河南郑州市第六高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年上期高二年级期末试题 数学学科 考试时间：120分钟分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.若经过Am,2),B(2m,-2m-2)两点的直线的斜率是2，则m=(C) A.-2 B.2 C.-1 D.1 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P58习题2.1第3题玫编 2.已知点B是点A(2,3,4)在坐标平面Oz内的射影，则OB=（A) A.2W5 B.√13 C.5 D.√29 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P19练习第4题改编 3.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S4=16,S=64,则S2=(C) A.112 B.128 C.144 D.160 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P23练习第3题改编 4.抛物线x2=2p(p>0)上一点A到焦点F的距离AF=2p,则点A的坐标是（D) ae号m号) 39 9 B. ，安2,3之 2 c.(2p,pj咸（√2p,p 3 D 5pp或 、3 -5p2P 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P138习题3.3第3题改编 5.已知△ABC是边长为2c的等边三角形，取△ABC各边的中点D,E,F,作第2个三角 形DEF,然后再取△DEF各边的中点G,H,I,作第3个三角形GHI,如果这个作图过 程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于(B) A.3cm2 B.4V5 cm2 C.2√3cm2 D. 7V3 3 3 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P38例10改编 6.在平行六面体ABCD-AB,C,D中，AB=AD=2AA1=4,∠BAA,=∠DAA1=60°， ∠BAD=90°，M是B,D的中点，则AM的长为(A) A.2W5 B.V26 C.2W7 D.V34 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P21例3改编 7.已知圆C:(x-22+(y-12=16,直线1：(m+1x+(2m+1)y-3m-1=0,当直线1被圆C截 得的弦最小时，若圆C上的点到直线1的距离为二，这样的点的个数为(D) A.1 B.2 C.3 D.4 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P1O3复习参考题第20题改编 高二数学第1页共8页 8.在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D,中，M在棱AD上，E,F均在棱B,C上，AM=1, B,E=CF=1,底面ABCD内有一动点P满足是=万，侧面BCC,A内有一动点Q满足 PM QE+QF=4,点N是棱BC上一动点，则NP+NQ的最小值为(B) A.8-√2+V5 B.8-√2-√5 C.8+√2-V5 D.8+V2+√5 试题来源：思路来源于2025年高考综合改革适应性演练数学试卷（八省联 考)第19题 M 0 N 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于方程 _y2 =1,下列说法正确的是(ABD) 2+m1+l A.若=0，它表示焦点在x轴上的双曲线 B.若=-3，它表示焦点在y轴上的双曲线 C.方程x y2 2+m1+m =1有可能表示等轴双曲线 D.若方程 2广=1表示双曲线，则m<-2或>-1 2+m1+m 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P121练习第3题玫编 I0.把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的中点，O 是原正方形ABCD的中心，下列说法正确的是(BCD) D A.∠EOF=60 B.EF= 6 2 C.F与平面ABC所成角的正弦值为6 D.若原正方形ABCD的边长为2，则三棱锥D-ABC的外接球 表面积为8π 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P49复习参考题1第13题改编 1.己知数列{a,}的首项4=2 且满足an+1= 2an 下列说法正确的是（BC) a,+1 17 A.a B.数列 1-1为等比数列 16 2025 C.数列{a}是递增数列 D.若an> 则n的最小值为11 2026 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P41习题4.3第11题改编 高二数学第2页共8页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知两点A(1,3),B(3,7),则线段AB的垂直平分线的方程为 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P67习题2.2第3题改编 答案：x+2y-12=0 13.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),B(2,0),直线AM与直线BM相交于点M, 且它们的斜率之积是-3，则点M的轨迹方程为】 4 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P108例3题改编 答案：+-2到 4 14.已知等比数列{a}的前n项和为Sn，且an1=2Sn+3.在a.与a1之间插入n个数，使 这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，若Tn为数列 1 d 的前n项和，则T= 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P56复习参考题4第11题改编 答案：8{(4*8 5 7151 n+。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设动点M与定点(2,0)的距离和M到直线1：x=?的距离的比是25 (1)求动点M的轨迹方程； (2)过点P(3,1)的直线与动点M的轨迹相交于A,B两点，且P恰好是线段AB的中点， 求直线AB的方程. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P127习题3.2第10题改编 解析：(1)设动点Mx,以，由思意可得x-2+严_25 3分 3 X一 2 3 化简整理得 3y2=1 所以动点M的轨迹方程是-少-1 6分 (2)设Ax,y),B(x2y2) 因为A,B在动点M的孩迹上，所以子-片=1，专⅓与) 7分 两式相减得，(y-）=0 3 即s+xx==(0y+Xy-为) 9分 3 因为P是线段AB的中点，所以x+x2=6,片+y2=2 高二数学第3页共8页 所以上-业=1，即直线AB的斜率k=1 11分 x1-x2 所以直线AB的方程为y-1=1(x-3),即x-y-2=0 13分 16.