江苏如东县高级中学创新实验班2024-2025学年 选拔考试数学试卷

江苏省如东县高级中学2024-2025年创新实验班选拔考试数学试卷 数学试卷 (考试时间：120分钟 试卷分值150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共2分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) L已知有公：式casa-)=o且5 1 则锐角的值为【▲】 2 A.75 B.60 C.30° D.15 2.若点A(m,m),B(m+l,)都在二次函数y=a2+4r+2(a>0）的图象上，且<，则m 的取值范围是【▲】 A.mz B.m2-2 C.m<-1 D.m≤-3 3.对于任何实数a,关于x方程x2-2r一a+2b=0都有实数根，则实数b的取值范围是【▲】 A.bs0 1 B.b≤ 2 C.bs-1 D.-g 4.关于：的分式方程1的解为正数，且俊关于)的一元一次不等式组 x-2 2-x 3y-2 2 ≤y-l有解，则所有满足条件的整数：的值之和是【▲】 y+2>a A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2+m不经过第四象限，且与x轴，y轴分别交于小，B两 点，点P为OA的中点，点C在线段OB上，其坐标为(O,2),连接BP,CP,若LBPC=LBAO, 那么m的值为【▲】 A.4 B.5 C.6 D.2V5 1so(m) 第6题) 第7题) 数学试卷第页（供6页） 6.如图，在△4BC中，∠ABC=90°，AB=BC=4,点E是BC边上的中点，过点C作CD⊥AE交其 延长线于D,连结BD,则BD的长为【▲】 A.22 B.4i0 c.0 D.35 7.某物流公司的快递车和货车每天都同时从甲地出发，往返于甲、乙两地，快递车比货车多往返 一趟，货车到达乙地后用1小时装卸货物，快递车立即折返（每次折返时间忽略不计），然后分 别按原路以原速折返，结果与第二趟返回的快递车同时到达甲地.如图为快递车与货车之间的 距离s(km)与出发的时间t(h)的图象，则下列结论： ①快透车与货车第一次相遇的时间为气小时： ②快递车的速度为100kmh: ③快递车与货车第二次相遇时，距乙地37.5km； ④货车从甲地到乙地需要2.5小时. 其中正确的结论有【▲】 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=女《>0与一直线交于A(-2, m)、B(1,)两点，点H是双曲线第三象限上的动点（在点A右侧），直 线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA=aHP,HB=bHQ,则a b的关系式成立的是【▲】 A.a+b=2 B.a-b=-2 C.a+2b=3 D.a-2b=-3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.不需写出解答过程，请 (第8题) 把最终结果直接填写在答题卡相应位置上) 又若6,6，b6则=上 10.如图，△4BC内接于oO,连接AO并延长交BC于点D,若∠B=68°，2C=45°，则∠ADB= ▲度 D (第10题) (第11题) (第14题) 11.如图，点M为矩形ABCD的边BC上一点，将矩形ABCD沿AM折叠，使点B落在边CD上的 点E处，B交M于点R在E4上取点G,使EG=BC.若G=6,血LGE=年则B=人 数学试卷第2项（供6页】 12.不等式(+1)(x2-4+3)>0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出 n=x+1和2=x2-4r+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a,b为整数，若对任 意xs0,都有(ax+2)(2+2b)≤0成立，则a+b=▲· 。+的值是L 1B.已知实数a,b俱中a>0)满足a+后=4,6+b=4,则上+】 14.如图，△ABC中，AB=8,AC=6,BC=9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点 B出发沿边BA向点A运动，动点E以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿AC向 点C运动（其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动）.记点D运动时间为t秒， 则当2BE+CD取最小值时，t的值为▲， 三、解答题（体大题共8小题，共4分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分) 设实数m,n满足m2=n+2,n2=m+2,且m≠n ()求证：m+n=-1; (2）求m3+n'的值 16.(本小题满分10分》 在生活常识中，α克的不饱和糖水里含有b克糖，我们往这个糖水里面加入m克糖，则糖水更 甜用数学符号可以表示为：若a>b>0,m>0,则-定有b+m>b a+m a ()证明此不等式； 日已加三角形销三边长分内么6短1k62十e十6。<2 数学试卷第3页（共6页】 17.(本小题满分12分】 已知：关于x的方程mx2-3(m-1）x+2m-3=0. (1)求证：m取任何实数，方程总有实数根； (2)已知一次函数y1=2x一2，若二次函数2=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称， 二次函数=ax+bxr+c的图象经过点(-5,0)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个 函数所对应的函数值y2y2y均成立，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式. 18.(本小题满分12分) 如图，在△ABC中，AB=AC,以为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E, 过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F )若巴3 示2求证A为H的中点： (2)若EA=EF=2,求圆O的半径. 数学试卷第4顷（供6页） 19.(本小题满分10分》 平面中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个圆.圆的周长为C-2πR,面积为S=R, 其中R为圆的半径.已知边长为2的正方形，它的内切圆的周长为2π，面积为π 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面。球的体积为V=号R,表面积为 3 S=4πR,其中R为球的半径. ()已知棱长为2的正方体，它的内切球的体积为▲ (2)已知棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D, ①若4B的中点为O,在此正方体中到点0的距离小于等于1的几何体的体积为▲·表面积 为▲ ②在此正方体中到点A的距离小于等于1的几何体的体积 D 为▲·表面积为▲ D 20.(本小题满分13分)】 如图，四边形ABCD中，AD BC,∠B=90°，点E在AB上，连接CE,过点D作DF⊥CE于 点F (1)AE=BE,CF=2EF ①若AB=BC,求EDCE的度数 ②证明：∠BCE=∠ACD (2)当2BCE=∠ACD,AE=xBE,直接写出C三的值（佣含x的代数式表示） CF 第20题(1) 第20题(2) 数学试卷第5顶页（供6页】 21.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于3，则 称点P为“三好点” ()若点A若在第三象限且为三好点”，双曲线y=二经过点A,求点4的坐标； (2)已知点Q(m-1,m)是平面直角坐标系中一点，以Q为圆心，1为半径作⊙Q,若⊙Q 上存在三好点”，求m的取值范围； (3)若在抛物线y=-x2一x+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围. 22.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ar242x-1(a0),点A(-1,m)、B(2,n)均在该抛 物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G. (1)设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h.当图象G从左至右逐渐上升时，求h 的最大值和最小值 (2)图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线y=a的距离的2倍，直接写出a的取值 范围 数学试卷第6页（供6页）