江苏省启东中学2024年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷

2024年创新实验班招生考试 数学试卷 (卷面分值:150分考试时间:120分钟) 注意事项: 1.本试卷共4页。答题前,请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上,作答选择题必须将答案写在答卷 的相应题号框内。请保持试卷卷面清洁,不折叠、不破损。 3.考试结束后,请将答卷和答题卡交回。 第1卷(选择题共48分) 一、选择题(本大题共8题,每小题6分,共计48分。在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求 的) 1.下列各式正确的是() A.a3 a2=a3 B.3x2= 3x2 c25+2 D.a =-√a 2.代数式1x-201+1x-181+x+20181的最小值是( A.2038 B.2028 C.2018 D.2008 3.若x2-6x+1=0,则x‘+x4的值的个位数字是( A.1 B.2 C.3 D.4 4.如果a+2b+3c=12,且c2=ab+bc+ca-a2-b2,则c+c2+c3的值是( A.12 B.14 C.16 D.18 5.已知正整数x,y,则20-4=的解K)共有()组 x2 y 3 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,反比例函数y=(x>0)的图象过面积等于8的长方形OABC的对角线OB的中点,P为函数图象上任 意一点,则OP的最小值为) B.√2 c.5 D.2 7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=I0,∠B=60 .作AE⊥AB交BC边于点E,连接DE,则 sin∠EDC的值为() A B E A.②团 c 0.② 14 7 7 8.我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出,“周三径一”不是圆周率值,实际上是圆 内接正六边形周长和直径的比值(图).刘徽发现,圆内接正多边形边数无限增加时,多边形的周长就无限逼近 圆周长,从而创立“割圆术”,为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2,六边形ABCDEF是 圆内接正六边形,把每段弧二等分,作出一个圆内接正十二边形,连结AG,CF,AG交CF于点P,若AP=2√6. 则弧CG的长为() E 图1 图2 月 B.3z D. 3 第I 卷(非选择题共102分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题7分,共42分) 9.在 ABC中,AB=6,中线AD=7,则边AC的取值范围是 10.关于x的一元二次方程x2-m+6(a-4)=0的两个正实数根分别为为,x2,且2x+x2=8,则a的值是 20、 11.- 00-02 12.在一次数学竞赛中,有5位同学获奖.五位同学猜谁是第一名,A说:是B,B说:是D,C说:是A,D说:B 说错了,E说:不是我,数学教练员说:你们中只有一人说对了,那么第一名是 13.如下图,矩形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上,OA=OB=2,AD=4V反,将矩形ABCD绕点O顺 时针旋转,每次旋转90 ,则第2023次旋转结束时,点C的坐标为 B 0 14已知实数,y满足宁宁=3,广+少户-3,则宁+y的值为 三、解答题(本大题共5小题,共60分,解答应写出必要的文字说明,演算或推演步骤) 15.(10分) 若a,B为锐角且a+B≠90时,现有公式:ana+)=一ana tan tan a+tan B 利用此公式求解下列问题: (1)求tan75 的值: (2)若A,B为锐角且A+B=45 时,求(I+tanA)0+tanB)的值: (3)求0+tan1)0+tan2 )0+tan3)…0+tan44)0+tan45)的值. 16.(12分) (1)若关于x的方程上+上=2水+3没有实数根,求实数k的值: x-1x+2x2+x-2 (2)已知x,y为实数,W=5x2-4y+y2-2y+8x+3,求W的最小值 17.(12分) 某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑,若用9000元购进A种平板电脑12台,B种平板电脑3台:也可 以用9000元购进A种平板电脑6台,B种平板电脑6台. (1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元? (2)考虑到平板电脑需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑,已知A型平板电 脑售价为700元/台,B型平板电脑售价为1300元/台.根据销售经验,A型平板电脑不少于B型平板电脑的2 倍,但不超过B型平板电脑的2.8倍.假设所进平板电脑全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货? 18.(12分) MBC为等边三角形,M,N分别为AB,AC边的中点,D为MN上任意一点,线段BD交AC于E,线段CD 11 交MB于F,C正+丽3,求 MBC的面积 A 分 M N D B 19.(14分) 已知动点A在抛物线y=m2+bx(a>0)上.若该抛物线上任意不同两点M(x1,),N(2,y2)都满足:当,<2<0 时,(:-2)0-y2)<0,当0<名<x2时,(:-x20-y2)>0.点(0,4)在y轴上,以线段A0为直径作⊙C, 当0c交线段O0于点P0.时,an∠A0P 2 4a (1)求抛物线的对称轴: (2)求抛物线的解析式; (3)若直线y=1被⊙C所截得的弦长为定值,求1的值