(15分) 如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，E是BC的中点，F是 棱AD上的动点（不与A,D重合）. (1)当F是棱AD的中点时，求直线AE与CF夹角的正弦值； (2)当AF=2FD时，求平面BCF与平面ACD夹角的余弦值. B 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P36例7题玫编 解析：(1)由题意得ED⊥BC,故以E为原点，EC,ED所在直线分别为x轴、y轴，建立 如图所示空间直角坐标系， 因为正四面体ABCD棱长为2， 所以10oct00咖50小4a点2g5】 E0,0,0） 因为少是使4D的中点，所以50,25,6 2分 33 所以AE= 4分 所以cos(AE,CT AE.CF 2 AB.CP33--3 6分 所以直线AE与CF夹角的正弦值为5 7分 高二数学第4页共8页 e因为4r-20,所以0g52 9分 设平面BCF的法向量为元=(a,b,c) 因为=aao,G（1S5 元·BC=2a=0 =0 所以 a-a256+26c-0所以 b+2W2c=0 9 9 令c=-7,则b=2W2,所以=0,22，-7) 11分 设平面ACD的法向量为元2=(x,y,2) 因为a-f199o-1w 所以元C=x+5,t26 3 i2·CD=-x+V3y=0 y1则=竖所以写 13分 3√2 所以cos(n n'n 2 V57 571 14分 57 所以平面BCF与平面ACD夹角的余弦值V57 15分 57 17.(15分) 已知圆M(x-42+(y-1=16,点P(-2,-3),点Q是圆M上一动点，点N是P9的中 点 (1)求点N的轨迹方程； (2)若圆M与点N的轨迹相交于A,B两点，求过A,B,P三点的圆的方程. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P98习题2.5第8题玫编 解析：（1)设点N(x,y),Q(xo,) 0-2 因为点N是PQ的中点，所以 2 x,=2x+2 ~3 ，所以 2分 y=2y+3 =y 2 因为点Q在圆M上，所以(2x+2-42+(2y+3-1}=16 5分 化简得(x-1+(6y+1=4 所以点N的轨迹方程是(x-12+(y+12=4 7分 高二数学第5页共8页 (2)由(1)可得点N的轨迹为圆，其一般方程为x2+y2-2x+2y-2=0 圆M的一般方程为x2+y2-8x-2y+1=0 设经过A,B两点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+1+2x2+y2-2x+2y-2)=0 化简得(2+1x2+(2+1)y2-(8+22x+(2-2)y+1-2元=0 12分 将点P(-2,-3)代入得9元=-36 所以元=-4 14分 所以经过A,B,P三点的圆的方程-3x2-3y2-10y+9=0 化简得x2+2+10 -3=0 3 故过A,B,P三点的圆的方程为x+y+ 3y-3=0 15分 18.(17分) @图，从椭圆。+1(a心b>0)上一点P向x箱作垂线，垂足恰对左焦点，A为 椭圆右顶点，B为椭圆上顶点，且AB∥OP,EA=√6+√3，E,为椭圆右焦点，过E,的 直线（不与x重合）与椭圆交于M,N两点. （1)求椭圆的方程： (2)在x轴上是否存在一点Q,使得∠MQF,=∠NQE? B 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)求△ON的面积S的取值范围. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P145复习参考题3第8题改编 2 b2 解析：（1)由题意得P-c, 所以kop=- ac b2 因为AB∥OP,所以- 6 所以b=c 2分 ac Q 又因为F4=a+c=6+5,a2=b2+c2 所以a=√6，b=c=√3 4分 所以椭圆的方程为父+上=1 63 5分 (2)设直线N的方程为x=y+V5,M(x,yN(x,当】 x2,y2 联立方程6+3=1得m+2w加+25w-3=0 x=my+3 高二数学第6页共8页 由韦达定理得乃+⅓= 2v3m 3 =- 7分 m2+2 m2+2 假设存在点Q(t,0),使得∠MQE,=∠NOE, 则kw+kw=片，+当，=飞-⅓G-0 8分 x-tx,-t(伍-tx2-t) 即h(3,-+yG-)=y,+V5-t升，%+V3-t=0 即2y,+V5-+为)=0，所以2m业=t-V5 9分 +y2 -3 2m- 所以2+2=V5=t-√3，所以t=25 -2W3m m2+2 所以存在点Q23,0,使得∠MQE,=∠NOP,· 11分 (3)由(2)得W=V1+my-y=V1+m2V+y,}-4 =V1+m 12m2 12 =V1+m 12m2+12m2+24_2W6+m2） 13分 2+m22+m2 2+m2 2+1m2 5 因为点O到直线N的距离d= 14分 V1+m2 所以△OW的面积S-aM=;5 26+m）-321+m 15分 2V1+m2 2+m1 2+22 令+m=,则S=N2,‘=3W2,≥1 1+t2-1 f+i 因为当t≥1时，y=+t≥2， 所以0<S≤32 ，当且仅当1=1，即m=0时取最大值 16分 所以△OMN的面积S的取值范围为 3W2 0 17分 19.(17分) 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反复进 行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.入取正整数=7，根据上述运算法则得出7 →22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤 变成1（简称为16步“雹程”） 现给出冰雹猜想的递推关系如下： 高二数学第7页共8页 an 已知数列{a}满足：a=m(为正整数)，a+1= ，,当an为偶数时 2 3an+1,当an为奇数时 (1)当m=9时，试确定使得a=1需要多少步雹程？ (2)记数列{a}的前n项和为Sn.当m=9时，求So26: (3)若a。=1,求m所有可能的取值集合M. 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P56复习参考题4第9题玫编 解析：（1)根据递推关系式，当a=9时，42=28,4，=14，a4=7, 3分 结合题干中信息，当44=7时还需要16个步骤使得an=1, 故使得a=1需要3+16=19步雹程. 5分 (2)由题意得，ao=1, 41+42+43+…+a20 8分 =9+28+14+7+22+11+34+17+52+25+13+40+20+10+5+16+8+4+1=339 从第20项开始，数列进入4→2→1循环节，周期T=3,一个循环节之和为4+2+1=7 9分 从第21项到第2026项共有2026-20=2006项，包含668个完整周期剩余2项 因此a21+422+423+.+a2026=668×7+4+2=4682 10分 所以S226=339+4682=5021 11分 (3)因为a。=1, 若a,为偶数，则a,=2,若a为奇数，则不成立，所以a,=2; 若a,为偶数，则a,=4,若a为奇数，则不成立，所以a=4: 若4，为偶数，则a,=8,若4为奇数，则4=1，所以4，=8或a,=1: 14分 ①当4=8时， 若4，为偶数，则a2=16,若a,为奇数，则不成立，所以4，=16； 若4为偶数，则a=32,若4为奇数，则a=5,所以4=32或4=5： 15分 ②当4=1时， 若4，为偶数，则a,=2,若a,为奇数，则不成立，所以4=2； 若4为偶数，则a=4,若4为奇数，则不成立，所以4=4： 16分 综上：4=4或4=5或4=32 所以M={4,5,32} 17分 高二数学第8页共8页2025-2026学年上期高二年级期末试题 数学学科 考试时间：120分钟分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.若经过A(m,2),B(2m,-21-2)两点的直线的斜率是2，则m=() A.-2 B.2 C.-1 D.1 2.已知点B是点A(2,3,4)在坐标平面Oz内的射影，则OB=( A.2W5 B.√13 C.5 D.V29 3.在等差数列{a}中，Sn为其前n项和，若S4=16,S=64,则S2=() A.112 B.128 C.144 D.160 4.抛物线x2=2pp>0)上一点A到焦点F的距离AF=2p,则点A的坐标是（) (号)) 39) B. c.(2p,p)咸（√2p,p) 3 3 n.BpP或pP 5.已知△ABC是边长为2cm的等边三角形，取△4BC各边的中点D,E,F,作第2个三角 形DEF,然后再取△DEF各边的中点G,H,I,作第3个三角形GHI,如果这个作图过 程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于( A.3cm2 B. 3 cm C.2√3cm2 D.7 -C7022 3 6.在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=2AA1=4,∠BAA1=∠DAA=60°， ∠BAD=90°，M是B,D,的中点，则AM的长为() A.2V5 B.√26 C.2√7 D.V34 7.已知圆C:(x-2+(y-1?=16,直线1：(m+1)x+(2m+1y-3m-1=0,当直线1被圆C截 得的弦最小时，若圆C上的点到直线1的距离为，这样的点的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.在棱长为4的正方体ABCD-A,B,CD中，M在棱AD上，E,F均在棱B,C上，AM=1, 6，侧 BE=CF=1,底面ABCD内有一动点P满足PA A 面BCC,B,内有一动点Q满足QE+QF=4,点N是棱BC上一 动点，则NP+NQ的最小值为( ) A.8-V2+V5 B.8-√2-V3 C.8+√2-V3 D.8+V2+√3 高二数学第1页共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于方程 一广=1，下列说法正确的是（） 2+m1+m A.若=0，它表示焦点在x轴上的双曲线 B.若m=-3,它表示焦点在y轴上的双曲线 C.方程 y广=1有可能表示等轴双曲线 2+m1+m D.若方程 广=1表示双曲线，则m<-2或m>-1 2+m1+ 10.把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E,F分别为AD,BC的中点，O 是原正方形ABCD的中心，下列说法正确的是() A.∠EOF=60 B.EF=16 C.EF与平面ABC所成角的正弦值为Y6 D.若原正方形ABCD的边长为2，则三棱锥D-ABC的外接球 表面积为8元 1.已知数列a}的首项4=行，且满足an= ,下列说法正确的是（) a,+1 17 A.a,=16 B.数列 卫-1为等比数列 C.数列{an}是递增数列 D.若an> 2025 则n的最小值为11 2026 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知两点A(1,3),B(3,7),则线段AB的垂直平分线的方程为 13.在平面直角坐标系中，己知点A(-2,0),B(2,0),直线AM与直线BM相交于点M, 且它们的斜率之积是-3，则点M的轨迹方程为 14.己知等比数列{a}的前n项和为Sn，且an1=2Sn+3.在a.与an1之间插入n个数，使 这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，若T,为数列 的前n项和，则T= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设动点M与定点(2,0)的距高和M到直线1：x=的距离的比是2 3 (1)求动点M的轨迹方程； (2)过点P(3,1)的直线与动点M的轨迹相交于A,B两点，且P恰好是线段AB的中点， 求直线AB的方程. 高二数学第2页共4页 16.（15分) 如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，E是BC的中点，F是 棱AD上的动点（不与A,D重合）· (1)当F是棱AD的中点时，求直线AE与CF夹角的正弦值： (2)当AF=2FD时，求平面BCF与平面ACD夹角的余弦值. B 17.(15分) 已知圆M(x-42+(y-1=16,点P(-2,-3),点Q是圆M上一动点，点N是P9的中 点. (1)求点N的轨迹方程； (2)若圆M与点N的轨迹相交于A,B两点，求过A,B,P三点的圆的方程. 18.（17分) 如图，从椭园兰+若10>6>0)上一点P响x轴作重统，至足铃为左焦点.A》为 椭圆右顶点，B为椭圆上顶点，且AB∥OP,EA=V6+√3，F,为椭圆右焦点，过E,的 直线（不与x重合）与椭圆交于M,N两点. （1)求椭圆的方程： (2)在x轴上是否存在一点Q,使得∠MQF,=∠NQF,？ B 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)求△ON的面积S的取值范围. F 高二数学第3页共4页 19.(17分) 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反复进 行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）·入取正整数=7，根据上述运算法则得出7 →22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤 变成1（简称为16步“雹程”） 现给出冰雹猜想的递推关系如下： 已知数列{a}满足：a=m（m为正整数)，an+1= ,当a,为偶数时 2 3an+1,当a为奇数时 (1)当m=9时，试确定使得an=1需要多少步雹程？ (2)记数列{an}的前n项和为Sn.当m=9时，求S2o26; (3)若a,=1,求m所有可能的取值集合M. 高二数学第4页共4页 2025-2026学年上期高二年级期末试题 数学学科 考试时间:120分钟 分值:150分 ⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。 1.若经过，两点的直线的斜率是2，则（ C ） A. B. C. D. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P58习题2.1第3题改编 2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（ A ） A. B. C. D. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P19练习第4题改编 3.在等差数列中，为其前项和，若，，则（ C ） A. B. C. D. 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P23练习第3题改编 4.抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（ D ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P138习题3.3第3题改编 5.已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（ B ） A. B. C. D. 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P38例10改编 6.在平行六面体中，，， ，是的中点，则的长为（ A ） A. B. C. D. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P21例3改编 7.已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（ D ） A. B. C. D. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P103复习参考题第20题改编 8.在棱长为4的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ B ） A. B. C. D. 试题来源：思路来源于2025年高考综合改革适应性演练数学试卷（八省联考）第19题 ⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分。在每⼩题给出的选项中， 有多项符合题⽬要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于方程，下列说法正确的是（ ABD ） A. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 B. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 C. 方程有可能表示等轴双曲线 D. 若方程表示双曲线，则或 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P121练习第3题改编 10.把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（ BCD ） A. B. C. 与平面所成角的正弦值为 D. 若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P49复习参考题1第13题改编 11.已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ BC ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列是递增数列 D. 若，则的最小值为11 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P41习题4.3第11题改编 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分。 12.已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为________________. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P67习题2.2第3题改编 答案： 13.在平面直角坐标系中，已知点，,直线与直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为________________. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P108例3题改编 答案： 14.已知等比数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______. 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P56复习参考题4第11题改编 答案： 四、解答题：本题共5⼩题，共77分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P127习题3.2第10题改编 解析：（1）设动点，由题意可得 3分 所以，化简整理得 所以动点的轨迹方程是 6分 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以， 7分 两式相减得 即 9分 因为是线段的中点，所以 所以，即直线的斜率 11分 所以直线的方程为，即 13分 16.（15分） 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）. （1）当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P36例7题改编 解析：（1）由题意得，故以为原点，,所在直线分别为轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为正四面体棱长为2， 所以，，，, 因为是棱的中点，所以 2分 所以， 4分 所以 6分 所以直线与夹角的正弦值为 7分 （2）因为，所以 9分 设平面的法向量为 因为， 所以，所以 令，则，所以 11分 设平面的法向量为 因为， 所以， 令，则，，所以 13分 所以 14分 所以平面与平面夹角的余弦值. 15分 17.（15分） 已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P98习题2.5第8题改编 解析：（1）设点， 因为点是的中点，所以，所以 2分 因为点在圆上，所以 5分 化简得 所以点的轨迹方程是 7分 （2）由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为 圆的一般方程为 设经过两点的圆的方程为 化简得 12分 将点代入得 所以 14分 所以经过三点的圆的方程 化简得 故过三点的圆的方程为 15分 18.（17分） 如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点,为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且∥，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求的面积的取值范围. 试题来源：人教A版数学选择性必修第一册P145复习参考题3第8题改编 解析：（1）由题意得，所以， 因为∥，所以，所以 2分 又因为， 所以 4分 所以椭圆的方程为 5分 （2）设直线的方程为， 联立方程得 由韦达定理得， 7分 假设存在点，使得 则 8分 即 即，所以 9分 所以，所以 所以存在点，使得. 11分 （3）由（2）得 13分 因为点到直线的距离 14分 所以的面积 15分 令，则， 因为当时，， 所以，当且仅当，即时取最大值 16分 所以的面积的取值范围为. 17分 19.（17分） 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.入取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”） 现给出冰雹猜想的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），. （1）当时，试确定使得需要多少步雹程？ （2）记数列的前项和为.当时，求； （3）若，求所有可能的取值集合. 试题来源：人教A版数学选择性必修第二册P56复习参考题4第9题改编 解析：（1）根据递推关系式，当时，，，， 3分 结合题干中信息，当时还需要16个步骤使得， 故使得需要3+16=19步雹程. 5分 （2）由题意得，， 8分从第20项开始，数列进入4→2→1循环节，周期，一个循环节之和为4+2+1=7 9分 从第21项到第2026项共有2026-20=2006项，包含668个完整周期剩余2项 因此 10分 所以 11分 （3）因为， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或； 14分 ①当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或； 15分 ②当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 16分 综上：或或 所以 17分 高二数学 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期高二年级期末试题 数学学科 考试时间:120分钟 分值:150分 ⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。 1.若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ） A. B. C. D. 2.已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 3.在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 4.抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5.已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（ ） A. B. C. D. 6.在平行六面体中，，， ，是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7.已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（ ） A. B. C. D. 8.在棱长为4的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. ⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分。在每⼩题给出的选项中， 有多项符合题⽬要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 B. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 C. 方程有可能表示等轴双曲线 D. 若方程表示双曲线，则或 10.把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角的正弦值为 D. 若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 11.已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列是递增数列 D. 若，则的最小值为11 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分。 12.已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为________________. 13.在平面直角坐标系中，已知点，,直线与直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为________________. 14.已知等比数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______. 四、解答题：本题共5⼩题，共77分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程. 16.（15分） 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）. （1）当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17.（15分） 已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程. 18.（17分） 如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点,为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且∥，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求的面积的取值范围. 19.（17分） 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.入取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”） 现给出冰雹猜想的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），. （1）当时，试确定使得需要多少步雹程？ （2）记数列的前项和为.当时，求； （3）若，求所有可能的取值集合. 高二数学 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $