表示方法及性质，能准确求任意实数的立方根。 2.立方根与平方根的区别与联系，避免概念混淆。 3.开立方与立方的逆运算关系，能利用逆运算求解含立方根的方程。 4.立方根的实际应用，能解决与体积相关的实际问题。 5.重要关系式和的灵活运用。 难点 1.立方根性质的灵活运用（如利用化简复杂代数式）。 2.立方根与跨学科、实际情境的结合，能将实际问题转化为数学问题并求解。 3.立方根的规律探究题，能准确归纳数字规律并进行推导验证。 4.含立方根的分类讨论题，能合理分类并综合所有情况得出答案。 5.立方根与几何图形的综合应用，能结合几何性质与立方根运算求解未知量。 【对应练习题】 一、单选题 1．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义找出立方等于8的数即可作答． 【详解】解：∵ ∴8的立方根是2， 故选：A． 2．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 3．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 4．在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的一个平方根 C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，需根据算术平方根的定义（非负性）、立方根的定义和平方根的性质判断每个选项． 【详解】解：选项A，∵，算术平方根结果非负，∴A错误； 选项B，∵，∴是的一个平方根，∴B正确； 选项C，∵当时，，有平方根，∴C错误； 选项D，∵，而的立方根为，∴D错误； 故选：B． 5．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 二、填空题 6．的立方根是_____，的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根、平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 7．若a、b互为相反数，c为27的立方根，则_____ 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质和立方根的定义，实数的相关概念及性质．根据相反数的性质及立方根定义求得，的值，然后将原代数式变形为后代入数值计算即可． 【详解】解：、互为相反数， ， 为27的立方根， ， 则 ， 故答案为：． 8．当时，的值是__________________． 【答案】或或 【分析】设，将原方程转化为，通过解方程求出的值，再代回求出，最后计算的值． 【详解】解：设 ，则原方程化为 . 两边立方得 ，即 ， 因式分解得 ， 解得 或 或 . 当 时，，则 ; 当 时，，则 ; 当 时，，则 . 验证均满足原方程，故 的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了换元法解方程和立方根的性质，解题关键是通过换元将复杂方程转化为简单的一元三次方程，注意不要漏解． 9．已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 【答案】 24.77 0.006137 【分析】（1）利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点就向右移动一位； （2）利用立方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点就向左（或向右）移动一位． 【详解】解：（1）已知 ∵， ∴． （2）已知． ∵， ∴． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的小数点移动规律，解题关键是掌握：算术平方根：被开方数小数点每移动两位，结果小数点移动一位；立方根：被开方数小数点每移动三位，结果小数点移动一位． 10．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将方程变形，求出的值，再根据平方根的定义求出的值，进而得到x的值； （2）先将方程变形，求出的值，再根据立方根的定义求出x的值． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴． 12．已知的立方根是的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的求法是关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先求出代数式的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 解得：； （2）解：， ∴的平方根是． 13．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 14．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 15．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $